Transitoire d'un RLC.
Dans le circuit LRC repr�sent� sur la figure ci-apr�s, les interrupteurs K et K' sont initialement ouverts. On d�signe
respectivement par u
R, u
L et u
C, les tensions aux bornes du r�sistor de r�sistance R, de la bobine d’inductance L et du
condensateur de capacit� C. On note i
R, i
L et i
C les intensit�s du courant �lectrique qui traversent respectivement ces dip�les.
Le g�n�rateur est id�al, de tension �lectromotrice E (on dit aussi force �lectromotrice) stationnaire. Le condensateur est
initialement charg� de sorte que u
C=
E /3.
13. � un instant prix comme origine temporelle, on ferme K ( K' restant ouvert). Que peut-on dire, � l’instant t= 0
+, de
u
R(0
+) et de u
L(0
+) ?
A)
uR(0+) = 0 vrai ; B)
uR(0+) =E ; C)
uL(0+) = 0 ; D)
uL(0+) = E vrai.
Continuit� de l'intensit� i
L(0+) = i
R (0+)=
) 0
= iL(0) = iR (0)=0.
Additivit� des tensions : E = uR(0+) +uL(0+)= 0 + uL(0+).
14. Comment �voluent i
L(t) et
uL(t) ?
A)
iL(t) =
E / R(1 − exp(-R /L t)) vrai ;
A) iL(t) =
E / R exp(-R /L t) ; C) uL(t) =
E (1 − exp(-R /L t)) ; D) uL(t) =
E exp(-R /L t) vrai.
E =uL(t) +uR(t).
uR(t)= R iL(t) ; uL(t)=LdiL(t) /dt.
E = R iL(t) +LdiL(t) /dt. (1).
Solution de R iL(t) +LdiL(t) /dt = 0 : iL(t) = A exp(-R /L t) avec A une constante.
Solution particuli�re de (1) : iL(t) = E / R.
Solution g�n�rale de (1) : iL(t) = A exp(-R /L t) +E / R.
iL(0) = 0 d'o� A = -E / R.
uL(t) = LdiL(t) /dt = E exp(-R /L t).
15. On attend suffisamment longtemps pour que le r�gime pr�c�dent s’ach�ve (on dit aussi qu’il atteint le r�gime
permanent), puis on ferme le second interrupteur K' � un instant pris comme nouvelle origine temporelle. D�terminer
i
L(0
+) et i
R(0
+) :
A)
iL(0+)= 0 ; B)
iL(0+)=E / R vrai ;
C)
iR(0+)=2E /(3R) ;
D)
iR(0+)=E /(3R) vrai.
iL(t) = A exp(-R /L t) +E / R.
Quand t devient grand ( r�gime permanent), l'intensit� iL(t) tend vers E / R.
Continuit� de l'intensit� dans la bobine : i
L(0) = i
L(0
+) = E / R.
uR(0+)= uC(0+) = E / 3.
uR(0+)= RiR(0+). iR(0+)=E /(3R).
16. D�terminer i
C(0
+) et u
L(0
+) :
A)
iC(0+) = 0 ; B) iC(0+)=2E / (3R) vrai ;
C) uL(0+)=2E /3 vrai ;
D) uL(0+) =E / (3R).
Loi des noeuds :
iC(0+) + iR(0+)= iL(0+)= E / R.
iC(0+) =E /R -iR(0+)=E / R -E /(3R) =2E / (3R).
Loi des mailles : E = uL(0+) +uR(0+)=uL(0+) +uC(0+)=uL(0+) +E / 3.
uL(0+) =2E / 3.
17. Apr�s fermeture de
K', l’intensit� i
L(t) ob�it � l’�quation diff�rentielle suivante : d
2i
L / dt
2 +1/
te di
L/dt +
w02i
L =
w02ioo
o�
te, w0 et
ioo sont des constantes ind�pendantes du temps. Exprimer
te et
w0.
A)
te=RC vrai ; B)
te=L / R ;
C)
w0=1 /(LC)� vrai ; D) w0=R / L.
E = Ldi
L /dt +R(i
L-i
C)=L di
L/dt +Ri
L-Ri
c.
i
C=dq /dt =C du
C/dt.
u
C =E-u
L ; du
C/dt = -du
L/dt = -L d
2i
L/dt
2.
E =
L diL/dt +RiL+RCL d2iL/dt2.
d2iL/dt2+ 1/(RC)diL/dt +1/(LC) iL = E / (RLC). (1)
On identifie : te=RC ; w0=1 /(LC)� .
18. Exprimer i
oo ainsi E
c que l’�nergie emmagasin�e dans le condensateur lorsque le r�gime devient stationnaire :
A)
ioo= E /(3R) ; B) ioo= E / R vrai C) E
c=0
; D)
Ec= CE2 / 2 vrai.
Au bout d'un temps tr�s long, la bobine se comporte comme un petit fil ; la solution particuli�re de l'�quation (
1) est i
oo =E / R.
La tension aux bornes du condensateur est �gale � E.