Orbite elliptique,
 concours ENAC pilote 2020.

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La Terre, assimil�e � un corpuscule 𝑇 de masse MT, poss�de une orbite elliptique dans le r�f�rentiel h�liocentrique. Ce dernier, suppos� galil�en, est centr� sur le Soleil de masse MS , plac� en O. On note Ap et Aa les positions orbitales extr�mes de T : le p�rih�lie 𝐴p et l’aph�lie Aa. On rep�re la position de T � l’aide du syst�me de coordonn�es polaires de centre O : r=OT et j. Les angles sont orient�s dans le sens de parcours de la trajectoire.

On pose rp = OAp et ra = OAa et on note G la constante de Newton (dite de gravitation universelle). On introduit vp et va les vitesses de T respectivement en Ap et Aa. Sur la figure pr�c�dente, on a repr�sent� la position H occup�e par la Terre au d�but de l’hiver (solstice d’hiver), ainsi que la position E occup�e par la Terre au d�but de l’�t� (solstice d’�t�) � l’aide de l’angle � =12,2� . L’origine (ou r�f�rence) de l’�nergie potentielle gravitationnelle est prise � l’infini et on note Em l’�nergie m�canique de T dans le r�f�rentiel h�liocentrique.
19. Que peut-on affirmer ?.
A) rpvp = rava ; vrai. B) rp2vp = ra2va ;. C) Em(Ap) diff�re de Em(Aa). Vrai.   D) Em(Ap) = Em(Aa). Vrai.
L'interaction de gravitation est une force centrale :
- l'�nergie m�canique se conserve. Em(Ap) = Em(Aa).
- le moment cin�tique se conserve.


20. Exprimer va.
Conservation de l'�nergie m�canique :
�MT va2 -GMT MS / ra =�MT vp2 -GMT MS / rp .
�va2 -G MS / ra =� vp2 -G MS / rp .
Or vp =ra / rp va.
�va2 -G MS / ra =� (ra / rp va)2 -G MS / rp .
�va2 [1-(ra / rp )2 ]=G MS [ 1/ ra-1/ rp]= G MS [ (rp - ra) / (rarp)].
va2 =2G MS [ (rp - ra) / (rarp)] / [1-(ra / rp )2 ].
va2 =2G MS [ (rp - ra) / (rarp)] / [ (rp2-ra2) / rp 2 ].
va2 =2G MS / ra / [ (rp + ra) / rp  ].
va2 =2G MS rp / [ra  (rp + ra)  ].
va ={ 2G MS rp / [ra  (rp + ra)  ] }. R�ponse D.

  21. Exprimer Lz.
Lz =MT ra va =MT ra { 2G MS rp / [ra  (rp + ra)  ] }= MT { 2G MS rarp /  (rp + ra)  }.  R�ponse B.

  22. L’�quation polaire de la trajectoire de la Terre est la suivante : r = p /(1+e cos j) o� e et p sont deux constantes temporelles ind�pendantes de r et de j. Sachant que e << 1, que peut-on affirmer ?
A) Lz / MT ~p2(1+ e cos j) j' ;  B) Lz / MT ~p2(1- e cos j) j' ;
 C) Lz / MT ~p2(1+2 e cos j) j' ;  D) Lz / MT ~p2(1-2 e cos j) j' .

R�ponse D.

  23. On rappelle l’�galit� suivante, dans laquelle g'(j) d�signe la d�riv�e d’une fonction g(j) par rapport � j :
g'(j) j' =d g(j) / dt.
En d�duire la dur�e t1 n�cessaire pour que T passe de H � E, c’est-�-dire la dur�e qui s’�coule entre le solstice d’hiver et le solstice d’�t�.
On pose g'(j) =1-2e cos j ; g(j) =j-2e sin j + A avec A une constante.

R�ponse D.

24.  De m�me, exprimer la dur�e t2 n�cessaire pour que 𝑇 passe de E � H, c’est-�-dire la dur�e qui s’�coule entre le solstice d’�t� et le solstice d’hiver.

R�ponse C.





  
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