Mathématiques, Concours EMIA, école militaire interarmes 2021.

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Exercice 1 : calculs algébriques.
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Soient deux réels a, b strictement positifs ; simplifier :

2. Simplifier :

3. Déterminer les parties réelles et imaginaires du nombre complexe :
z = 2 x 3½ exp(-ip/3).
z =
2 x 3½ (cos (-p/3) + i sin (-p/3)) = 2 x 3½ ( 0,5 -i 3½ /2) = 3½ -3i.

4. Calculer et simplifier :


Exercice 2. Dérivées et primitives.
1. Calculer les dérivées des fonctions suivantes.
f(x) = ex / x.
On pose u = ex et v = x ; u' = ex ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(exx -ex) / x2 = ex(x-1)/x2.
f(x) = cos (x)5.
On pose u = x5 ; u' = 5 x4 ; f '(u) = -u' sin (u) =
-5 x4  sin (x)5.
f(x) = x exp(x½+1).
On pose u = x et v = exp(x½+1) ; u'  =  1 ; v' =0,5 x
exp(x½+1).
u'v+v'u =
exp(x½+1) +0,5 x½exp(x½+1) = exp(x½+1)(1+0,5 x½).

2. Calculer une primitive pour chacune des fonctions suivantes.
f(x) = 1 /x½ = x. F(x) = 2 x½.
f(x) = ex(ex+1)3.
On pose u =
ex+1 ; u' = ex ;  f(u) =u' u3 ; F(u) = u4 / 4 =(ex+1)4 / 4.
f(x) = x2 /(x+1).
Exprimer f(x) sous la forme ax+b+c / (x+1).
Réduire au même dénominateur : (ax2+ax+bx+b+c) / (x+1).
On identifie : a = 1 ; a+b = 0 soit b = -1 ; b+c = 0 soit c =1.
f(x) = -1+x + 1/(x+1) ;
F(x) = -x +0,5x2+ln(x+1).

3. Calculer l'intégrale suivante ( intégration par parties).
On pose u' = x2 ; v=ln(x) ; u = x3 / 3 ; v' = 1 /x.

Exercice 3. Résolution d'équations.
1. Résoudre dans R l'équation suivante :
e2x+3ex=4.
On pose X =ex >0.
X2+3X-4=0 ; discriminant D =32+16=25 = 52.
Solution positive retenue : X = (-3+5) / 2 = 1 ; x = 0.
2. Résoudre dans R l'équation suivante : |2x+3| =5.
Si x > -1,5 : 2x+3 =5 ; x = 1.
Si x > -1,5 : -(2x+3) =5 ; x = -4.
3. Résoudre le système :
x+2y-z=1
x-y+z=2
xyz=0.
La troisième conduit à : x=0 ou y = 0 ou z = 0.
La somme des deux pemières donne  : 2x+y = 3.
La différence des deux pemières donne  : 3y-2z = -1.
Si x = 0 ; y = 3 ; z = 5.
Si y = 0 ; x=1,5 ; z = 0,5.
Si z = 0 ; y = -1 /3 ; x =5 /3.

Exercice 4. Calcul matriciel.
On considère les matrices :

Pour chacune des affirmations ou réponses suivantes, répondre VRAI ou FAUX sans justifier.
1. A+B = B n'existe pas. Vrai.
L'addition de matrices n'est possible que lorsque les matrices ont le même nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
2. AB =(2). Vrai.
3. CA = (62). Faux.
Le produit d'une matrice A par une matrice C est possible si et seulement si le nombre de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice C.
4. CD = E. Vrai.

Exercice 5. Logique.
Pour chaque proposition suivante, donner leur négation.
1. " Pour tout x réel, f(x) diffère de zéro".
Il existe au moins un réel x pour lequel f(x) = 0.
2. Soit x réel : si f(x) < 0, alors x > 0.
Si f(x) < 0, alors x < 0.

Exeercice 6. Etude d'une suite numérique.
La suite (un) est définie pour tout entier naturel par :
un+1 = 0,4 un +3 et u0 = -1.
On étudie également la suite (vn) définie par : vn = 5-un.
1. Démontrer que vn = 6x(0,4)n.
v0 =5-u0=5-(-1)= 6.
vn+1 = 5-un+1= 5-(0,4 un +3)=2-0,4 un= 0,4( 5-un)= 0,4 vn.
(vn) est une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme v0 = 6.
Donc
vn = 6x(0,4)n.
2. Déterminer la limite de la suite (un).
-1 < 0,4 < 1, donc 0,4n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
vn tend donc vers zéro et un tend vers 5.
3. Déterminer en fonction de n la somme v0 +v1 +... +vn.
Somme des termes d'une suite géométrique de raison 0,4 et de premier terme 6 :
6 (1-0,4n+1) / (1-0,4) =
10(1-0,4n+1)
4. En déduire en fonction de n la somme u0 +u1 +... +un.
un = 5-vn.
La somme u0 +u1 +... +un vaut : 5(n+1)-10(1-0,4n+1)

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Exercice 7. Polynômes.
Les questions suivantes sont indépendantes.
1. A(x) = 2x4 +3x3 -8x2-2x+1 et B(x) = x2+3x+1. Soit A = BQ+R la division euclidienne de A par B. Déterminer les polynômes Q et R.

2 . Soit P(x) = x3+4x2-3x-18.
a. Vérifier que -3 est une racine de P(x) et du polynôme dérivée P'(x).
P(-3) = (-3)3+4(-3)2-3(-3)-18 =-27+36+9-18=0.
P'(x) = 3x2 +8x-3. P'(-3) = 3(-3)2+8(-3)-3 =27-24-3=0.
b. Donner une expression factorisée de P et donner l'ordre de la racine -3.
P(x) =(x-(-3))(x2+bx+c) =(x+3)(
x2+bx+c).
On développe : x3 +(b+3)x2 +(c+3b)x +3c.
On identifie  : b+3 = 4 soit b = 1 ; c = -6.
P(x) =
(x+3)(x2+x-6) .
Or x2+x-6= (x+3)(x-2).
P(x) =(x+3)2(x-2). -3 est une racine double.

Exercice 8. Géométrie.
Pour chacune des affirmations ou réponses suivantes, répondre VRAI ou FAUX sans justifier.
1. Dans le plan muni d'une base orthonormée on considère les vecteurs suivants. Comment faut-il choisir a afin que soit une base orthonormée ?
La norme des vecteurs doit être égale à 1 et les vecteurs doivent être orthogonaux. Les réponses a et b sont vraies.

2. Dans le plan muni d'une base orthonormée on considère les vecteurs suivants de norme 3. L'angle formé entre ces vecteurs est p /3. Quelle est la norme de la somme des deux vecteurs.

La réponse c est vraie.
3. On considère les points A(1 ; 1), B(-1 ; 1) et C(1 ; -1).

AB = 2 ; AC =2. AB2 = 4 ; AC2 = 4 ; BC2 =22+22=8. Le triangle ABC est isocèle et rectangle en A.
Les réponses b et d sont vraies.
4. Soit P le plan passant par A(1 ; 1 ; 0) et de vecteur normal de coordonnées 1 ; -1 ; 1).
Equation cartésienne du plan x-y+z+d=0.
A appartient à ce plan : 1-1+0+d =0 soit d = 0
Equation cartésienne de ce plan : x-y+z=0.
La réponse b est vraie.
5. Le cercle de centre A(1 ; 1) passant par B(2 ; 2) a pour équation :
R: rayon du cercle R = AB2 =(2-1)2+(2-1)2 =2.
Equation du cercle : (x-1)2 +(y-1)2 = 2.
La réponse d est vraie.

Exercice 9. Equation et fonction.
On considère l'équation d'inconnue x réelle suivante : ln(1+|x| )= 1 /(x-1).
(1)
On définit la fonction réelle f (x) =ln(1+|x| )+ 1 /(1-x).
1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction f.
x-1 différent de zéro soit x différent de 1.
1+|x|  > 0.
Si x est négatif, |x| = -x ; 1-x > 0 est bien vérifié.
Si x est positif, |x| = x ; 1+x >0 est bien vérifié.
Domaine de définition  : ]-oo ; 1[ union ]1 ; +oo[.
2. La fonction f est-elle dérivable en zéro ? Justifier.
Si x < 0 :
f (x) =ln(1-x )+ 1 /(1-x).
f '(x)= - 1/(1-x)+1/(1-x)2.
Si x tend vers 0- : f '(x) tend vers 0.
Si x > 0 : f (x) =ln(1+x )+ 1 /(1-x).
f '(x)=1/(1+x)+1/(1-x)2.
Si x tend vers 0+ : f '(x) 
tend vers 2.
f(x) n'est pas dérivable en zéro.

3. Soit x réelle, vérifier que x est solution de l'équation (1) si et seulement si f(x) = 0.
Si f(x) =0 :
ln(1+|x| )+ 1 /(1-x)=0 soit ln(1+|x| )= -1 /(1-x)=1/(x-1).
Si
ln(1+|x| )= 1 /(x-1) : ln(1+|x| )-1/(x-1) =0.
ln(1+|x| )+1/(1-x) =f(x) = 0.
4. Démontrer que si x appartient à ]-oo ; 1 [, alors x n'est pas solution de (1).
Si x < 0 : f (x) =ln(1-x )+ 1 /(1-x) >0.
Si x appartient à [0 ; 1[ :
f (x) =ln(1+x )+ 1 /(1-x) >0.
Sur ]-oo ; 1[, f(x) diffère de zéro :
alors x n'est pas solution de (1).
5. Calculer la limite de f(x) en plus l'infini.
f (x) =ln(1+x )+ 1 /(1-x).
En plus l'infini : 1 / (1-x) tend vers zéro ; ln(1+x) tend vers plus l'infini; f(x) tend vers plus l'infini.
6. Démontrer que f est strictement croissante sur ]1 ; +oo[.
f '(x)=1/(1+x)+1/(1-x)2 < 0.
La dérivée étant strictement positive sur cet intervalle, f(x) est strictement croissante sur
1 ; +oo[ de moins l'infini à ln(3)-1 ~0,0986.
7. En déduire que (1) admet une unique solution a telle que 1 < a < 2.
D'après le théorème de la bijection, f(x) = 0 admet une unique solution
sur 1 ; +oo[ .


Exercice 10. Probabilités.
Quentin, Nicole et Lucie doivent répondre à u QCM comportant 4 questions. Pour chaque question une seule des 4 propositions A, B, C ou D est exacte. Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0,5 point. l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.
Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est 0.
L'élève recopie sur sa feuille une grille de réponses présentée comme suit :
Question
réponse : A, B, C, D
1

2

3

4


On admet que les trois candidats répondent correctement à la première question.
1. Quentin choisit de ne pas répondre à la question 2 et de donner une réponse des deux dernières questions de manière indépendante en suivant la stratégie suivante :   pour chaque question, il choisit au hasard, de façon équiprobable l'une des 4 réponses proposées.
a. Quelles notes peut-il obtenir à ce QCM ?
Les questions 1 et 2 lui rapportent 1 point.

b. Combien de grilles différentes peut-il remplir ? 44 grilles.
AAA ; AAB ; AAC ; AAD ; ABA ; ABB ; ABC ; ABD ; BAA ; BAB ; BAC ; BAD ; BBA ; BBB ; BBC ; BBD ; CAA ; CAB ; CAC ; CAD ; CBA ; CBB ; CBC ; CBD ; CCA ; CCB ; CCC ; CCD ; DAA ; DAB ; DAC ; DAD ; DBA ; DBB ; DBC ; DBD ; DCA ; DCB ; DCC ; DCD ; DDA ; DDB ; DDC ; DDD.
c. Quelle probabilité a t-il de ne faire aucune faute ? 1 / 16
d. Quelle probabilité a-t-il de faire 2 fautes ?  9 / 16
e. On note X la variable aléatoire donnant la note obtenue par Quentin. Déterminer la loi de X et calculer son espérance.
Note
3
1,5
1
Probabilité
1 / 16
6 / 16
9 / 16
                     Espérance : (3 +1,5 x6 +9) / 16 =21 /16 =1,3125.
2. Nicole adopte la stratégie de donner une réponse à chacune des trois dernières questions de manière indépendante en choisissant au hasard, de façon équiprobable, l'une des 4 réponses proposées.

a. Quelle probabilité a-t-elle de ne faire aucune faute ? 1 / 64.
b. Quelle probabilité a-t-elle de faire 3 fautes ? 27 / 64.
c. On note Y la variable aléatoire donnant la note de Nicole. Calculer son espérance.
e. On note X la variable aléatoire donnant la note obtenue par Quentin. Déterminer la loi de X et calculer son espérance.
Note
4
2,5
1
Probabilité
1 / 64
9 / 64
54 / 64
                     Espérance : (4 +2,5 x9 +54) / 64 =80,5 /64 ~1,28.
3. Lucie choisit de ne répondre à aucune des 3 dernières questions. Classer les trois stratégies.
Quentin (1,31) ; Nicole ( 1,28 ) ; Lucie (1).

Analyse de processus.
On considère l'algorithme suivant :

1. Appliquer l'algorithme au tableau R =[1 ; 3 ; 8 ; 3 ; 7] en donnant la valeur de D en sortie.
i
1
2
3
j
2
3
4
3
4
4
D
0
0
0
0
1
0
2. Proposer un logigramme correspondant à cet algorithme.

3. Expliquer le résultat donné par cet algorithme appliqué à un tableau de nombres entiers naturels quelconque.

Il repère dans le tableau la position des nombres identiques.

Exercice 12.
Ecrire en langage naturel un programme qui permet de sortir en affichage le dessin suivant :

i = 10 ; j = 1
Tant que i > 1
Répéter i fois
Ecrire 10-i
Fin répéter
Passer à la ligne
Répéter j fois
Ecrire  "espace"
i = i-1 ; j = j+1
Fin Tant que





  
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