Math�matiques, concours avenir 2021.

Une seule r�ponse exacte par question. Chque r�ponse exacte est gratifi�e de 3 points ; chaque r�ponse fausse est p�nalis�e par le retrait d'un point.
Dur�e : 1 h 30 ; coefficient 6.
G�om�trie du plan et de l'espace.
1. Soient P ,R et T trois plans de l’espace, deux � deux non parall�les. On appelle D la droite d’intersection du plan P avec
le plan R.
On peut alors affirmer que la droite D est :
a. forc�ment s�cante au plan T
b. forc�ment parall�le au plan T
c. forc�ment incluse dans T
d. �ventuellement parall�le au plan T. Vrai.
Soit P le plan d'�quation cart�sienne x = 0 et R le plan d'�quation cart�sienne y =0.
L'�quation param�trique de la droite D d'intersection est : x =0 ; y = 0 ; z = t avec t r�el.

2. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re les points A(1 ;−1), B(4 ;−4) et C(2021 ;−2021).
Combien existe-t-il de cercle(s) passant(s) par ces trois points?
a. Aucun. Vrai.
b. Un unique
c. Deux exactement
d. Une infinit�.

3. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, l’ensemble des points M(x ; y) tels que x²+ y²-2x +4y −11 = 0 est un cercle
de centre le point de coordonn�es :
a. (1 ;−2) vrai.
b. (−1 ;2)
c. (−2 ;1)
d. (2 ;−1).
x²-2x +1-1+ y²+4y +4-4−11 = 0.
(x-1)² +(y+2)² =16, cercle de centre (1 ; -2) de rayon 4.

4. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, l’ensemble des points M(x ; y) tels que x⁴- y⁴= 0 est constitu� :
a. d’une droite et d’un cercle
b. de deux droites et d’un cercle
c. de deux droites vrai
d. de deux droites et d’un point n’appartenant pas � celles-ci.
x⁴- y⁴=(x²+y²)(x²-y²)=(x²+y²)(x+y)(x-y)=0
x²+y²=0, correspond � l'origine.
x+y = 0 correspond � la droite d'�quation y = -x.
x-y = 0 correspond � la droite d'�quation y = x.

5. Soient A et B deux points distincts du plan muni d’un rep�re orthonorm�.
L’ensemble des points M tels que AM²− AB²= 0 est :
a. la m�diatrice du segment [AB]
b. le cercle de centre A et de rayon AB vrai.
c. le cercle de centre B et de rayon AB
d. le cercle de centre B et de rayon racine carr�e de AB.
AM²= AB² soit AM = AB.
M appartient au cercle de centre A et de rayon AB.

6. Dans l’espace muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re la droite D dont une �quation param�trique est donn�e par :
x = 2t −1 ; y = −4+2t ; z = 1+t avec t r�el.
La droite D coupe le plan de base xOz au point de coordonn�es :
a. (3 ;0 ;3) vrai
b. (−3 ;−6 ;0)
c. (0 ; -3 ; 1,5)
d. (0 ;2 ;0).
Equation cart�sienne du plan xOz : y =0. Les r�ponses b, c et d sont donc exclues.
A(3 ; 0 ; 3) appartient-il � D ?
3=2t-1 soit t = 2 ; y = -4+2*2 =0 est v�rifi� ; 3 = 1+2 est v�rifi�.
A(3 ; 0 ; 3) appartientbien � D.

7. Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on consid�re le cercle C d’�quation cart�sienne x²+ y²−6x +3 = 0 et D la droite d’�quation r�duite y = ax.
A quel intervalle doit appartenir le nombre r�el a pour que D et C aient au moins un point en commun ?
a .[-3^� ; 3^�] ; b. [0 ; 3^�] ; c. [0 ; 2^�] ; d. [-2^� ; 2^�].Vrai.
x²+ a²x²−6x +3 = 0 ; (1+a²)x²−6x +3 = 0.
Discriminant D :(-6)²-4*3(1+a²) > 0.
36-12-12a²> 0 ; 2-a²> 0. a² < 2.

Calculs num�riques, suites num�riques.
8. Combien existe-t-il de nombre(s) r�el(s) �gaux � leurs inverses ?
a. Aucun
b. Un unique
c. Exactement deux vrai
d. Une infinit�.
x = 1 /x ; x² = 1 ; x = �1.

9. Quels que soient les r�els a, b et c, on a : (a +b)²−(a +c)²=
a. (b −c)(2a +b +c) vrai
b. (b −c)(a +2b +c)
c. (b −c)(a +b +2c)
d. (a −c)(a +2b +c).
(a +b)²−(a +c)²=[(a+b)+(a+c)][(a+b)-(a+c)]=(2a+b+c)(b-c).

10. Soient a =(3+2*3^�) / 7^� et b = 7^�.
On peut alors affirmer que :
a. a < b vrai
b. a > b
c. a = b
d. les nombres a et b ne peuvent pas �tre compar�s.
a-b =(3+2*3^�) / 7^� -7 / 7^� =(3+2*3^�-7) /7^� =(-4 +2*3^�) / 7^� < 0.

11.Pour n ∈N∗, on peut affirmer que la somme des n premiers entiers pairs non nuls 2+4+��+2n est �gale � :
a. n(n +1)/2 ; b. 2n(n +1) /2 vrai ; c. n(2n +1) /2 ; d. 2n(2n +1) /2.
Somme des termes d'une suite arithm�tique de premier terme u₁=2 et de raison 2.
n (u₁ + u_n) / 2 =n( 2+2n) / 2.

Pour les deux questions suivantes, on consid�re les suites (u_n) et (v_n) d�finies par :
u₀ = 1; u_n+1 = (−1)ⁿ −u_n pour tout n ∈N
et v_n = (−1)ⁿu_n pour tout n ∈ N.
12.
La suite (v_n) est :
a. arithm�tique de raison −1 vrai
b. g�om�trique de raison 1
c. g�om�trique de raison −1
d. ni arithm�tique, ni g�om�trique.
v_n+1 = (−1)ⁿ⁺¹u_n+1 = (−1)ⁿ⁺¹( (−1)ⁿ −u_n )=(-1)²ⁿ⁺¹- (−1)ⁿ⁺¹u_n= -1+(−1)ⁿu_n= -1 +v_n.

13. Pour tout entier naturel n, on a :
a. u_n = n(−1)ⁿ +n
b. u_n = n(−1)ⁿ +n(−1)ⁿ
c. u_n = (−1)ⁿ −n(−1)ⁿ. Vrai.
d. u_n = 1−n².
v_n =v₀+n(-1)=v₀-n=1-n. ( suite arithm�tique de raison -1 et de premier terme v₀ = 1)
u_n=v_n /(-1)ⁿ =(-1)ⁿ (1-n)= -1ⁿ -(-1)ⁿ n.

14. Soient (u_n) et (v_n) des suites adjacentes, qui convergent vers le r�el ℓ diff�rent de 0. Les suites (a_n) et (b_n), d�finies par
a_n = u_n −ℓ et b_n = v_n −ℓ sont :
a. adjacentes et convergent vers 0. Vrai.
b. adjacentes et convergent vers ℓ
c. adjacentes et convergent vers −ℓ
d. non adjacentes.
En plus l'infini : limite de ( u_n −ℓ )= limite de u_n −ℓ =0.
limite de ( v_n −ℓ )= limite de v_n −ℓ =0.
Elle sont adjacentes : en plus l'infini, limite de a_n-b_n = 0.

15.
Soit (u_n) une suite monotone. Les suites (u_n) et (−u_n) :
a. sont forc�ment adjacentes
b. ne peuvent pas �tre adjacentes
c. sont adjacentes uniquement si (u_n) converge
d. sont adjacentes uniquement si (u_n) converge vers 0. Vrai.
u_n -(-u_n)=2u_n. Donc les suites (u_n) et (−u_n) sont adjacentes.
En plus l'infini, la limite de 2 u_n est nulle.

16.Deux suites constantes sont adjacentes si et seulement si elles sont :
a. nulles
b. convergentes
c. �gales vrai
d. convergentes vers 0.
u_n = a ; v_n = b ; limite en plus l'infini de (u_n-v_n) : a-b= 0 soit a = b.

17.Soient (u_n) et (v_n) des suites adjacentes, avec (u_n) croissante et (v_n) d�croissante.
Soit (w_n) une suite croissante qui converge vers un r�el ℓ.
On peut alors affirmer que les suites (u_n +w_n) et (v_n −w_n) :
a. sont forc�ment adjacentes
b. ne peuvent pas �tre adjacentes
c. sont adjacentes uniquement si ℓ = 0 vrai
d. aucune de ces r�ponses n’est correcte.
u_n+w_n-(v_n-w_n)=u_n-v_n+2w_n.
Or la limite en plus l'infini de u_n-v_nest �gale � z�ro.
La limite en plus l'infini de u_n+w_n-(v_n-w_n) est �gale � 2 ℓ.

18. Soient (u_n) et (v_n) deux suites non nulles, respectivement arithm�tique de raison r et g�om�trique de raison q.
Sachant que la suite (u_n �v_n) est g�om�trique, on peut affirmer que :
a. r = 0 et q = 1 ; b. r = 0 vrai ; c. q = 1 ; d. r = 0 ou q = 1.
u_n= u₀+nr ; v_n =v₀ qⁿ ; u_n �v_n=v₀ qⁿ (u₀+nr) =v₀u₀ qⁿ +n r v₀ qⁿ.
v₀, u₀ et q ne sont pas nulle, donc si r = 0, la suite (u_n �v_n) est g�om�trique.

Fonctions.
19. Soit n entier non nul, la fonction d�finie sur R par : f(x) = 1+x+x²+...+xⁿ.
On note C sa courbe repr�sentative. L'�quation de la tangente � C au point d'abscisse 1 admet pour �quation :
f '(1) = 1 +2+...+n =n(n+1) /2 ( somme des termes d'une suite arithm�tique de raison1 et de premier terme 1).
f(1) =1+1+12+...+1ⁿ=n+1.
Equation de la tangente : y = f '(1) x+b = n(n+1) / 2 x +b.
Le point de coordonn�es (1 ; f(1)) appartient � la tangente :
f(1)=n+1 =n(n+1) / 2+b ; b =(n+1) (1-n/2).
y = n(n+1) / 2 x +(n+1) (1-n/2)= n(n+1) / 2 x +(n+2-n²)/2. R�ponse B.

20. On donne la courbe repr�sentative d'une fonction f, d�finie et d�rivable sur [1 ; 13].

Combien l’�quation f ′(x) = 0 poss�de-t-elle de solution(s) dans l’intervalle [1;13]?
a. 0 ; b. 1; c. 2 vrai ; d. 3.
La d�riv�e s'annule quand la courbe pr�sente un extr�mum ( tangente horizontale ).

21.On admet que, pour tout nombre r�el x, on a : e^x> x +1.
On peut alors affirmer que pour tout nombre r�el x, on a :
a. exp(−x²) < (x −1)(x +1)
b. exp(−x²) < -x²+1.
c. exp(−x²) > x²-1.
d. exp(−x²) >(1-x)(1+x). Vrai.
On remplace x par -x² dans e^x> x +1 : exp(−x²) > -x²+1=1-x².
exp(−x²) > (1-x)(1+x).

22. Pour tout r�el x, on a : ln[(1+e^x) / (1+e^-x)] =
a. e^x ; b. e^2x ; c. x vrai ; d. 2x.
ln[(1+e^x) / (1+e^-x)] =ln[e^x(1+e^-x) / (e^-x(1+e^x)] =ln(e^x-(-x) )+ln[(1+e^-x) /(1+e^x)]=ln(e^2x)-ln[(1+e^x) /(1+e^-x)].
2ln[(1+e^x) / (1+e^-x)] =ln(e^2x) = 2x.
ln[(1+e^x) / (1+e^-x)] = x.

23.
Soit f la fonction d�finie et d�rivable sur R par : f (x) = exp(xe^x)
On a alors f ′(x) =
a. exp(xe^x) ; b. (x +1)exp(xe^x) ; c.(x+1) exp((x+1)e^x) vrai ; d. (x+1) exp(x(1+e^x)).
On pose w =xe^x; u = x et v = e^x ; u' = 1 ; v' = e^x.
w' = u'v +v'u = e^x+xe^x=(x+1)e^x.
f '(x) = w' w =(x+1)e^x exp(xe^x) =(x+1) exp(e^x(x+1)).

24. Sachant que a > 0 et que la fonction f , d�finie et d�rivable sur R par f (x) = ln(e^ax +e^-ax) est telle que la limite en plus l'infini de f '(x) = 8 on peut affirmer que :
a. a = 1 ; b. a = 2 ; c. a = 4 ; d. a = 8. Vrai.
On pose u = e^ax +e^-ax ; u' = ae^ax -ae^-ax ; f '(x) = u' / u = a(e^ax -e^-ax ) / (e^ax +e^-ax).
f '(x) =ae^ax (1-e^-2ax ) / [e^ax (1-e^-2ax )]=a(1-e^2ax ) / (1-e^-2ax ).
En plus l'infini, e^-ax tend vers z�ro car a > 0 et f '(x) tend vers a.

25. Le domaine de d�finition de la fonction f d�finie par f (x) = ln(x²) est �gal � :
a. R∗ vrai ; b. R ; c. ]0 ;+∞[ ; d. [0 ;+∞[.
x² doit �tre diff�rent de 0.

26. Soit f une fonction d�finie et deux fois d�rivable sur R et telle que f ′(0) = 0.
Sachant que f est concave, on peut affirmer que f est :
a. � valeurs positives ou nulles sur [0 ;+∞[
b. � valeurs n�gatives ou nulles sur [0 ;+∞[
c. croissante sur [0 ;+∞[
d. d�croissante sur [0 ;+∞[. Vrai.
f est concave : f " < 0 et f ' est d�croissante.
Or f '(0) =0 : f ' > 0 sur ]-oo ; 0] et f '(x) < 0 sur [0 ; +oo[.
f est croissante sur ]-oo ; 0] et d�croissante sur [0 ; +oo[.

27. Quel est l’ant�c�dent par la fonction exponentielle de l’ant�c�dent par la fonction logarithme n�p�rien de 0 ?
a. 0 vrai ; b. 1 ; c. e ; d. Celui-ci n’existe pas parce que la fonction ln n’est pas d�finie en 0.
ln(1) =0 ; e^x = 1 soit x = 0.