T�l�m�tre � ultrasons, bac Asie 2022.

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   Le t�l�m�tre � ultrasons permet de d�terminer la position d’un objet en mesurant la dur�e n�cessaire � une salve d’ultrasons pour faire un aller-retour entre un module t�l�m�tre et l’objet sur lequel la salve d’ultrasons se r�fl�chit.
Dans cet exercice, on s’int�resse au principe de la mesure de distances avec le t�l�m�tre (Partie A). Dans un second temps, on utilise le t�l�m�tre pour faire des relev�s conduisant � �valuer la valeur d’une force de frottement (Partie B).

On suppose que la distance entre le t�l�m�tre � ultrasons et l’objet est grande devant la distance entre l’�metteur E et le r�cepteur R. Ainsi, on peut consid�rer que la salve suit quasiment l’axe (𝑂𝑥), � l’aller et au retour, et que la distance donn�e par le t�l�m�tre est �gale � l’abscisse 𝑥 du point P de l’objet sur lequel se r�fl�chit la salve d’ultrasons : EP=PR=𝑥.

Partie A – Principe de la mesure de distance avec le t�l�m�tre
Le module t�l�m�tre est constitu� d’un �metteur (E) et d’un r�cepteur (R). Il est reli� � un microcontr�leur qui commande l’�mission de la salve d’ultrasons par l’�metteur et traite le signal re�u par le r�cepteur pour en d�duire l’intervalle de temps Dt mis par la salve d’ultrasons pour faire l’aller-retour. Le microcontr�leur �change les donn�es avec un ordinateur.
1. Montrer que la relation liant la distance x � la dur�e
Dt n�cessaire � l’aller-retour de la salve d’ultrasons est :
x = �vs Dt (1)
o� vs est la vitesse de propagation des ultrasons dans l’air.
Distance aller + retour = 2 x =
vs Dt ; x = �vs Dt.
2. Identifier la ligne du programme Python  permettant de passer de la dur�e mesur�e � la distance x et pr�ciser l’unit� dans laquelle le programme calcule la valeur de x.

Ligne 12 ; x est exprim�e en m�tre.

Calibrage du t�l�m�tre et pr�cision des mesures.
Pour pouvoir r�aliser des mesures avec le t�l�m�tre �tudi�, il est n�cessaire de conna�tre la vitesse des ultrasons dans l’air. Or, cette vitesse d�pend de la temp�rature de l’air. Afin de rem�dier � cette difficult�, on met en oeuvre une d�marche de type � calibrage � avant d’utiliser le t�l�m�tre pour r�aliser des mesures de distance. En pratique, ce calibrage consiste � d�terminer la vitesse des ultrasons gr�ce au t�l�m�tre.
3. � l’aide de la relation (1), proposer un protocole exp�rimental permettant de d�terminer la vitesse des ultrasons dans l’air � l’aide du t�l�m�tre.
vs = 2x / Dt.
On mesure
Dt pour une distance x connue.
Pour affiner la pr�cision de la mesure de la vitesse des ultrasons, le protocole de calibrage est r�alis� � 5 reprises. Le tableau ci-dessous donne les r�sultats successifs pour la valeur de la vitesse des ultrasons dans l’air :

Mesure n�
1
2
3
4
5
vs ( m /s)
349
352
348
347
351

Pour la s�rie de mesures, la valeur de l’�cart-type donn�e par la calculatrice est : s = 2,07 m�s-1.
4. Calculer la valeur moyenne de la s�rie de mesures. Montrer, en conservant un nombre adapt� de chiffres significatifs, que le r�sultat de la mesure de la vitesse des ultrasons dans l’air peut s’�crire :
vs=349,4�0,9 m�s−1 (2).
u(vs) =s / n = 2,07 / 5 =0,93 m /s ~0,9 m /s.
Valeur moyenne de la vitesse : (349 +352 +348 +347 +351) / 5 =349,4 m /s.

vs=349,4�0,9 m�s−1.
5. Indiquer la ligne et la modification � faire pour tenir compte de la valeur moyenne de vs �tablie � la question 4.
Ecrire � la ligne 6 :
vs=349,4 # vitesse des ultrasons en m /s.
Au niveau du microcontr�leur, la dur�e de l’aller-retour d’une salve d’ultrasons est d�termin�e avec une incertitude : u(Dt)=10 μs.
Lors d’une mesure de distance x, le t�l�m�tre mesure une dur�e Dt=3438 μs.
6. Calculer la valeur de x d�termin�e par le t�l�m�tre � l’issue du calibrage pr�c�dent. Estimer la valeur de l’incertitude de mesure u(x) et �crire le r�sultat de la mesure avec un nombre adapt� de chiffres significatifs.
x =349,4 x3438 10-6 / 2 = 0,6006 m.
u(x) / x = [(u(vs) / vs)2 +(u(Dt) / Dt)2] =[(0,9 / 349,4)2 +(10 / 3438)2] =(6,63 10-6 +8,46 10-6)~ 4 10-3.
u(x) =0,6006 x
4 10-3 ~3 10-3 m.
x = (601 �3)10-3 m.

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Partie B - Estimation de la valeur d’une force de frottement
On utilise le t�l�m�tre � ultrasons pour �tudier le mouvement d’une voiture d’enfant pos�e sur un plan inclin�. Par cette �tude, on souhaite estimer la valeur f de la r�sultante de l’ensemble des forces de frottement appliqu�es sur la voiture en mouvement.
Un traitement des donn�es permet d’obtenir la position du centre de masse du syst�me {voiture}. Dans cette partie B, x d�signe l’abscisse du centre de masse.
L’�tude des relev�s exp�rimentaux dans le cadre de la m�canique de Newton permet de tendre vers l’estimation recherch�e de deux mani�res diff�rentes.
Le syst�me {voiture} est l�ch� sans vitesse initiale � la position x0=56,0 cm sur un banc de mesure inclin� d’un angle a par rapport � l’horizontale. On constate que le mouvement du centre de masse du syst�me {voiture} est rectiligne le long de l’axe (Ox) et acc�l�r� dans le sens du d�placement ( vers O).
L’�tude est men�e dans le r�f�rentiel terrestre consid�r� comme �tant galil�en.
Le syst�me est soumis � :
son poids P, verticale vers le bas valeur mg.
la r�action du support N, perpendiculaire au plan inclin� (donc suivant (𝑂y) ), sens : vers les y positifs,
des forces de frottements repr�sent�es par leur r�sultante f : tangente au plan inclin� (donc suivant (Ox) ), sens oppos� au mouvement, vers les 𝑥 positifs, valeur : f.
On note F la r�sultante des forces ext�rieures exerc�es sur le syst�me {voiture}.
Une �tude des forces, non demand�e ici, permet d’�tablir :

On fait l’hypoth�se que f (et donc F) est constante au cours du mouvement.
Intensit� du champ de pesanteur terrestre : g = 9,81 m�s-2.
 Masse de la voiture d’enfant : m = 103 g.
 Angle d’inclinaison du plan inclin� : a = 40�.
7. � l’aide de la description du mouvement, d�terminer la direction et le sens du vecteur acc�l�ration a (𝑡) du centre de masse du syst�me {voiture}.
Direction : Ox ; sens : vers O, la vitesse initiale est nulle et la vitesse augmente ( mouvement acc�l�r� )..
8. Enoncer la deuxi�me loi de Newton.
La somme des forces ext�rieures appliqu�es au syst�me est �gale au produit de la masse du syst�me par le vecteur acc�l�ration de son centre de masse.
9. En d�duire la direction et le sens de la r�sultante des forces F.
F a le sens du vecteur acc�l�ration ( suivant Ox, dirig�e vers O).

Etude m�canique :
L’�tude est men�e le long de l’axe (Ox).
10. Montrer que l’�quation horaire du mouvement du centre de masse du syst�me s’�crit :
x(t) =-�F / m t2 + x0. (4)
a = - F / m ; la vitesse est une primitive de l'acc�l�ration : v = -at + Cste.
La vitesse initiale �tant nulle : v = -at = -F / m t.
La position est une primitive de la vitesse : x = -�F / m t2 + Cste.
La position initiale �tant x0 :
x(t) =-�F / m t2 + x0.
Les relev�s exp�rimentaux de x(𝑡) sont pr�sent�s sous la forme d’un graphique.

Le tableur utilis� permet de superposer aux points de mesure une mod�lisation par un polyn�me d’�quation :
x(t) = -1,84t2 +0,558.
11. Indiquer si la valeur obtenue pour le coefficient 0,558 est coh�rente avec les donn�es du probl�me.
x = 0,56 m, valeur coh�rente avec 0,558 ( �cart relatif : 0,4 %).
12. � partir de la mod�lisation des points exp�rimentaux, montrer que la valeur f de la force de frottement est voisine de 0,27 N.
la seconde loi de Newton projet�e sur l'axe Ox donne : -f + mg sin a =m a.
a = 1,84 x 2 = 3,68 m s-2.
f =
m(g sin a - a )=  0,103 ( 9,81 x sin 40 -3,68)=0,27 N.

Etude �nerg�tique :
Pour compl�ter l’�tude m�canique, on se propose d’estimer f par une �tude �nerg�tique entre le point A o� la voiture a �t� l�ch�e sans vitesse initiale (𝑥𝐴=𝑥0=56,0 cm) et le point B d’abscisse 𝑥𝐵=35,0 cm.
13. Enoncer le th�or�me de l’�nergie cin�tique entre les positions A et B.
La variation de l'�nergie cin�tique est �gale � la somme des travaux des forces appliqu�es au syst�me.
14. Exprimer le travail WAB(𝐹 ) de la r�sultante des forces F entre A et B en fonction de m, g, f, a et d=𝑥𝐴−𝑥𝐵.
F = mg sin a -f ;
WAB(𝐹 ) = F d = (mg sin a -f) d.
Les donn�es acquises sur la position du centre de masse permettent de calculer la valeur de la vitesse du centre de masse au point B en consid�rant deux points au voisinage du point B. On obtient : 𝑉𝐵=1,21 m∙s−1.
15. Proposer une nouvelle estimation de la valeur de f.
�m vB2 - 0 =
(mg sin a -f) d.
f =
mg sin a -�m vB2  / d =m (g sin a -� vB2  / d)  = 0,103 ( 9,81 x sin 40 -0,5 x1,212 /0,21)=0,103( 6,3-3,48) =0,29 N.


  
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