La
Terre, assimil�e � un corpuscule 𝑇 de masse M
T, poss�de une
orbite elliptique dans le r�f�rentiel h�liocentrique. Ce
dernier, suppos� galil�en, est centr� sur le Soleil de masse M
S
, plac� en O. On note A
p et A
a les positions
orbitales extr�mes
de T : le p�rih�lie 𝐴
p et l’aph�lie A
a. On
rep�re la position de T � l’aide du syst�me de coordonn�es polaires de
centre O : r=OT et
j.
Les angles sont orient�s dans le sens de parcours de la trajectoire.
On pose r
p = OA
p et r
a = OA
a
et on note G la constante de Newton (dite de gravitation universelle).
On introduit v
p et v
a les
vitesses de T respectivement en A
p et A
a. Sur la
figure pr�c�dente, on a repr�sent� la position H occup�e par la Terre
au
d�but de l’hiver (solstice d’hiver), ainsi que la position E occup�e
par la Terre au d�but de l’�t� (solstice d’�t�) � l’aide de
l’angle � =12,2� .
L’origine (ou r�f�rence) de l’�nergie potentielle gravitationnelle est
prise � l’infini et on note E
m l’�nergie m�canique de T
dans le r�f�rentiel h�liocentrique.
19. Que peut-on
affirmer ?.
A) r
pv
p
= r
av
a ;
vrai.
B) r
p2v
p
= r
a2v
a ;.
C) E
m(A
p)
diff�re de E
m(A
a).
Vrai.
D) E
m(A
p) = E
m(A
a).
Vrai.
L'interaction de gravitation est une force centrale :
- l'�nergie m�canique se conserve. E
m(A
p) = E
m(A
a).
- le moment cin�tique se conserve.
20. Exprimer v
a.
Conservation de l'�nergie m�canique :
�M
T v
a2 -GM
T M
S
/ r
a =�M
T v
p2 -GM
T
M
S / r
p .
�v
a2 -G M
S / r
a =� v
p2
-G M
S / r
p .
Or v
p =r
a / r
p v
a.
�v
a2 -G M
S / r
a =� (r
a
/ r
p v
a)
2 -G M
S
/ r
p .
�v
a2 [1-(r
a / r
p )
2
]=G M
S [ 1/ r
a-1/ r
p]= G M
S
[ (r
p - r
a) / (r
ar
p)].
v
a2 =2G M
S [ (r
p - r
a)
/ (r
ar
p)] / [1-(r
a / r
p )
2
].
v
a2 =2G M
S [ (r
p - r
a)
/ (r
ar
p)] / [ (r
p2-r
a2)
/ r
p 2 ].
v
a2 =2G M
S / r
a / [ (r
p
+ r
a) / r
p ].
v
a2 =2G M
S r
p / [r
a
(r
p + r
a) ].
v
a ={ 2G M
S r
p / [r
a
(r
p + r
a) ] }
�. R�ponse
D.
21. Exprimer L
z.
L
z =M
T r
a v
a =M
T r
a { 2G M
S r
p / [r
a
(r
p + r
a) ] }
�= M
T { 2G M
S r
ar
p /
(r
p + r
a) }
�. R�ponse
B.
22. L’�quation polaire de la trajectoire de la Terre est la suivante : r = p /(1+e cos
j)
o� e et p sont deux constantes temporelles
ind�pendantes de r et de
j. Sachant que e << 1, que peut-on affirmer ?
A) L
z / M
T ~p
2(1+ e cos
j)
j' ;
B) L
z / M
T ~p
2(1- e cos
j)
j' ;
C) L
z / M
T ~p
2(1+2 e cos
j)
j' ;
D) L
z / M
T ~p
2(1-2 e cos
j)
j' .
R�ponse
D.
23. On rappelle l’�galit� suivante, dans laquelle g'(
j) d�signe la d�riv�e d’une fonction g(
j) par rapport �
j :
g'(
j)
j' =d g(
j) / dt.
En d�duire la dur�e
t1
n�cessaire pour que T passe de H � E, c’est-�-dire la dur�e qui s’�coule entre le solstice d’hiver et
le solstice d’�t�.
On pose g'(
j) =1-2e cos
j ; g(
j) =
j-2e sin
j + A avec A une constante.
R�ponse
D.
24. De m�me, exprimer la dur�e
t2
n�cessaire pour que 𝑇 passe de E � H, c’est-�-dire la dur�e qui s’�coule entre le solstice
d’�t� et le solstice d’hiver.
R�ponse
C.
