Math�matiques,
Concours TSEEAC 2022.
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d’int�r�ts.
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Partie 1.
On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n > 1 par : un = 1 +1 /2 +1 /3 +... 1/n. Q1. Une fonction L �crite en langage Python qui a pour param�tre un nombre entier n > 2 et qui renvoie le n-i�me terme de la suite est :
A. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n) :
u = u+1/i
return u. |
B. def L(n) :
u = 1
for i in range (1,n) :
u = u+1/ n
return u. |
C. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n+1) :
u = u+1/i
return u.
Vrai
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D. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n) :
u = u+1/n
return u. |
La r�ponse A ne renvoie pas jusqu'au terme 1 / n+1.
Q2. La suite (un) v�rifie :
A. Pour tout entier naturel n > 1, u2n-un > 0,5. Vrai.
Pour n = 2 : u2 = 1+1/2 ; u4 = 1+1/2 +1/3 +1/4 ; u4-u2 =1/3 +1/4 > 0,5.
U2n = 1 +1 /2 +...+1 / n +1 /(n+1) +...+1 /(2n) ; Un = 1 +1 /2 +...+1 /(n) ;
u2n-un =1 /(n+1) +...+1 /(2n), u2n-un > 0,5.
B. Pour tout entier naturel n > 1, u2n-un < 0,5.
C. Pour tout entier naturel n > 1, U 2n > 1+n/2. Vrai.
Par r�currence :
Initialisation : pour n = 1 ; u2 = 1 + 1/2 > 1+n/2 ; la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : U 2n > 1+n/2 est suppos�e vraie.
U 2n+1 = U 2 *2n ; U 2 *2n -U 2n > 0,5.
U 2n+1 > 0,5 +U 2n .
U 2n+1 > 0,5 +1+n/2 ; U 2n+1 > 1 /2 +1+n/2 ; U 2n+1 > 1+(n+1)/2 ;
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout n entier naturel.
D. Pour tout entier naturel n > 1, U 2n < 1+n/2.
Q3. La suite (un) :
A. Converge car elle est croissante et major�e.
B. Converge car elle est d�croissante et minor�e.
C. Diverge car elle est minor�e par une suite divergente non born�e. Vrai.
D'apr�s la r�ponse Q2. C.
D. Diverge car elle est major�e par une suite divergente non born�e.
Partie II.
Soit la fonction f d�finie sur [0 ; +oo[ par f(x) = 10 exp(u(x)) avec u(x) = -exp(-2-0,1x).
Q4. Pour tout r�el x > 0, la fonction est d�rivable et :
A. f '(x) = exp(-e-2-0,1x).
B. f '(x) = (-20-x)exp(-e-2-0,1x).
C. f '(x) = 10 u(x) exp(u(x)).
D. f '(x) = - u(x) exp(u(x)). Vrai.
u'(x) = 0,1 exp(-2-0,1x)= -0,1 u(x).
f '(x) = 10 u'(x) exp(u(x)).
Q5. On admet que f '(x) est d�rivable sur [0 ; +oo[ et on note f '' la d�riv�e de f '.
A. f ''(x) = 10(1+u(x)) u'(x) eu(x).
B. f ''(x) = 0,1(1+u(x)) u(x) eu(x). Vrai.
C. f ''(x) = -0,1 exp(-e-2-0,1x).
D. f ''(x) = (0,1x2+4x+39) exp(-e-2-0,1x).
On pose v = u'(x) =0,1 exp(-2-0,1x) = -0,1 u(x) et w =exp(u(x)).
v'= -0,01 exp(-2-0,1x) =0,01u(x).
w' =u'(x) exp(u(x))= -0,1u(x)exp(u(x)).
v'w+w'v = 0,01 u(x)exp(u(x))+u'2(x) exp(u(x))=0,01(u(x)+u2(x)) exp(u(x))=0,01 u(x)(1+u(x))exp(u(x)).
f "(x) = 10v'w+w'v =0,1 u(x)(1+u(x))exp(u(x)).
Q6. La fonction d�riv�e f ' est maximale pour :
A x=20 vrai ; B x=0 ; C. x = 10(2+0,1�) ; D.10(2-0,1�).
f ''(x) = 0,1(1+u(x)) u(x) eu(x).
0,1 eu(x) > 0 ; -u(x) > 0 ; f "(x) a le signe de -(1+u(x)) = - (1-exp(-2-0,1x))= exp(-2-0,1x)) -1.
f "(x) > 0 si exp(-2-0,1x) > 1 soit -2-0,1 x >0 ; 20+x < 0 ; x < -20. f '(x) est croissante.
f "(x) < 0 si x > -20. f '(x) est d�croissante.
f "(x) =0 si x = -20. f '(x) est maximale.
Toutes les propositions sont fausses. R�pondre E.
Partie III.
Q7. Le syst�me suivant admet pour ensemble de solutions sachant que x et y appartiennent � [-p ; +p].

R�ponse D.
Q8. Le syst�me suivant admet pour ensemble de solutions sachant que x appartient � [-p ; +p].
Toutes les propositions sont fausses. R�pondre E.
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Partie IV.
On lance deux d�s parfaitement �quilibr�s � 4 faces num�rot�es 1 ; 2 ; 3 ; 6. On consid�re la variable al�atoire X = cos(p /A)+ sin (p / B) o� a correspond � la face obtenue par le premier d� et B par le second.
Q 9. La probabilit� p1 que X soit un entier est :
A. p1 = 0,25 ; B. p1 = 3 / 8 ; C. p1 = 5 / 16 vrai ; D. p1 = 9 / 16 .
Couples r�pondant � la probl�matique : ( 1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 6) sur 16 couples possibles..
Q10 La probabilit� p2 que X soit un entier sachant que A est pair est :
A. p2 = 0,25 vrai ; B. p2 = 3 / 8 ; C. p1 = 5 / 16 vrai ; D. p1 = 9 / 16.
Couples r�pondant � la probl�matique : (2 ; 1) ; (2 ; 2) sur 8 couples possibles.
Q11 La probabilit� p3 que X soit un nombre rationnel est :
A. p3 = 0,25 ; vrai B. p3 = 3 / 8 ; C. p3 = 5 / 16 vrai ; D. p3 = 9 / 16.
X ne doit pas �tre un entier, les couples ( 1 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; 1) ; (2 ; 2) ; (3 ; 6) ne conviennent pas.
X ne doit pas �tre un nombre irrationnel, donc A diff�re de 6 et B diff�re de 3.
Couples r�pondant � la probl�matique : (1 ; 6) ; (2 ; 6) ; (3 ; 1 ); (3 ; 2).
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A=1
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A=2
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A=3
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A=6
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B=1
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X= -1
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X= -1
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X = -1 /2
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X = 1,866...
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B=2
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X=0
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X=1
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X = 3 / 2
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X =0,866...
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B=3
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X = -1 +0,8666
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X =0,866...
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X =0,5 +0,866...
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X = 0,866 +0,866...
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B=6
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X = -1/2
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X =1 /2
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X=1
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X = 0,5 +0,866...
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Partie V. -Dans un rep�re orthonorm� de l'espace on consid�re les vecteurs suivants. Q 12. Ces vecteurs sont :
A. non coplanaires ; B. coplanaires vrai ; C. colin�aires ; D. orthogonaux.

Q13 - le vecteur n de coordonn�es (a ; b; c) est orthogonal aux vecteurs u et v si et seulement si :

R�ponse A.
Q14 - Ainsi, on montre que les coordonn�es du vecteur n sont : a+3b+4c=0 ; a = -3b-4c.
2(-3b-4c) -b+c = 0 ; -7b-7c=0 soit b = -c.
Par suite a = - c.
Coordonn�es de ce vecteur n : k (-1 ; -1 ; 1) avec k r�el.
R�ponse C.
Q15 Une �quation du plan passant par A(1 ; 1 ; 1) et de vecteurs directeurs u et v est :
A. -7x+5y+9z-7=0 ; B. x+y-z-1=0 vrai ; C. 9x-y+7z-15=0 ; D. -x-2y+2z+2=0 vrai.
Soit M(x ; y ; z) appartenant au plan.

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