Math�matiques, concours Geipi Polytech 2022. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. 29 points Premi�re partie – Fonctions Dans cette partie, a et b sont des nombres r�els. Le plan est muni d’un rep�re orthonorm�. 1.1 Les r�els a et b sont strictement positifs.ln(a+b) =  A) ln(a) � ln(b) . B) ln(a) + ln(𝑏) . C) ln(a) + ln(1+(1 + b / a ) vrai. ln[1+(1 + b / a ]=ln[(a+b) / a] = ln(a+b) -ln(a). ln(a) + ln(1+(1 + b / a )  = ln(a+b).  1.2- On peut calculer ln(𝑥2 − 1) sur :  A) ]0 ; +∞[ . B) ]−1 ; 1[ . C) ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[  vrai. D) ]e−1 ; +∞[ . x2-1 doit �tre strictement positif soit x appartenant � : ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[  1.3- Si f et g sont deux fonctions d�finies sur ]-∞ ; a[ ∪ ]a ; +∞[ et telles que : quand x tend vers a, f(x) tend vers +oo et g(x) tend vers 0+, alors quand x tend vers a : A) f(x) / g(x) tend vers 0+ . B)  f(x) / g(x) tend vers +∞ vrai . C) f(x) x g(x) tend vers 0+ . D) f(x) x g(x) tend vers +∞. 1.4- Si f est une fonction d�finie sur l’intervalle ]a ; +∞[ et telle que quand x tend vers a, f(x) tend vers +∞, alors :  A) La courbe repr�sentative de f dans le rep�re R admet une asymptote horizontale. B) La courbe repr�sentative de f dans le rep�re R admet une asymptote verticale.  vrai. C) La fonction f est d�croissante sur ]a ; +∞[. 1-5- f est une fonction d�finie et d�rivable sur ℝ telle que f(1) = 3 qui v�rifie, pour tout nombre r�el x, f '(x) + 2 f (𝑥) = 4. * On peut en d�duire que : A) f ′ (1) = −2 vrai. B) f ′ (1) = 10 . C) f ′ (1) = 1 . f '(1) + 2 f (1) = 4. f '(1) +6=4 ; f '(1) = -2 * Une �quation de la tangente � la courbe repr�sentative de f dans le rep�re R au poinnt d’abscisse 1 est : D) 𝑦 = −2𝑥 + 3 . E) 𝑦 = 10𝑥 + 3 . F) 𝑦 = 𝑥 + 2 . G) 𝑦 = −2x + 5 vrai. f '(1) = -2  coefficient directeur de la tangnente au point d'abscisse 1. y = -2x+b. Le point de coordonn�es (1 ; f(1) =3 ) appartient � la tangente. 3=-2+b ; b = 5. 1-6- f est une fonction d�rivable sur l’intervalle ]a ; b[ contenant c. La courbe repr�sentative de f dans le rep�re R admet au point d’abscisse c une tangente horizontale. On peut en d�duire que : A) f(𝑐) = 0. B) f admet en c un maximum ou un minimum local qui vaut f(𝑐).  C) L’�quation f(𝑥) = c admet une unique solution sur l’intervalle ]a ; b[.  D) f '(c) = 0. Vrai. 1.7- f est une fonction continue sur l’intervalle [a ; b]. Quelles sont les propositions vraies ? A) Si f(𝑎) � f(𝑏) > 0, alors f s’annule sur l’intervalle [a ; b].  B) Si c ∈ ]a ; b[, alors f(c) est compris entre f(a) et f(b).  C) Si k est un nombre r�el compris entre f(a) et f(b), alors l’�quation f(x) = k admet au moins une solution sur l’intervalle [a ; b]. Vrai.  1.8- f est une fonction deux fois d�rivable sur l’intervalle [a ; b]. On note C la courbe repr�sentative de f dans le rep�re R, A le point de C d’abscisse a et B le point de C d’abscisse b. On suppose que f  ''(x) > 0 sur l’intervalle [a ; b]. On peut en d�duire que : A) f est croissante sur [a ; b].  B) f ' est croissante sur [a ; b] vrai. . C) f est convexe sur [a ; b]. vrai.  D) C est en-dessous du segment [AB]. vrai. Deuxi�me partie : suites num�riques. 1-9- On consid�re une suite arithm�tique (un) telle que u1 = 0 et u10 = 10. On peut en d�duire que :  A) La raison de cette suite est �gale � 1.  B) u19 = 20. vrai. C) Cette suite est convergente.  D)u1 + u2 + ⋯ + u10 = 50. Vrai. u1 = 0 ; u2 = r ; u3 =2 r ; u4 = 3r  ...u10 =9 r. u10-u1=10 = 9 r. La raison est �gale � r = 10 /9. u19 = u1 + 18r = 0 +18 x 10 /9=20. (u1+u10)x n) / 2=(0+10) x10 /2 = 50.  1-10- On consid�re la suite (u𝑛) d�finie pour tout entier naturel n, par : u𝑛 = 5 − (5 /4)𝑛 . On a :  A) La suite (un) est g�om�trique de raison 5/ 4 .  B) La suite (un) est arithm�tique de raison 5/ 4 . C) La suite (un) est d�croissante. Vrai.  D) en plus l'infini, la limite de (un) est �gale � 5 . un+1-un = -(5 /4)n+1+(5/4)n =(5 /4)n(1-5/4) < 0. La suite est d�croissante. En plus l'infini (5/4)n tend vers plus l'infini et un tend vers moins l'infini. Troisi�me partie – Probabilit�s Dans cette partie, W d�signe l’univers d’une exp�rience al�atoire E et P d�signe une probabilit� sur W. 1-11- On consid�re deux �v�nements quelconques A et B. La probabilit� P(A ∩ B) est �gale � :  A) P(A) � P(B). B) P(A) + P(B). C) P(A ∪ B) − P(A ∩ nonB) − P(nonA∩ B ). Vrai  D) P(A) + P(B) − P(A ∪ B) vrai .1-12- On consid�re une variable al�atoire X qui prend ses valeurs dans l’ensemble {0, 1, 10}.  On donne les probabilit�s : P(𝑋 = 0) = 1/ 2 et P(X = 10) = 1/ 6 . On peut en d�duire que :  A) P(X = 1) = 2/ 3 . B) P(X = 1) = 1 /3 vrai. C) E(X) = 2 vrai . D) E(𝑋) = 11 / 3 . P(X=1) = 1-P(X=0)-P(X=10)=1-1/2 -1 /6 =2/6=1/3. E(X) = 0 x1/2 + 1 x1 /3 +10 x1 /6 = 12 /6 =2. Quatri�me partie – G�om�trie dans le plan. 1-13- a et b sont des r�els non nuls. On consid�re les points A, B, C et D de coordonn�es respectives dans un rep�re orthonorm� R : A(a ; a), B(a ; -a), C(−a ; b) et D(−a ; 0). Quelles sont les propositions vraies ?  A) Les droites (AB) et (DC) sont s�cantes. B) Les droites (AB) et (DC) sont parall�les. Vrai.  C) Le quadrilat�re ABCD est un parall�logramme si et seulement si b = 2a. D) Le quadrilat�re ABCD est un parall�logramme si et seulement si b = −2a. Vrai. Exercice II (26 points). On pourra admettre les r�sultats de la premi�re partie pour traiter la deuxi�me. La figure  repr�sente un b�timent.  La toiture est constitu�e de deux pans plans : P1 le plan (H1D1E1) et P2 le plan (C1D1H1). Les plans P3 et P4  sont parall�les. Les plans contenant les sept fa�ades sont orthogonaux au plan de la dalle.  Premi�re partie 1- Justifier que les droites (A0B0) et (F0G0) sont parall�les. P3 et P4 son parall�les et orthogonaux au plan de la dalle, not� P0. A0B0 : intersection de P3 et P0. F0G0 : intersection de P4 et P0. Par suite les droites (A0B0) et (F0G0) sont parall�les.  2- Justifier que la droite (D1H1) est parall�le aux droites (A1B1) et (F1G1). A0B0B1A1 est un rectangle : donc(A0B0) est parall�le � (A1B1). G0F0G1F1 est un rectangle : donc(G0F0) est parall�le � (F1G1). De plus (A0B0) et (F0G0) sont parall�les. Donc les droites (A1B1) et (F1G1) sont parall�les. Les plans P1 et P2 se coupent selon la droite (D1H1). (A1B1) appartient au plan P2 ; (F1G1) appartient au plan P1. (A1B1) et (F1G1) sont parall�les. Les plan P1 et P2 sont s�cants selon D1H1. Th�or�me du toit : si une droite (A1B1) de P2 est parall�le � une droite (F1G1) de P4, alors la droite intersection des deux plans est parall�les � (A1B1) et (F1G1). Seconde partie. L’espace est rapport� � un rep�re orthonorm�. On donne les coordonn�es suivantes : A0(−10 ; −12 ; 0), B0(−8 ; −12 ; 0), C0(2 ;−2 ; 0), D0(0 ; 0 ; 0), E0(2 ; 2 ; 0), F0(−4 ; 8 ; 0), G0(−10 ; 8 ; 0), C1(2 ;−2 ; 7), D1(0 ; 0 ; 8), E1(2 ; 2 ; 7), H1(−10 ; 0 ; 8). 3- Donner les coordonn�es des vecteurs suivants. 4- Montrer que le vecteur n de coordonn�es(0 ; 1 ; 2) est un vecteur normal au plan P1. 5- En d�duire une �quation cart�sienne du plan P1. Justifier la r�ponse. 0x +1y +2z +d = 0 soit y+2z+d=0. D1 appartient  � ce plan : 2 *8+d=0 ; d = -16. y+2z-16=0.  6- Le point F1 a pour coordonn�es (−4 ; 8 ; z1). D�terminer la valeur de z1. Justifier la r�ponse. F1 appartient au plan P1. 8+2z1-16 = 0 ; z1 =4.  7- En d�duire la longueur F0F1. Aucune justification n’est demand�e. F0F1 = [(-4+4)2+(8-8)2+42 ] � =4.  La fa�ade arri�re du b�timent est sch�matis�e ci-dessous. La droite verticale issue de H1et la droite horizontale issue de G1se coupent en un point J. La pente du toit est la mesure a, exprim�e en degr�s, de l’angle JG1H1. 8- D�terminer la valeur de tan a. Aucune justification n’est demand�e. tan a =H1J / JG1 = 4 / 8 = 0,5. 9- Dans cette r�gion, la pente d’un toit doit �tre comprise entre 33� et 45�. La toiture du b�timent respecte-t-elle les normes de la r�gion ? Justifier la r�ponse. a ~ 27 �. La pente du toit ne respecte pas les normes. 10- On admet qu’une �quation cart�sienne du plan P2 est donn�e par y − 2z + 16 = 0. V�rifier qu’une �quation cart�sienne du plan (B0C0C1) est donn�e par x − y − 4 = 0. xB0-yB0-4 = -8+12-4=0 est v�rifi�e. xC0-yC0-4 = 2+2-4=0 est v�rifi�e. xC1-yC1-4 = 2+2-4=0 est v�rifi�e. Les coordonn�es de ces trois points non align�s v�rifient l'�quation x-y-4=0. L'�quation cart�sienne du plan P2 est donn�e par y − 2z + 16 = 0. 11- En d�duire une repr�sentation param�trique de la droite (B1C1). Aucune justification n’est demand�. B0(−8 ; −12 ; 0) ; B1(−8 ; −12 ; z) ; C1(2 ;−2 ; 7). Coordonn�es d'un vecteur directeur de (B1C1) : (10 ; 10 ; 7-z). B1 appartient au plan P2 : z = �y +8= -6+8=2. Coordonn�es d'un vecteur directeur de (B1C1) :(10 ; 10 ; 5). ou (2 ; 2 ; 1) Repr�sentation param�trique de cette droite: x= 2 t +xC1 =2t+2. y = 2t +yC1 =2t-2.  z =t+zC1 =t+7. Une repr�sentation param�trique de la droite (A1H1) est donn�e par : x = −10 ; y = 2k ;  z = 8 +k ,avec k r�el. On admet de plus que les droites (A1H1) et (B1C1) sont s�cantes. 12- On souhaite prolonger le pan de toit (A1B1C1D1H1) jusqu’au sol. Cela est-il possible ? Justifier la r�ponse. Intersection des droites (A1H1) et (B1C1) : -10 = 2t+2 ; t = -6. Par suite z = 1 m. Ces droites se coupent � une altitude de 1 m. Ce pan de toit ne pourra pas �tre prolong� jusqu'au sol. ... .... Exercice 3. 25 points On consid�re la fonction f d�finie pour tout r�el x , par : f(x) = −(1 + x2)e-𝑥 . Dans le plan muni d’un rep�re orthonorm�, on note Cf la courbe repr�sentative de f. 1- Donner la limite de f(x) en moins l'infini. Aucune justification n’est attendue. e-𝑥  tend vers plus l'infini et 1+x2 tend vers plus l'infini. Par produit des limites, f(x) tend vers plus l'infini si x tend vers moins l'infini. 2- Donner la limite de f(x) en plus l'infini. Justifier. e-𝑥  tend vers z�ro et 1+x2 tend vers plus l'infini. Par produit des limites, f(x) tend vers z�ro si x tend vers plus l'infini. 3- On en d�duit que Cf admet une asymptote D au voisinage de +∞. Donner une �quation de D. Pr�ciser la position de Cf par rapport � D. Aucune justification n’est demand�e. L'axe des abscisses est asymptote � Cf. y = 0. e-𝑥 >0 ; −(1 + x2) <0 ; la courbe est en dessous de l'asymptote. 4-  f ' d�signe la d�riv�e de f. D�terminer les r�els a et b tels que, pour tout r�el x, f '(x) = (ax+b)2e-𝑥. D�tailler le calcul. On d�rive f(x) en posant u = -(1+x2) et v = e-x. u' = -2x ; v' = -e-x. u'v+v'u = e-x(-2x+1+x2) =(x-1)2 e-x. a = 1 ; b = -1. 5- Donner l’ensemble  des solutions de l’�quation f '(x) = 0. Aucune justification n’est demand�e. Une solution unique x = 1. 6- Compl�ter le tableau des variations de la fonction f sur ℝ. 7- Soient A et B les points de Cf d’abscisses respectives xA = 1 et xB = 0. TA et TB d�signent les tangentes � Cf aux points A et B. Donner, sans justification, des �quations de TA et de TB. TA : coefficient directeur f '(1) =0 ; Le point A de coordonn�es (1 ; f(1) =-2e-1) appartient � la tangente. Equation de TA : y = b = -2e-1. TB : coefficient directeur f '(0) =1 ; Le point B de coordonn�es (0 ; f(1) =-1) appartient � la tangente. Equation de TB : y =x+ b  ; -1 = 0+b ; b = -1. y = x-1. 8- QCM Sur une figure, on place les points A et B, on trace la droite D, les tangentes TA et TB puis la courbe Cf. Parmi celles propos�es ci-dessous, laquelle repr�sente la figure obtenue ? 9 - Justifier que l’�quation f(x) = −3 admet une unique solution dans l’intervalle [−1 ; 0].  f(-1) =-2e � f(0) = -1. Sur l'intervalle [-1 ; 0] la fonction est continue et strictement croissante � valeurs dans [-2e ; -1]. -3 appartient � cet intervalle. D'apr�s le corollaire du th�or�me des valeurs interm�diaires, l'�quation f(x) = -3 admet une solution unique.  10 - QCM On consid�re l’algorithme ci-dessous dans lequel :a et b sont deux r�els tels que a < b. a= −1  b= 0 Tant que |b − a| > 0,3 x= (a+b)/ 2 Si g(a)g(x) > 0  alors a=x  sinon b =x  Fin si Fin tant que x =(a+b) /2 Afficher x  x est un nombre r�el. g est la fonction d�finie sur [−1 ; 0] par g(x) = f(x) + 3 . On applique cet algorithme � la fonction g. Quelle valeur contient la variable x apr�s l’ex�cution de l’algorithme ? A) −0,75 ; B) −0,5 ; C) −0,625 vrai ; D) −1. a -1 -1 -0.75 b 0 -0,5 -0,5  |b − a| > 0,3 vrai vrai faux x -0,5 -0,75 0,625 g(a) n�gatif n�gatif g(x) positif n�gatif g(a) g(b) >0 faux vrai ..

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