Math�matiques, Concours audiologie. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. Construction graphique. Soient la droite d1 d'�quation y+2x-10=0 et la droite d2 parall�le � d1 passant par le point A de coordonn�es (2 ; 2). Construire ces droites. Droite d1 : y = -2x+10. Elle passe par les points de coordonn�es (0 ; 10) et ( 2 ; 6). La droite d2 �tant parall�le � d1, son �quation est y = -2x+b. A appartient � d2 : 2 = -2*2+b soit b = 6. Justifier comment obtenir l'ordonn�e � l'origine de la droite d2. Intersection de cette droite avec l'axe vertical ( x = 0 ; y = 6) Dans un rep�re cart�sien, on consid�re lles points A(2 ; 2), B(4 ; 1) ; C(5 ; -2). La droite d passe par les points A et B. La droite f perpendiculaire � d passe par C. Construiser ces droites. Equation de la droite d : y = ax+b. A appartient � cette droite : 2=2a+b. B appartient � cette droite : 1 =4a+b. Soustraire : 2-1 = 2a-4a soit a = -0,5. Par suite b = 3. y = -0,5x +3. Equation de la droite f, perpendiculaire � d ( le produit des coefficients directeurs est �gal � -1) : y = 2x+b'. C appartient � f : -2 = 10+b' ; b' = -12. y = 2x-12. Indiquer la somme des coordonn�es du point d'intersection entre les droites d et f. Comment obtenir cette somme. Coordonn�es du point d'intersection des droites ( 6 ; 0). 2x-12 = -0,5x+3. 2,5x = 15 ; x = 6. Par suite y = 0. Partie alg�bre. Quelle expression est �gale � racine carr�e de x5 pour x positif ? x5 = x4 * x = (x2)2 *x. Racine carr�e (x5) = racine carr�e (x2)2 fois racine carr�e (x) = x2 fois racine carr�e (x). Soit le polyn�me Q(x) = a2-9-a-3. Identifier l'ensemble des r�els pour lesquels ce polyn�me est positif. Q(x) = a2-a-12. Solution de a2-a-12 = 0. Discriminant D = (-1)2 +4*12 = 49 = 72. Solutions a1 = (1+7) / 2 = 4 et a2 = (1-7) / 2= -3. Le coefficient de a2 �tant positif, Q(x) est strictement positif sur ]-oo ; -3[ union ]4 ; +oo[. Q(x) = (a+3) (a-4). Apr�s avoir obtenu l'�quation de la parabole ci-dessous, justifier les coordonn�es du point P de la parabole d'abscisse 10. f(x) = ax2+bx+c. Le point de coordonn�es(0 ; 0) appartient � la parabole, donc c = 0. Le point de coordonn�es (4 ; 0) appartient � la parabole, donc 0 =16a+4b soit b = -4a. Le point de coordonn�es (2 ; 2) appartient � la parabole, donc 2 =4a+2b soit 1 = 2a+b. 1 = 2a-4a = -2a ; a = -0,5. Par suite b = 2. f(x) = -0,5x2+2x. Point P : x = 10 ; f(10) = -0,5 *102 +2*10= -30. Trigonom�trie. On consid�re le nombre r�el x tel que 0 < x < 2p et v�rifiant : cox (x-0,5 p) = 1. cox (x-0,5 p) = 1 = cos (2kp). x-0,5 p = 2kp ; x = 0,5 p + 2kp  ; x = 0,5 p.  Que vaut sin (x+0,5 p) ? sin (x+0,5 p) = sin p = 0. Consid�rons le cosinus et le sinus d'un angle a dont l'amplitude  est comprise entre ]3p/4 ; p[. Pour un tel angle, quelle �galit� est correcte ? R�ponse A. Construire un triangle ABC tel que AB =  BC et o� cos (B) = 3� /2. En d�duire l'angle C. L'angle B vaut 30 �. Le triangle est isoc�le en B. Les angles  A  et C mesurent (180-30) / 2 = 75�. Construire un triangle �quilat�ral BDC � l'aide du compas. Chercher le milieu de l'arc CD. ... .... Calcul de d�riv�e. Que vaut la d�riv�e de la fonction suivante en x = 1 ? Soit Q(x) une fonction quadratique dont la concavit� est orient�e vers le bas. D�terminer l'ensemble  des points pour lesquels l'expression Q(x) Q '(x) Q"(x) < 0. Que signifie Q(x) < 0 ; Q'(x) < 0 ; Q"(x) < 0 ? Q(x) =ax2+bx+c. Q'(x) = 2ax+b. Q"(x) = 2a. La d�riv�e seconde �tant n�gative ( concavit� tourn�e vers le bas) , a est n�gatif. Si Q'(x) < 0 ; alors Q(x) est d�croissante. Si Q(x) < 0, on retient la partie de la parabole comprise entre ]-oo ; racine 1[ et ]racine 2 ; + oo[. Q"(x) �tant n�gative, Q(x) Q '(x) doit �tre positif. C'est � dire Q(x) et Q'(x) doivent �tre du m�me signe. Q(x) > 0 et Q'(x) >0 soit Q(x) croissante. Q(x) < 0 et Q'(x) < 0 soit Q(x) d�croissante. Obtenez les ensembles de nombres pour lesquels la fonction G(x) = 2 cos x v�rifie G(x) G'(x) G"(x) >0 pour -10p < x <10p. G'(x) = -2 sin x . G"(x) = -2 cos x. G(x) G'(x) G"(x) =8 sin x cos2 x. sin x doit �tre positif ; x doit appartenir � ] 0+2kp ; p +2kp[ avec k entier appartenant � ]-4 ; 4[. Combien de fois la fonction G(x) est-elle enti�re lorsque 0 < x < 2p ? cos x = 0 ou cos x = 1. x = p / 2 ; x = 3 p/2 ;  x = p. Encadrement et simplification de racines. Encadrer au dixi�me pr�s les nombres suivants : 2� ~ 1,414 ; 2� / 2 ~0,707. 0,7 < 2� / 2 < 0,8. 3� ~ 1,732 ; 3� / 2 ~0,866. 0,8 < 3� / 2 < 0,9. 3� ~ 1,732 ; 3� / 3 ~0,577. 0,5 < 3� / 3 < 0,6. R�duire les expressions suivantes : Etablir la v�racit� des propositions suivantes en justifiant. Le nombre 1+3� est la racine carr�e du nombre 4+2*3�. Vrai. (1+3�)2 =1+3+2*3�= 4 +2*3�. Le nombre 1-3� est la racine carr�e du nombre 4-2*3�. Vrai. (1-3�)2 =1+3-2*3�= 4 -2*3�. Le nombre inverse de 1+3� est le nombre 3�-1. Faux. 1 / (1+3�) = (1-3�) / [(1+3�)(1-3�)]=(1-3�) / (1-3) =(3� -1) / 2. Le nombre inverse de 1+2� est le nombre 2�-1. Vrai. 1 / (1+2�) = (1-2�) / [(1+2�)(1-2�)]=(1-2�) / (1-2) = 2�-1.

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