Math�matiques, concours TSEEAC 2022.

Partie 1.
On consid�re la suite (u_n) d�finie pour tout entier naturel n > 1 par : u_n = 1 +1 /2 +1 /3 +... 1/n.
Q1. Une fonction L �crite en langage Python qui a pour param�tre un nombre entier n > 2 et qui renvoie le n-i�me terme de la suite est :

A. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n) :
u = u+1/i
return u.

B. def L(n) :
u = 1
for i in range (1,n) :
u = u+1/ n
return u.

C. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n+1) :
u = u+1/i
return u.
Vrai

D. def L(n) :
u = 1
for i in range (2,n) :
u = u+1/n
return u.

La r�ponse A ne renvoie pas jusqu'au terme 1 / n+1.

Q2. La suite (u_n) v�rifie :
A. Pour tout entier naturel n > 1, u_2n-u_n > 0,5. Vrai.
Pour n = 2 : u₂ = 1+1/2 ; u₄ = 1+1/2 +1/3 +1/4 ; u₄-u₂ =1/3 +1/4 > 0,5.
U_2n = 1 +1 /2 +...+1 / n +1 /(n+1) +...+1 /(2n) ; U_n = 1 +1 /2 +...+1 /(n) ;
u_2n-u_n =1 /(n+1) +...+1 /(2n), u_2n-u_n > 0,5.
B. Pour tout entier naturel n > 1, u_2n-u_n < 0,5.
C. Pour tout entier naturel n > 1, U₂ⁿ > 1+n/2. Vrai.
Par r�currence :
Initialisation : pour n = 1 ; u₂ = 1 + 1/2 > 1+n/2 ; la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit� : U₂ⁿ > 1+n/2 est suppos�e vraie.
U₂ⁿ⁺¹ = U_{2 *2}ⁿ ; U_{2 *2}ⁿ -U₂ⁿ > 0,5.
U₂ⁿ⁺¹ > 0,5 +U₂ⁿ .
U₂ⁿ⁺¹ > 0,5 +1+n/2 ; U₂ⁿ⁺¹ > 1 /2 +1+n/2 ; U₂ⁿ⁺¹ > 1+(n+1)/2 ;
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout n entier naturel.
D. Pour tout entier naturel n > 1, U₂ⁿ < 1+n/2.

Q3. La suite (u_n) :
A. Converge car elle est croissante et major�e.
B. Converge car elle est d�croissante et minor�e.
C. Diverge car elle est minor�e par une suite divergente non born�e. Vrai.
D'apr�s la r�ponse Q2. C.
D. Diverge car elle est major�e par une suite divergente non born�e.

Partie II.
Soit la fonction f d�finie sur [0 ; +oo[ par f(x) = 10 exp(u(x)) avec u(x) = -exp(-2-0,1x).
Q4. Pour tout r�el x > 0, la fonction est d�rivable et :
A. f '(x) = exp(-e^-2-0,1x).
B. f '(x) = (-20-x)exp(-e^-2-0,1x).
C. f '(x) = 10 u(x) exp(u(x)).
D. f '(x) = - u(x) exp(u(x)). Vrai.
u'(x) = 0,1 exp(-2-0,1x)= -0,1 u(x).
f '(x) = 10 u'(x) exp(u(x)).

Q5. On admet que f '(x) est d�rivable sur [0 ; +oo[ et on note f '' la d�riv�e de f '.
A. f ''(x) = 10(1+u(x)) u'(x) e^u(x).
B. f ''(x) = 0,1(1+u(x)) u(x) e^u(x). Vrai.
C. f ''(x) = -0,1 exp(-e^-2-0,1x).
D. f ''(x) = (0,1x²+4x+39) exp(-e^-2-0,1x).
On pose v = u'(x) =0,1 exp(-2-0,1x) = -0,1 u(x) et w =exp(u(x)).
v'= -0,01 exp(-2-0,1x) =0,01u(x).
w' =u'(x) exp(u(x))= -0,1u(x)exp(u(x)).
v'w+w'v = 0,01 u(x)exp(u(x))+u'²(x) exp(u(x))=0,01(u(x)+u²(x)) exp(u(x))=0,01 u(x)(1+u(x))exp(u(x)).
f "(x) = 10v'w+w'v =0,1 u(x)(1+u(x))exp(u(x)).

Q6. La fonction d�riv�e f ' est maximale pour :
A x=20 vrai ; B x=0 ; C. x = 10(2+0,1^�) ; D.10(2-0,1^�).
f ''(x) = 0,1(1+u(x)) u(x) e^u(x).
0,1 e^u(x) > 0 ; -u(x) > 0 ; f "(x) a le signe de -(1+u(x)) = - (1-exp(-2-0,1x))= exp(-2-0,1x)) -1.
f "(x) > 0 si exp(-2-0,1x) > 1 soit -2-0,1 x >0 ; 20+x < 0 ; x < -20. f '(x) est croissante.
f "(x) < 0 si x > -20. f '(x) est d�croissante.
f "(x) =0 si x = -20. f '(x) est maximale.
Toutes les propositions sont fausses. R�pondre E.

Partie III.
Q7. Le syst�me suivant admet pour ensemble de solutions sachant que x et y appartiennent � [-p ; +p].

R�ponse D.

Q8. Le syst�me suivant admet pour ensemble de solutions sachant que x appartient � [-p ; +p].

Toutes les propositions sont fausses. R�pondre E.