Masse accroch�e entre deux ressorts,  concours ENAC pilote 2021. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . .. .. ...... ... On s’int�resse aux oscillations harmoniques d’un syst�me simple constitu� d’une masselotte, assimil�e � un corpuscule 𝐴 (masse 𝑚), attach�e � deux ressorts identiques (raideur 𝐾, longueur au repos L0 , masse n�gligeable) par une de leurs extr�mit�s. L’autre extr�mit� de chaque ressort est fix�e � un b�ti. A l’�quilibre, la longueur des ressorts est Le > L0. On cherche la pulsation propre des oscillations d’un tel syst�me dans diff�rentes configurations. Pour toutes les situations consid�r�es dans cet exercice, on n�glige les frottements. 1. Quelle est l’unit� SI (syst�me international des unit�s) et la dimension physique d’une pulsation propre ? A) s-1. B) rad s-1. Vrai. C) La dimension physique est celle de l’inverse d’une dur�e. Vrai. Un angle est le rapport de la longueur d'un arc de cercle au rayon du cercle. Un angle n'a donc pas de dimension physique. D) La dimension physique est celle d’un angle divis� par une dur�e. 2. Quelles sont les affirmations exactes ? A) Une pulsation au carr� est homog�ne � une force par unit� de masse.  B) Une pulsation au carr� est homog�ne � une force par unit� de longueur. C) Une pulsation au carr� est homog�ne � une force par unit� de masse et par unit� de longueur. Vrai.  D) Une pulsation au carr� est homog�ne au produit d’une masse et d’une force par unit� de longueur. w2 = k / m.  k s'exprime en N  m-1. w2 s'exprime en N  m-1kg-1. On pose A1A2 = L. 3. On d�place 𝐴, par rapport � sa position d’�quilibre 𝑂 (prise comme origine des coordonn�es cart�siennes 𝑥 et 𝑦), d’une quantit� initiale x0 << L0 selon la direction horizontale 𝑂𝑥  et on l’abandonne sans vitesse initiale. Le mouvement est astreint � demeurer horizontal. On observe alors un mouvement harmonique de pulsation w0,l . Quelles sont les expressions de w0,l et de la p�riode T0 des oscillations correspondante ? A) w0,l = (2k / m)�. Vrai. B) w0,l = (2m / k)�. C) T0= (2k / m)� / (2p). D) T0=2p (m / (2k))� . Vrai. Les deux ressorts �tant identiques : l1=l2. longueur de R1 : l1+x = �L-R+x longueur de R2 : l2-x = �L-R-x La seconde loi de Newton s'�crit en projection sur l'axe Ax : -T1 + T2 = mx". -k(�L-R+x-l0) + k(�L-R-x-l0)=mx". 2kx=mx" soit x" + 2k/m x=0. On pose w0,l�= 2k/m ; w0,l = 2pf soit f = 1/(2p)[2k/m]� ; T0= 1/f = 2p[2k/m]-�.   4. On �carte maintenant la masselotte, par rapport � sa position d’�quilibre initiale, d’une quantit� initiale 𝑦(0) << L0 , dans la direction transversale 𝑂𝑦 , laquelle est, comme la direction 𝑂𝑥, contenue dans le plan horizontal, et on l’abandonne sans vitesse initiale. Le mouvement est astreint � s’effectuer seulement selon cette direction transversale (𝑂𝑦). On observe alors, dans la direction 𝑂𝑦 seulement, un mouvement harmonique de pulsation propre w0,t . Quel est le rapport w0,t / w0,l  ?  A)  1. B) (1 − L0/Le)�. Vrai. C) (1 − Le/L0)�. D) (1 + Le/L0)�. Norme des forces exec�es par les ressorts : T =k [(Le2+y2)�-L0] = k [Le(1+(y / Le)2)�-L0]. Or y << Le, donc un d�veloppement limit� � l'ordre 1 conduit � : (1+ (y / Le)2)�~ 1+� y2 / Le2~ 1. T ~ k(Le-L0). Ecrire la seconde loi de Newton suivant l'axe Oy : m y" =-2T sin a.  a �tant petit, sin a ~ tan a ~ y / Le. m y" +2 k(Le-L0)  / Le y = 0. my" +2 k(1-L0 / Le) y = 0. y" +2 k(1-L0 / Le)  / m y = 0. On identifie w0,t  =[2 k(1-L0 / Le)  / m]�. w0,t / w0,l  =(1-L0 / Le) �. ... .... 5. La masselotte pr�c�dente et ses deux ressorts sont maintenant dispos�s verticalement, c’est-�dire dans la direction du vecteur champ de pesanteur. Quelle est la nouvelle pulsation propre w'0,t des oscillations si, comme pr�c�demment, on �carte 𝐴, dans la direction 𝑂𝑧, d’une tr�s petite quantit� par rapport � la position d’�quilibre (le mouvement est contraint � s’effectuer selon la direction verticale) ? A) w'0,t = w0,t Vrai. B) w'0,t =2 w0,t . C) w'0,t = w0,t / 2.  D) On ne peut rien dire a priori. La seconde loi de Newton s'�crit suivant l'axe (O, z) : k(L1-L0) - k(L2-L0) - mg = mz". k( L1 �q-z -L0) - k(L2 �q- L2 +z) - mg = mz". k(L1 �q-L0) -kz - k(L2 �q-L2)- k z -mg = mz". La masse �tant au repos : T1 = k(L1 �q-L0) ; T2 = k(L2 �q-L0). -2kz  -mg= mz". z"+2k /m z =-g. La pulsation est inchang�e.  6. Calculer la longueur des ressorts � l’�quilibre si L0 = 10 cm, 𝑚 = 10 g et k = 10 N. m-1. La longueur totale entre les deux b�tis est 2L0 (on n�glige la dimension de la masselotte). On prendra pour l’intensit� du champ de pesanteur la valeur g ≈ 10 m. s-2. Le point 𝑂 est pris comme origine de l’axe vertical ascendant 𝑂𝑧. Parmi les r�ponses propos�es, Le,h et Le,b d�signent, respectivement, les longueurs � l’�quilibre du ressort du haut et du ressort du bas.  A) Le,h =11 cm et Le,b =9 cm. B) Le,h =10 cm et Le,b =10 cm. C) Le,h =9 cm et Le,b =11 cm. D) Le,h =10,5 cm et Le,b =9,5 cm. Vrai. A l'�quilibre z" =0 ;  k(Le,h-L0) - k(Le,b-L0) - mg =0. 10(Le,h-0,1) - 10(Le,b-0,1) = 0,1. Le,h-0,1 - Le,b+0,1 = 0,01. Le,h - Le,b = 0,01. De plus Le,h + Le,b = 0,2. 2Le,h =0,21 ; Le,h =0,105 m.

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