Circuit RC, concours ing�nieur travaux publics ITPE 2022.

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Remarque : sur le sujet,  les interrupteurs K1 et K2 sont absents. On les a plac�s afin d'�tre en accord avec la seconde figure.
Un supercondensateur est un dispositif permettant d'accumuler une tr�s grande quantit� de charges et donc une tr�s grande �nergie �lectrique, gr�ce � leur capacit� tr�s �lev�e. Ils peuvent se substituer aux accumulateurs et batteries utilis�s comme sources d'�nergie �lectrique. Un supercondensateur peut �tre repr�sent� de mani�re simpli�e par l'association en s�rie d'une r�sistance tr�s faible Rc = 1,0 � 10−3 W et d'un condensateur de capacit� C = 800 F. On d�cide de charger et d'utiliser un supercondensateur selon le circuit de la figure suivante, o� l'interrupteur K1 est ferm� depuis tr�s longtemps et K2 ouvert.
A un instant pris comme origine des temps, on ferme l'interrupteur K2. La force �lectromotrice est pour l'instant constante et vaut E = 12 V. On n�glige Rc, qui n'appara�t donc pas dans le circuit.

Q.1 Pr�ciser les valeurs prises par i, i1, i2 et u � t = 0−, juste avant de fermer K2, en fonction de tout ou partie des grandeurs suivantes : E, R1 et R2.
u = E, condensateur charg�.
Un condensateur charg� se comporte comme un interrupteur ouvert. i2 = 0.
i1 = 0, interrupteur K2 ouvert ; donc i = i2 = 0.
 Q.2 Juste apr�s qu'on ait ferm� K2, � t = 0+, toujours en fonction de E, R1 et R2, que valent i, i1, i2 et u ?
u =E ; continuit� de la tension u ( la charge ou la d�charge de C  n'est pas instantan�e ).
Loi des mailles � gauche : E = R1i + UR2 = R1i + E ; donc  i = 0.
u = E = R2i1 ; i1 =i2= E / R2.
 Q.3 Quand t devient tr�s grand, laquelle de ces grandeurs devient nulle ? Que valent les autres ?
u = �E = constante ; i2 = Cdu/dt = 0.
i = i1 + i2 = i1 =E / (R1+R2).
u = R2 i1 =R2 E / (R1+R2) = �E soit R1 = R2
 Q.4 Etablir l'�quation diff�rentielle v�ri�e par u(t) et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme suivante :
 du /dt + 1/ t u = E/ ( R1 � C) avec t = R1 � R2 � C / (R1+R2).
E =R1 i +u.
i2 = C du /dt ; i1 = u / R2.
i = i1 + i2 =u / R2 + C du /dt
E = R1 (u / R2 + C du /dt ) + u.
E = (R1 / R2  +1 ) u + R1 C du /dt.
E = (R1 +R2) / R2  u + R1 C du /dt.
du /dt + (1 / [(R1 +R2) /[ R2R1C)] u = E / (R1 C).
On pose t = R1 � R2 � C / (R1+R2).
  du /dt + 1/ t u = E/ ( R1 � C).
Q.5 Compte-tenu des conditions initiales trouv�es plus haut, �tablir la solution u(t) pour t ≥ 0.
Solution g�n�rale de du /dt + 1/ t u =0 : u(t) =  A exp(-t / t) avec A une constante.
Solution particuli�re de l'�quation compl�te : u(t=0) = E.
De plus u(t infini) = 6 V ( voir grahe suivant).
Par suite : u(t) = �E exp(-t / t) +�E.

On donne le graphe de u en fonction du temps, pour t ≥ 0.

Q.6 Calculer num�riquement, � partir de ce graphe, les valeurs de R1 et de R2, en pr�cisant la m�thode utilis�e.
 t=R1 � R2 � C / (R1+R2)=200
R1 � R2 � 800 / (R1+R2)=200
R1 � R2  / (R1+R2)=0,25.
 4 R1 � R2 = R1+R2.
R1 = R2 = 0,5 ohm.
Autre solution R1 = 1 ohm et R2 = 1 / 3 ohm.
 Q.7 Calculer num�riquement, pour t tr�s grand, la puissance dissip�e par effet Joule dans chacune des r�sistances.
i1R2 = i R1 = 6 soit i = i1 = 6/0,5=12 A
Pjoule = R1 i2 = R2 i12 =0,5 x122= 72 W.

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On souhaite maintenant utiliser le circuit pour effectuer du filtrage. Les r�sistances et le supercondensateur n'�tant pas destin�s � fonctionner en r�gime alternatif, on les remplace par un condensateur not� C1, de capacit� beaucoup plus faible et par des r�sistances not�es R3 et R4 valant pour l'instant toutes les deux R = 2,0 � 103 W. On note e(t) = E cos(wt) o� w est la pulsation du g�n�rateur et E son amplitude. Le circuit modi� est repr�sent�.

On note e(t) = E exp(jwt) et u(t) = U exp(j(wt + F)) = U exp(jwt) avec j 2 = -1. 

Q.8 Exprimer la fonction de transfert H = U / E que l'on mettra sous la forme H = H0 / (1 + jω/ω0) o� H0 est une constante � pr�ciser et ω0 � exprimer en fonction de R et C1.
R3=R4=R.
Admittance complexe de la portion C1 R4 : Y =1/ R + j C1 w = (1+ j C1 R w ) / R.
Imp�dance complexe : Z1 = R / (1+ j C1 R w ).
Imp�dance complexe totale : Z = R +R / (1+ j C1 R w )= [ R(1+ j C1 R w )+R ] / (1+ j C1 R w ).
e = Z i ; u = Z1 i.
H = u  / e =R / [ R(1+ j C1 R w )+R ].
H =1 / [ 1+ j RC1  w )+1 ].
H =1 / [ 2(1+ j 0,5 jRC1 w ].
H0 =0,5 ; ω0=2/ (RC1 ).
Q.9 Pr�ciser l'expression de F, en fonction de R, C1 et w.
H = H0 / (1 + jω/ω0)= H0 (1 - jω/ω0) / [1+(ω/ω0)2].
Argument de H = tan F= -ω/ω0 = -ω RC1  / 2.

On a trac�  le diagramme de Bode en gain de H, o� H est le module de H.

Q.10 Quelle est la nature du fltre ainsi �tudi� ?
Filtre passe bas.
Q.11 Calculer num�riquement la valeur de C1, en pr�cisant la m�thode utilis�e.
Module de H =0,5 [1+(ω/ω0)2] -0,5.
20 log H =20 log (0,5)-10 log [1+(ω/ω0)2].= -6-10 log [1+(ω/ω0)2].
 ω0=2/ (RC1 )= 104.
C1 =2 /(104 R)= 2 /(2 107 )= 10-7 F.

On souhaite fltrer un signal sonore que l'on a enregistr� et dont le spectre est repr�sent�. Cet enregistrement est envoy� en entr�e du circuit pr�c�dent.


Q.12 Combien de fr�quences comporte le signal de sortie u(t) ?
Fr�quence de coupure : fc = 104 / (2p) =1,6 103 Hz.
Le filtre passe bas att�nue les fr�quences sup�rieures � 1600 Hz.
Q.13 On consid�re que 400 Hz << f0. D�terminer les amplitudes des harmoniques de u(t). Tracer l'allure de u(t).

  
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