Clepsydre, radioactivit�, r�fractom�tre, Concours TSPEI / 2022.

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La clepsydre, ou horloge � eau, est un instrument � eau qui mesure le temps par la chute d’une certaine quantit� d’eau, d’une mani�re similaire � celle d’un sablier.
 
On consid�re la clepsydre. La partie sup�rieure est remplie d’eau qui s’�coule dans la partie inf�rieure � travers l’ouverture O. On consid�re � l’instant t0 un petit �l�ment de volume cylindrique d’eau V, de rayon r, compris entre les niveaux A et B � la hauteur z1. Un instant dt plus tard, l’eau s’est d�vers�e dans la clepsydre, et le sommet du volume consid�r� est descendu au niveau B. Le fluide est incompressible et on n�glige les effets thermiques ou de viscosit�. On note S(z) et c(z), respectivement la section du cylindre et la vitesse d’�coulement du liquide en fonction de z.
1) Exprimer le volume V en fonction de S, c et dt
Volume d'un cylindre de section S(z) et de hauteur h= (z1-z2) : V = S(z) (z1-z2).
c(z) = (z1-z2)/ dt.
V = S(z) c(z) dt.

2) On note PA /PB respectivement la pression s’exer�ant sur le cylindre en A et B. Le travail effectu� par la gravit� et par la pression pour acc�l�rer l'eau se transforme en �nergie cin�tique. Montrer et expliquer pourquoi on peut �crire :
0,5m [cB 2 - cA 2 ] + mg(z2-z1)= PASA cAdt – PBSB cBdt o� les indices A/B d�notent la position en A /B.
Th�or�me de l'�nergie cin�tique entre A et B :
DEc = 0,5m [cB 2 - cA 2 ].
Travail du poids du volume V :
mg(z1-z2).
Travail des forces de pression :
PASA cAdt – PBSB cBdt.
Par suite :
0,5m [cB 2 - cA 2 ] = mg(z1-z2) + PASA cAdt – PBSB cBdt.

3) On suppose le liquide homog�ne de masse volumique r. Comment relier l’expression pr�c�dente au th�or�me de Bernoulli qui donne : 1/2 c2 + gz + P/r =constante.
r = m / S(z) c(z) dt.
0,5 [cB 2 - cA 2 ] + g(z2-z1) = ( PASA cAdt – PBSB cBdt ) / m = (PA-PB) / r.
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 4) On consid�re qu’� la surface du niveau d’eau dans la clepsydre, l’eau est stagnante et qu’il n’y a pas de pression. En utilisant l’expression donn�e � la question 3, donner la vitesse du liquide au niveau de l’ouverture O. On prendra l’origine de l’axe z au niveau de cette sortie.
CA = 0 ; PA =PO= Patmosph�rique.
0,5 cO 2  - g zA.
cO 2  =2 g zA.
5) On consid�re que la clepsydre est tronconique avec un rayon r=a z (o� a est une constante). En utilisant le r�sultat de la question 1 montrer que la vitesse de baisse du niveau prend la forme : v(z)~ z -1,5.

Equation diff�rentielle � laquelle ob�it z :

�crire la conservation du d�bit volumique en A, point de la surface et en O :

S vL= s vO avec vL= -dz/dt

-Sdz/dt = s vO = s [2gz] ; dz/dt +s/S[2gz] =0.

Expression traduisant les variations de z en fonction du temps :

s�parer les variables : dz / z= -s/S [2g]dt

int�grer entre 0 et t : 2[z]z0z = -s/S [2g] [t]0t ;

2[z-z0]= -s/S [2g] t soit 2[z0-z]= s/S [2g]t.

 6) Quel est le d�faut principal de la clepsydre mis en �vidence dans la question pr�c�dente et quelle modification apporter � la clepsydre pour y rem�dier ?
La vitesse d'�coulement n'est pas constante. Les graduations ne sont pas �quidistantes pour une clepsydre cylindrique.
Il faut utiliser un vase tronconique.

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Exercice 2 – Cr�me irradiante.
 Au d�but des ann�es, l’entreprise Tho-Radia proposait une cr�me de beaut� contenant du Bromure de radium (RaBr2). Le radium est un �l�ment radioactif qui se d�sint�gre en radon suivant l’�quation : 22688Ra =22286Rn +ZXA.
 1) Donner le nombre de protons, neutrons et �lectrons de l’�l�ment � A �.
Conservation du nombre de nucl�ons : Z +222 =  226 ; Z = 4.
Conservation de la charge  : 88 = 86 +A ; A = 2.
2) Quel est cet �l�ment ? Comment appelle-t-on ce type de radioactivit� ?
42He radioactivit� de type alpha.
 3) Evaluer la masse molaire de RaBr2. On consid�rera pour le brome l’isotope 79Br comportant 44 neutrons. On rappelle que la valeur du nombre d’Avogadro : N= 6,02214 x 1023 mol-1 . On donne : masse neutron = 1,6749 x 10-27 kg ; masse proton = 1,6726 x 10-27 kg .
Masse d'un atome de radon : (88 x1,6726 +(226-88) x1,6749) 10-27 =(147,1888 +231,1362) 10-27 =378,325 10-27 kg.
Masse d'un atome de 79Br : ((79-44) x1,6726 +44 x1,6749) 10-27 =(58,541 +73,6956) 10-27 =132,2366 10-27 kg.
Masse molaire RaBr2 : 6,02214 x 1023 (378,325 +2 x132,2366) 10-27=0,387 kg / mol = 387 g / mol.

4) Sachant qu’un pot de 100 g de cr�me pouvait contenir 0,223 microgramme de bromure de radium, calculer la quantit� de Radium associ�e.
0,223 10-6 / 387 =5,76 10-10 mol.
 5) La demi-vie du Radium 226 est de 1600 ans. Evaluer par quel facteur l’activit� du radium a �t� r�duite de nos jours, depuis 1932.
2022-1932=90 ans.
N = N0 exp(-lt) avec l T = ln(2) ; l =ln(2) / 1600 = 1,80 10-3 an-1.
N / N0 = exp(-1,80 10-3 x90)=0,85.

 6) Quelle aurait �t� l’activit� maximum ?
Amax = l N0 =1,80 10-3 x5,76 10-10 x6,02214 1023 =6,24 1011 Bq.
7) Les limites de s�curit� pour la radioprotection des personnes sont donn�es dans d’autres unit�s que le Becquerel, pourquoi ?
Le Sievert ( dose �quivalente), le gray ( unit� de dose absorb�e) tiennent compte de l'�nergie de la source et de ses effets sur l'homme.

Exercice 3 : R�fractom�tre.
 Un r�fractom�tre est un instrument permettant de mesurer l’indice de r�fraction d’un milieu. L'indice est calcul� � partir de l'angle de r�fraction observ� en utilisant la loi de Snell-Descartes. Les applications sont nombreuses comme la mesure de la concentration d’un solut� dans un solvant (par exemple la teneur en sucre de jus de raisin).
1) Rappeler et illustrer avec un sch�ma la loi de Snell - Descartes.

 2) On consid�re un rayon incident se propageant dans un milieu d’indice 1,3 et arrivant � l’interface avec un milieu d’indice 1 en faisant un angle de 50� par rapport � la normale � l’interface. Que se passera-t-il � l’interface ?
Angle d'incidence limite : 1 / 1,3 = 0,769 = sin ilim ; ilim ~50�.
Il y a r�flexion totale.
3) Dans quelle situation pourrait-on observer ce ph�nom�ne ?
Propagation dans une fibre optique.
 4) Vous achetez aux puces un r�fractom�tre portable. Il s’agit d’un tube dans lequel il est possible de placer une goutte de liquide entre deux prismes, la goutte formant alors un film mince entre les deux prismes.

 Lorsque le prisme d'entr�e, � une extr�mit� du tube, est plac� devant une source lumineuse, la lumi�re �claire le liquide en incidence rasante et les rayons traversant le liquide puis le second prisme sont observ�s par l'utilisateur via une optique et un viseur. L’utilisateur observe alors une zone d’ombre (en gris sur la figure) dont la hauteur peut �tre mesur�e � l’aide d’un r�ticule gradu� mais sans unit�. Quelles �tapes seraient � suivre pour pouvoir utiliser efficacement ce r�fractom�tre ?
Etalonnage de l'appareil : utiliser diff�rents produits d'indice de r�fraction connu.
D�poser quelques gouttes d'un produit d'�talonnage.
Exposer le r�fractom�tre � la lumi�re. Noter la position de la zone d'ombre.
Faire de m�me pour les autres produits.
5) Quel est l’avantage d’un tel r�fractom�tre par rapport � d’autres instruments de mesures ?
Dans l'agroalimentaire, le r�fractom�tre donne directement la teneur en sucre d'un milieu.



  
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