Une
cuve de r�cup�ration d’eau de pluie est �quip�e d’un capteur capacitif
de niveau
d’eau : la cuve parall�l�pip�dique est munie, sur l’ext�rieur de deux
de ses faces verticales,
de plaques m�talliques qui constituent les �lectrodes d’un condensateur
plan.
La cuve ainsi que l’air et l’eau qu’elle contient jouent le r�le de
l’isolant entre les �lectrodes
et l’on peut consid�rer que la capacit� C du condensateur est
proportionnelle au volume
d’eau V pr�sent dans la cuve : V = A � C (A : coefficient constant).
Ainsi, une fois ce composant ins�r� dans un circuit �lectronique
ad�quat, il est possible de
d�terminer et de faire afficher sur un �cran de contr�le le volume
d’eau pr�sent dans la
cuve, mais il faut pour cela conna�tre la valeur du coefficient A.
On souhaite la d�terminer � partir d’une mesure de la capacit� du
condensateur, not�e C
1
lorsque la cuve contient un volume d’eau V
1=235 litres.
Le circuit �lectrique ci-dessous permet de charger et de d�charger le
condensateur.
Le g�n�rateur fournit une tension constante E = 12 V et la r�sistance
vaut R=9,5 k
W.
On note +q(t) et -q(t) les charges oppos�es port�es par les deux
armatures, et i(t) l’intensit� du courant qui
traverse le condensateur � l’instant t.
III-1- Donner
l’expression de i(t) en fonction de q(t).
i = dq(t) / dt.
III-2- Quelle relation
lie u
c(t), C
1 et q(t) ?
q(t) = C
1 u
c(t).
Le condensateur �tant initialement d�charg�, l’interrupteur K est
bascul�
en position 1 � l’instant t = 0.
On introduit la grandeur
t
= R � C
1.
III-3- Choisir la
r�ponse correcte
correspondant � l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par u
c(t).
Additivit� des tensions : E = Ri(t) + u
c(t).
i = dq(t) /dt = C
1du
c(t) /dt.
E = R
C1duc(t)
/dt + uc(t).
duc(t) /dt +1 / t uc(t) = E
/ t.
III-4-
Si R est exprim�e en ohm, et C
1 en farad,
quelle est l’unit� de
t
?
t a la
dimension d'un temps, il s'exprime en seconde.
III-5- Parmi les
courbes propos�es, laquelle correspond � l’�volution
th�orique de u
c(t) lors de la charge compl�te du
condensateur ?
III-6- Quelle valeur
maximale U
c,max est atteinte par la tension u
c(t)
� la
fin d’une charge compl�te du condensateur ?
Uc,max
= E.
Pour des raisons pratiques, la charge ayant �t� interrompue avant
d’�tre
compl�te, on pr�f�re d�terminer C
1 lors de la d�charge du
condensateur.
L’interrupteur est bascul� en position 2, et l’on associe d�sormais �
cet
instant la nouvelle origine des temps t = 0.
L’�volution obtenue pour u
c(t) est repr�sent�e.
III-7-
D�terminer la valeur de
t
exp = RC
1 d’apr�s le trac� en utilisant la m�thode de
votre choix.
Expliquer le raisonnement suivi et faire appara�tre sur le trac� les
�l�ments graphiques utilis�s.
III-8- En d�duire
l’expression puis la valeur du coefficient A en litre par nanofarad qui
servira �
param�trer le capteur pour afficher le volume d’eau V = A�C .
t =4 =
RC
1 =9,5 10
3 C
1.
C
1 = 4 / (9,5 10
3) =4,2 10
-4 F= 4,2 10
5
nF.
V1
= A � C1 = 235 litres.
A = 235 /(4,2 105)=5,6 10-4 litre par nanofarad.
