Circuit RL,
 concours ENAC pilote 2018.

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Une bobine d’inductance 𝐿 (résistance négligeable) est placée en série avec un résistor de résistance 𝑅. L’ensemble est alimenté par un générateur de tension continue de force électromotrice 𝐸 et de résistance interne 𝑟. À l’instant 𝑡 = 0 initial (𝑡 désigne le temps), on ferme le circuit série à l’aide d’un interrupteur.

  7.  Quel est l’ordre de grandeur de l’inductance 𝐿 des bobines couramment utilisées en travaux pratiques ?
 A) Le mégahenry (MH) ; B) Le millihenry (mH) vrai ; C) Le nanohenry (nH) ; D) Le kilohenry (kH).

8. Déterminer l’équation différentielle du premier ordre vérifiée par l’intensité 𝑖(𝑡) qui circule dans la bobine.
Additivité des tensions : ug =uR +uL ;
ug = E-ri ; uL = Ldi/dt ; uR = Ri.
E-ri = L di / dt +Ri.
Ldi /dt +(R+r) i = E.
On pose t= L / (R+r).
di /dt + i / t = E / L.
Réponse D.

9. Quelle est la solution de l’équation différentielle précédente ?
Solution générale de l'équation sans second membre :
i =A exp(-t / t) avec A une constante.
Solution particulière de l'équation : i=E/(R+r).
Solution générale de l'équation avec second membre :
i= A exp(-t / t) +E / (R+r).
i(t=0) = 0 ; A+E /(R+r) =0 ; A = -E/(R+r).
i= E/ (R+r) [ 1-exp(-t / t)].
Réponse B.

10. Déterminer la tension 𝑢𝐿(𝑡) aux bornes de la bobine.
di /dt = E / [ t (R+r)] exp(-t / t).
di / dt = E / L exp(-t / t).
uL(t) = Ldi/dt =E  exp(-t / t).
Réponse B.

  11. Comment évolue la tension 𝑢𝑔(𝑡) aux bornes du générateur ?
 A) La tension aux bornes du générateur reste constante et égale à 𝐸.
 B) La tension aux bornes du générateur devient nulle.
C) La tension aux bornes du générateur évolue selon 𝑢𝑔(𝑡) = 𝐸 − 𝑟𝑖(𝑡).
D) La tension aux bornes du générateur diminue et devient égale à RE / (r+r) au bout d’une durée suffisamment longue.
ug(t) = E-r i = E-r E/ (R+r) [ 1-exp(-t / t)].
Au bout d'un temps assez long : exp(-t / t) tend vers zéro.
ug(t) =E-r E/ (R+r)= [E(R+r)-rE ] / (R+r) =E R / (R+r).
 Réponses C et D.

12. .On remplace maintenant le générateur de tension continue par un GBF qui délivre une tension sinusoïdale de pulsation w. Comment évolue la tension complexe uL , associée à uL , en fonction du courant complexe 𝑖 associé à 𝑖 ?
i(t) = I exp(jwt + J).
di(t) /dt = j I w exp(jwt + J).
uL(t) = j L w I exp(jwt + J) = jLw i(t).
 Réponses A et B.





  
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