Physique : Transitoire d'un RLC, r�gime forc�, concours ENAC pilote 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Transitoire d'un RLC. Dans le circuit LRC repr�sent� sur la figure ci-apr�s, les interrupteurs K et K' sont initialement ouverts. On d�signe respectivement par uR, uL et uC, les tensions aux bornes du r�sistor de r�sistance R, de la bobine d’inductance L et du condensateur de capacit� C. On note iR, iL et iC les intensit�s du courant �lectrique qui traversent respectivement ces dip�les. Le g�n�rateur est id�al, de tension �lectromotrice E (on dit aussi force �lectromotrice) stationnaire. Le condensateur est initialement charg� de sorte que uC= E /3.   13. � un instant prix comme origine temporelle, on ferme K ( K' restant ouvert). Que peut-on dire, � l’instant t= 0+, de uR(0+) et de uL(0+) ? A) uR(0+) = 0 vrai ; B) uR(0+) =E ;  C) uL(0+) = 0 ; D)  uL(0+) = E vrai. Continuit� de l'intensit� iL(0+) = iR (0+)=) 0= iL(0) = iR (0)=0. Additivit� des tensions : E = uR(0+) +uL(0+)= 0 + uL(0+).  14. Comment �voluent iL(t) et uL(t) ?  A) iL(t) = E / R(1 − exp(-R /L t)) vrai ;  A) iL(t) = E / R exp(-R /L t) ; C) uL(t) = E (1 − exp(-R /L t)) ; D) uL(t) = E exp(-R /L t) vrai. E =uL(t) +uR(t). uR(t)= R iL(t) ; uL(t)=LdiL(t) /dt. E = R iL(t) +LdiL(t) /dt. (1). Solution de R iL(t) +LdiL(t) /dt = 0 : iL(t) = A exp(-R /L t) avec A une constante. Solution particuli�re de  (1) : iL(t) = E / R. Solution g�n�rale de (1) : iL(t) = A exp(-R /L t) +E / R. iL(0) = 0 d'o� A = -E / R. uL(t) = LdiL(t) /dt = E exp(-R /L t).  15. On attend suffisamment longtemps pour que le r�gime pr�c�dent s’ach�ve (on dit aussi qu’il atteint le r�gime permanent), puis on ferme le second interrupteur K' � un instant pris comme nouvelle origine temporelle. D�terminer iL(0+) et iR(0+) :  A) iL(0+)= 0 ; B) iL(0+)=E / R vrai  ; C) iR(0+)=2E /(3R) ;  D)  iR(0+)=E /(3R) vrai. iL(t) = A exp(-R /L t) +E / R. Quand t devient grand ( r�gime permanent), l'intensit�  iL(t) tend vers E / R. Continuit� de l'intensit� dans la bobine : iL(0) = iL(0+) = E / R. uR(0+)= uC(0+) = E / 3. uR(0+)= RiR(0+). iR(0+)=E /(3R). 16. D�terminer iC(0+) et uL(0+) : A) iC(0+) = 0 ; B) iC(0+)=2E / (3R) vrai ; C) uL(0+)=2E /3 vrai ;  D) uL(0+) =E / (3R). Loi des noeuds : iC(0+) + iR(0+)= iL(0+)= E / R. iC(0+) =E /R -iR(0+)=E / R -E /(3R) =2E / (3R). Loi des mailles : E = uL(0+) +uR(0+)=uL(0+) +uC(0+)=uL(0+) +E / 3. uL(0+) =2E / 3.  17. Apr�s fermeture de K', l’intensit� iL(t) ob�it � l’�quation diff�rentielle suivante : d2iL / dt2 +1/te diL/dt +w02iL = w02ioo o� te, w0 et ioo sont des constantes ind�pendantes du temps. Exprimer te et w0. A) te=RC vrai ; B) te=L / R ;  C) w0=1 /(LC)� vrai ; D) w0=R / L. E = LdiL /dt +R(iL-iC)=L diL/dt +RiL-Ric. iC=dq /dt =C duC/dt. uC =E-uL ; duC/dt = -duL/dt = -L d2iL/dt2. E = L diL/dt +RiL+RCL d2iL/dt2. d2iL/dt2+ 1/(RC)diL/dt +1/(LC) iL = E / (RLC). (1) On identifie  : te=RC ; w0=1 /(LC)� .  18. Exprimer ioo ainsi Ec que l’�nergie emmagasin�e dans le condensateur lorsque le r�gime devient stationnaire :   A) ioo= E /(3R) ; B)  ioo= E / R vrai C) Ec=0 ;  D) Ec= CE2 / 2 vrai. Au bout d'un temps tr�s long, la bobine se comporte comme un petit fil ; la solution particuli�re de l'�quation (1) est ioo =E / R. La tension aux bornes du condensateur est �gale � E. ... .... Un g�n�rateur de r�sistance interne ri d�livre des signaux sinuso�daux e(t), de pulsation w, et d’amplitude complexe em =em , ici r�elle (phase � l’origine nulle). Ce g�n�rateur alimente un circuit s�rie constitu� d’une bobine d’inductance L et de r�sistance rL, d’un r�sistor de r�sistance R et d’un condensateur de capacit� C. Le circuit est �tudi� en r�gime �tabli (dit aussi permanent). On note uL m et uC m les amplitudes complexes des tensions ue aux bornes de la bobine et uC aux bornes du condensateur respectivement. On d�signe par u e m l’amplitude complexe de la tension ue aux bornes du g�n�rateur, et i m, celle de l’intensit� i du courant dans le circuit.   19. 20  Le rapport des amplitudes complexes u c m /  u e m se met sous la forme suivante : u c m /  u e m =H0 / [ 1 +jw/Q-w2) avec x = w / w0 o� H0, Q et w0 sont des constantes ind�pendantes de w, j est ’'unit� imaginaire (j2 = −1). Exprimer H0 et w0 et Q. A) H0 = 1 Vrai  B) H0 = (R+rL) /( (R+rL+ri) C) w0 = 1 / (RC)  D) w0 = 1 / (LC)�. Vrai Le pont diviseur de ternsion conduit � : 21. On suppose d�sormais, jusqu’� la fin de l’exercice, que w = w0. Quelle relation existe-t-il alors entre u em et em A. u em =R / (R +rL+ri) em B. u em =R / (R +rL )em. C. u em =(R + RL)/ (R +rL+ri) em. D. u em = em. 22. D�terminer im et uCm. A)   im=em /(R+rL) ; B)  im = em /(R+rL+ri) vrai ; C) uCm =-jQH0 uem;  D) uCm =.jQH0 uem vrai.   23. L’amplitude complexe uLm s’�crit alors uLm = (a+jb)em o� a et b sont des constantes qui ne d�pendent que des caract�ristiques du circuit. D�terminer a : A) a = rL / (R+rL+ri) vrai ; B)  a = rL / (R+rL) ; C) a = ri / (R+rL+ri) ; D) a =1.   24. D�terminer b : A) b=0;  B) b=1 ; C) b = (L / C)� x 1/ ((R+rL+ri) vrai; D) b= 1 / Q.

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