La
clepsydre, ou horloge � eau, est un instrument � eau qui mesure le
temps par la chute d’une certaine
quantit� d’eau, d’une mani�re similaire � celle d’un sablier.
On consid�re la clepsydre. La partie sup�rieure est remplie d’eau qui
s’�coule dans la partie
inf�rieure � travers l’ouverture O. On consid�re � l’instant t
0
un petit �l�ment de volume cylindrique
d’eau V, de rayon r, compris entre les niveaux A et B � la hauteur z
1.
Un instant dt plus tard, l’eau s’est
d�vers�e dans la clepsydre, et le sommet du volume consid�r� est
descendu au niveau B.
Le fluide est incompressible et on n�glige les effets thermiques ou de
viscosit�. On note S(z) et c(z),
respectivement la section du cylindre et la vitesse d’�coulement du
liquide en fonction de z.
1) Exprimer le
volume V en fonction de S, c et dt
Volume d'un cylindre de section S(z) et de hauteur h=
(z1-z2) : V = S(z) (
z1-z2).
c(z) =
(z1-z2)/ dt.
V
= S(z) c(z) dt.
2) On note P
A
/P
B respectivement la pression s’exer�ant sur le cylindre en
A et B. Le travail effectu�
par la gravit� et par la pression pour acc�l�rer l'eau se transforme en
�nergie cin�tique. Montrer
et expliquer pourquoi on peut �crire :
0,5m [c
B 2
- c
A 2
] + mg(z
2-z
1)= P
AS
A c
Adt
– P
BS
B cBdt
o� les indices A/B d�notent la position en A /B.
Th�or�me de l'�nergie cin�tique entre A et B :
DE
c
=
0,5m [cB
2
- cA
2
].
Travail du poids du volume V : mg(z1-z2).
Travail des forces de pression : PASA cAdt – PBSB
cBdt.
Par suite : 0,5m [cB
2
- cA
2
] = mg(z1-z2) + PASA cAdt
– PBSB cBdt.
3) On suppose le
liquide homog�ne de masse volumique
r. Comment relier
l’expression pr�c�dente
au th�or�me de Bernoulli qui donne :
1/2 c
2 + gz + P/
r
=constante.
r = m
/
S(z)
c(z) dt.
0,5 [cB
2
- cA
2
] + g(z2-z1) = ( PASA cAdt
– PBSB cBdt ) / m = (PA-PB)
/ r.
.
4) On consid�re qu’� la
surface du niveau d’eau dans la clepsydre, l’eau est stagnante et qu’il
n’y a
pas de pression. En utilisant l’expression donn�e � la question 3,
donner la vitesse du liquide au
niveau de l’ouverture O. On prendra l’origine de l’axe z au niveau de
cette sortie.
C
A = 0 ; P
A =P
O= P
atmosph�rique.
0,5 cO
2 - g zA.
cO
2 =2 g zA.
5) On consid�re que la clepsydre est
tronconique avec un rayon r=a z (o� a est une constante). En
utilisant le r�sultat de la question 1 montrer que la vitesse de baisse
du niveau prend la forme :
v(z)~ z
-1,5.
Equation diff�rentielle � laquelle ob�it z
:
�crire la conservation du d�bit volumique en A, point de
la surface et en O :
S vL= s vO
avec vL= -dz/dt
-Sdz/dt = s vO = s [2gz]� ; dz/dt +s/S[2gz]� =0.
Expression traduisant les variations de z en
fonction du temps :
s�parer les variables
: dz / z� = -s/S [2g]�
dt
int�grer entre 0 et t
: 2[z�]z0z
= -s/S [2g]� [t]0t
;
2[z�-z0�]=
-s/S [2g]� t soit 2[z0�-z�]=
s/S [2g]�t.
6) Quel est le d�faut
principal de la clepsydre mis en �vidence dans la question pr�c�dente
et quelle
modification apporter � la clepsydre pour y rem�dier ?
La vitesse d'�coulement n'est pas constante. Les graduations ne sont
pas �quidistantes pour une clepsydre cylindrique.
Il faut utiliser un vase tronconique.
