Un
saut parfait,
bac g�n�ral Asie
2023.
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Le saut au ski Freestyle est une discipline olympique qui est
l'�quivalent sur neige du trampoline ou de la gymnastique.
Les skieurs s'�lancent � plus de 60 km.h-1 sur une rampe et
montent d une hauteur suffisante pour r�aliser des figures.
La performance est jug�e par rapport � la qualit� d'ex�cution et de
r�ception ainsi que par rapport � la hauteur et � la port�e du saut.
Pour une m6me valeur de la vitesse initiale, les caract�ristiques du saut - dur�e, hauteur, port�e -
d�pendent notamment de l'inclinaison a de la rampe par rapport au plan horizontal.
Dans la partie A, on utilise un moddle simplifi� pour pr�voir, � partir des �quations horaires,
comment varient la dur�e du saut ainsi que la distance et la hauteur maximales th�oriques en
fonction de l'angle a de la rampe avec l'horizontale.
Dans la partie B, on examine la hauteur r�ellement atteinte � partir des donn�es exp�rimentales
dans le cadre d'une �tude �nerg�tique.
On s'int�resse au mouvement du centre de masse G du skieur qui s'�lance depuis une rampe, �
une hauteur initiale H0, avec une vitesse initiale dont le vecteur est inclin� d'un angle a pat rapport � l'horizontale.
Dans tout l'exercice, le r�f�rentiel terrestre est suppos� galil�en. Les axes sont choisis de telle sorte
que le plan (Ox, Oz) contienne la trajectoire.
Donn�es
- Masse du skieur avec son �quipement : m = 80 kg
- Valeur du champ de pesanteur terrestre g = 9,81 m s-2
- Valeur de la hauteur initiale H0 = 3,60 m
- Valeur de Ia vitesse initiale : V0 = 17 m s-1.
Partie A - Etude th�orique portant sur l'influence de I'angle a entre la rampe et le plan
horizontal.
Dans cette partie, on fait les hypothdses simplificatrices suivantes
- on n�glige les frottements de l'air sur le skieur ;
- on n�glige les rotations du skieur sur lui-m�me.
La seule force appliqu�e sur le skieur est donc son poids.
1. D�terminer, � partir de la deuxi�me loi de Newton, les expressions litt�rales des coordonn�es ax et az du vecteur acc�l�ration du centre de masse G du skieur.
Le syst�me n'�tant soumis qu'� son poids ( verticale vers le bas, valeur mg ), la seconde loi de newton conduit � :
ax =0 ; az = -g.
2. Etablir les expressions des coordonn�es vx(t) et vz(t) du vecteur vitesse du centre de masse
G et montrer que les �quations horaires x(t) et z(t) du centre de masse sont :
x(t) = v0 cos a t ; z(t) = -�gt2 +v0 sin a t+H0.
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration.
vx(t) = A ; vz(t) = -gt + B avec A et B des constantes.
vx(t=0) = A =v0 cos a ; vz(t=0) = B=v0 sin a .
vx(t) =v0 cos a ; vz(t) =-gt+v0 sin a .
La position est une primitive de la vitesse.
x(t) = v0 cos a t + C ; z(t) = -�gt2 +v0 sin a t+D avec C et D des constantes.
x(t=0) = C = 0 ; z(t=0) =D = H0.
Dur�e du saut en fonction de l'angle a.
La dur�e du saut est une donn�e importante car elle conditionne le nombre de figures r�alisables.
Dans cette partie, on suppose que la dur�e du saut est �gale � deux fois la dur�e n�cessaire au
skieur pour atteindre le point C, o� sa hauteur est maximale.
On d�signe par tHmax, la date � laquelle la hauteur est maximale (au point C).
3. Pr�ciser la valeur de vz � la date tHmax, et en d�duire que tHmax = v0 sin a / g.
A la date tHmax, vz est nulle :-gtHmax+v0 sin a =0 ; tHmax = v0 sin a / g.
4. Pr�ciser si l'on doit augmenter ou diminuer la valeur de l'angle a si l'on souhaite augmenter
la valeur de tHmax.
Entre 0 et 90 �, la fonction sinus est croissante ; pour augmenter tHmax il faut donc faire cro�tre a.
5. Donner une estimation de la dur�e totale du saut pour une inclinaison de la rampe de 30�.
z(t) = -�gt2 +v0 sin a t+H0 = 0.
-4,9t2 +17 sin 30 t+3,6 = 0.
Discriminant : D =8,52 +4 *3,6 *4,9 =142,81 ~11,952.
On retient la racine positive : t =(-8,5 -11,95) / (-2*4,9)=2,08 ~2,1 s.
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Hauteur et port�e maximales en fonction de I'angle a.
A partir des �quations horaires, et compte tenu des valeurs
num�riques, on a pu tracer les �volutions de la hauteur maximale Hmax et de la port�e OB en fonction de I'angle a.
Les graphiques correspondants sont donn�s.
6. lndiquer dans quel intervalle de valeurs doit th�oriquement se trouver l'angle a pour continuer
d'augmenter simultan�ment la hauteur et la port�e tout en permettant d'envisager un saut
d'une hauteur d'au moins 7 m.
Partie B - Etude de la hauteur du saut � partir de l'�tude �nerg�tique.
On nommeEc I'�nergie cin�tique du skieur, Ep, son �nergie potentielle et Em son �nergie m�canique.
Lors du saut, ces diff�rentes �nergies ont �t� calcul�es � I'aide des informations fournies sur la
vid�o du saut. L'�volution de chacune au cours du temps est repr�sent�e sur la figure ci-dessous.
On a pos� Ep(z= 0) = 0.
7. ldentifier parmi les courbes A, B, C de la figure celles repr�sentant l'�nergie cin�tique,
l'�nergie potentielle de pesanteur et l'�nergie m�canique. Justifier ces choix.
L'�nergie potentielle initiale est �gale � m g H0 =80 x9,81 x3,60 =2,8 103 J = 2,8 kJ..
Energie cin�tique initiale : 0,5 x 80 x172 =1,16 104 J = 11,6 kJ. Puis elle d�cro�t en passant par le maximum, et cro�t ensuite.
L'�nergie m�canique est la somme de l'�nergie cin�tique et de l'�nergie potentielle.
8. Expliquer en quoi les r�sultats exp�rimentaux permettent de consid�rer que l'action de l'air
sur le skieur n'est pas n�gligeable.
L'�nergie m�canique n'est pas constante, elle d�cro�t du travail des frottements de l'air.
9. Estimer la valeur de l'altitude maximale Hmax, du centre de masse du skieur.
Energie potentielle maximale 5,6 kJ = 5,6 103 J.
5,6 103 = mg Hmax ; Hmax = 5,6 103 /(80 x9,81)=7,1 m.
10. En s'appuyant sur des r�sultats exp�rimentaux tir�s de la figure ci-dessus et sur
l'�tude th�orique men�e dans la partie A, donner une estimation de la port�e du saut
enregistr� en pr�cisant s'il s'agit d'une estimation par exc�s ou par d�faut compte tenu des
hypoth�ses formul�es.
Hmax est atteinte � t = 0,85 s.
x(t) = v0 cos a t avec a = 30�.
x =17 cos 30 * 0,85 ~ 13 m, valeur par exc�s qui ne tient pas compte des frottements.
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