Physique : Transitoire d'un RLC, r�gime forc�, concours ENAC pilote 2022.

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Transitoire d'un RLC.
Dans le circuit LRC repr�sent� sur la figure ci-apr�s, les interrupteurs K et K' sont initialement ouverts. On d�signe respectivement par uR, uL et uC, les tensions aux bornes du r�sistor de r�sistance R, de la bobine d’inductance L et du condensateur de capacit� C. On note iR, iL et iC les intensit�s du courant �lectrique qui traversent respectivement ces dip�les. Le g�n�rateur est id�al, de tension �lectromotrice E (on dit aussi force �lectromotrice) stationnaire. Le condensateur est initialement charg� de sorte que uC= E /3.

  13. � un instant prix comme origine temporelle, on ferme K ( K' restant ouvert). Que peut-on dire, � l’instant t= 0+, de uR(0+) et de uL(0+) ?
A) uR(0+) = 0 vrai ; B) uR(0+) =E ;  C) uL(0+) = 0 ; D)  uL(0+) = E vrai.
Continuit� de l'intensit� iL(0+) = iR (0+)=) 0= iL(0) = iR (0)=0.
Additivit� des tensions : E = uR(0+) +uL(0+)= 0 +
uL(0+).

 14. Comment �voluent iL(t) et uL(t) ?
 A) iL(t) = E / R(1 − exp(-R /L t)) vraiA) iL(t) = E / R exp(-R /L t) ; C) uL(t) = E (1 − exp(-R /L t)) ; D) uL(t) = E exp(-R /L t) vrai.
E =uL(t) +uR(t).
uR(t)= R iL(t) ; uL(t)=LdiL(t) /dt.
E =
R iL(t) +LdiL(t) /dt. (1).
Solution de
R iL(t) +LdiL(t) /dt = 0 : iL(t) = A exp(-R /L t) avec A une constante.
Solution particuli�re de  (1) : iL(t) = E / R.
Solution g�n�rale de (1) : iL(t) = A exp(-R /L t) +E / R.
iL(0) = 0 d'o� A = -E / R.
uL(t) =
LdiL(t) /dt = E exp(-R /L t).

 15. On attend suffisamment longtemps pour que le r�gime pr�c�dent s’ach�ve (on dit aussi qu’il atteint le r�gime permanent), puis on ferme le second interrupteur K' � un instant pris comme nouvelle origine temporelle. D�terminer iL(0+) et iR(0+) :
 A) iL(0+)= 0 ; B) iL(0+)=E / R vrai  ; C) iR(0+)=2E /(3R) ;  D)  iR(0+)=E /(3R) vrai.
iL(t) = A exp(-R /L t) +E / R.
Quand t devient grand ( r�gime permanent), l'intensit� 
iL(t) tend vers E / R.
Continuit� de l'intensit� dans la bobine : iL(0) = iL(0+) = E / R.
uR(0+)= uC(0+) = E / 3.
uR(0+)= RiR(0+). iR(0+)=E /(3R).

16. D�terminer iC(0+) et uL(0+) :
A) iC(0+) = 0 ; B) iC(0+)=2E / (3R) vrai ; C) uL(0+)=2E /3 vrai ;  D) uL(0+) =E / (3R).
Loi des noeuds : iC(0+) + iR(0+)= iL(0+)= E / R.
iC(0+) =E /R -iR(0+)=E / R -E /(3R) =2E / (3R).
Loi des mailles : E =
uL(0+) +uR(0+)=uL(0+) +uC(0+)=uL(0+) +E / 3.
uL(0+) =2E / 3.

 17. Apr�s fermeture de K', l’intensit� iL(t) ob�it � l’�quation diff�rentielle suivante : d2iL / dt2 +1/te diL/dt +w02iL = w02ioo o� te, w0 et ioo sont des constantes ind�pendantes du temps. Exprimer te et w0.
A) te=RC vrai ; B) te=L / R ;  C) w0=1 /(LC) vrai ; D) w0=R / L.
E = LdiL /dt +R(iL-iC)=L diL/dt +RiL-Ric.
iC=dq /dt =C duC/dt.
uC =E-uL ; duC/dt = -duL/dt = -L d2iL/dt2.
E = L diL/dt +RiL+RCL d2iL/dt2.
d2iL/dt2+ 1/(RC)diL/dt +1/(LC) iL = E / (RLC). (1)
On identifie  :
te=RC ; w0=1 /(LC) .

 18. Exprimer ioo ainsi Ec que l’�nergie emmagasin�e dans le condensateur lorsque le r�gime devient stationnaire :
  A) ioo= E /(3R) ; B)  ioo= E / R vrai C) Ec=0 ;  D) Ec= CE2 / 2 vrai.
Au bout d'un temps tr�s long, la bobine se comporte comme un petit fil ; la solution particuli�re de l'�quation (1) est ioo =E / R.
La tension aux bornes du condensateur est �gale � E.

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Un g�n�rateur de r�sistance interne ri d�livre des signaux sinuso�daux e(t), de pulsation w, et d’amplitude complexe em =em
, ici r�elle (phase � l’origine nulle). Ce g�n�rateur alimente un circuit s�rie constitu� d’une bobine d’inductance L et de r�sistance rL, d’un r�sistor de r�sistance R et d’un condensateur de capacit� C. Le circuit est �tudi� en r�gime �tabli (dit aussi permanent). On note uL m et uC m les amplitudes complexes des tensions ue aux bornes de la bobine et uC aux bornes du condensateur respectivement. On d�signe par u e m l’amplitude complexe de la tension ue aux bornes du g�n�rateur, et i m, celle de l’intensit� i du courant dans le circuit.



 
19. 20  Le rapport des amplitudes complexes u c mu e m se met sous la forme suivante :
u c mu e m =H0 / [ 1 +jw/Q-w2) avec x = w / w0 o� H0, Q et w0 sont des constantes ind�pendantes de w, j est ’'unit� imaginaire (j2 = −1). Exprimer H0 et w0 et Q.
A) H0 = 1 Vrai
 B) H0 = (R+rL) /( (R+rL+ri)
C) w0 = 1 / (RC)
 D) w0 = 1 / (LC). Vrai
Le pont diviseur de ternsion conduit � :


21. On suppose d�sormais, jusqu’� la fin de l’exercice, que w = w0. Quelle relation existe-t-il alors entre u em et em
A. u em =R / (R +rL+ri) em
B. u em =R / (R +rL )em.
C. u em =(R + RL)/ (R +rL+ri) em.
D. u em = em.


22. D�terminer im et uCm.
A)   im=em /(R+rL) ; B)  im = em /(R+rL+ri) vrai ; C) uCm =-jQH0 uemD) uCm =.jQH0 uem vrai.


  23. L’amplitude complexe uLm s’�crit alors uLm = (a+jb)em o� a et b sont des constantes qui ne d�pendent que des caract�ristiques du circuit. D�terminer a :
A) a = rL / (R+rL+ri) vrai ; B)  a = rL / (R+rL) ; C) a = ri / (R+rL+ri) ; D) a =1.

  24. D�terminer b :
A) b=0;  B) b=1 ; C) b = (L / C) x 1/ ((R+rL+ri) vrai; D) b= 1 / Q.



  
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