Math�matiques, Concours TSPEI / 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. On consid�re l’�quation diff�rentielle : (E) : y ′′ − 2y ′ + y = 2ex o� y est une fonction inconnue de la variable r�elle x, d�finie et deux fois d�rivable sur R, y ′ la fonction d�riv�e de y et y ′′ la fonction d�riv�e seconde de y. 1. a. R�soudre dans R l’�quation : r 2 − 2r + 1 = 0. Discriminant D =(-2)2 -4 = 0. Solutions r =(2 � 0) / 2 = 1.  b. En d�duire les solutions d�finies sur R de l’�quation diff�rentielle (E0) : y ′′ − 2y ′ + y = 0. y = (A x+B) ex. A et B sont des constantes.  2. D�terminer une solution particuli�re d�finie sur R de l’�quation (E). Remarque : chercher les solutions de r2-2r+1=2 soit r = 1�2�. Solution particuli�re de (E) : y = exp((1+2�)x) + exp((1-2�)x).  3. En d�duire les solutions d�finies sur R de l’�quation diff�rentielle (E). y = (A x+B) ex+exp((1+2�)x) + exp((1-2�)x).  4. D�terminer la solution f d�finie sur R de l’�quation diff�rentielle (E) qui v�rifie les conditions initiales : f(0) = −1 et f ′ (0) = 1. f(0) =B+1+1 =0 soit B = -2. f 'x) = (Ax+A+B)ex+(1+2�)exp((1+2�)x) + (1-2�)exp((1-2�)x) = 0. A-2+1+2�+1-2� =0 ; A = 0. f(x) = -2 ex+exp((1+2�)x) + exp((1-2�)x). ... .... Exercice 2. Le but de cet exercice est de d�terminer les triplets de nombres complexes (z1 ; z2 ; z3) solutions du syst�me : (S)   |z1| = |z2| = |z3| = 1  ; z1 + z2 + z3 = 1 ;  z1 z2 z3 = 1 1. a. V�rifier que (1; i; −i) est une solution du syst�me (S). |1| = 1 ; |i| = 1 ;| -i| = 1. 1+i-i = 1. 1 *i *(-i) * =-i2 = 1. b. En d�duire cinq autres triplets solutions du syst�me (S). Tous les triplets obtenus par permutations circulaires sont �galement solutions. (1 ; -i ; i) ; (-i ; i ; 1) ; (-i ; 1 ; i) ; (i ; -i ; 1) ; (i ; 1 ; -i).  2. Soit (z1; z2; z3) une solution du syst�me (S). a. Montrer que : z1, z2 et z3 sont non nuls. z1 z2 z3 = 1  ; donc aucun des nombres complexes ne peuvent �tre nuls.  b. Montrer que : 1 /z1 + 1/ z2 + 1 /z3 = 1.  Indication : on pourra utiliser la notion de conjugu� pour un nombre complexe de module 1. 1 /z1  =1 ;  1/ i =i / (i2)= -i ; 1 /(-i) = i / (- i2) = i. 1 +i-i = 1. c. D�montrer que pour tout nombre complexe z, on a : (z − z1)(z − z2)(z − z3) = (z − 1)(z 2 + 1).  Indication : on pourra d�velopper et r�duire chaque membre de l’�galit�. (z − 1)(z −i)(z +i) =(z-1)(z2+1). ou bien :(z2-z z2-z z1+z1z2)((z − z3)  =z3-z2 z2-z2 z1+zz1z2-z2z3+z z2 z3+z z1z3-z1z2z3. z3-z2 i-z2 +z i+z2 i+z -z i-1 =z3 -z2 +z -1. (z − 1)(z 2 + 1) =z3+z-z2-1.  3. En d�duire, des questions pr�c�dentes, les triplets solutions du syst�me (S). solution de (z − 1)(z 2 + 1)=0, triplet (1 ; i ; -i).

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