Etude
des agr�gats d'eau,
bac g�n�ral Asie
2023.
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�tudier la formation des gouttelettes d'eau dans l'atmosph�re, il est
possible en laboratoire de reconstituer de tr�s petites gouttelettes
contenant
quelques dizaines de mol�cules d'eau, appel�es agr6gats, et qui peuvent
grossir par < collage > de mol�cules d'eau suppl�mentaires. La
masse de
ces agr�gats est un param�tre important pour comprendre le m�canisme de
formation de la pluie. On cherche donc � mesurer la masse de ces
agr�gats
pour mieux les �tudier.
L'objectif de cet exercice est d'illustrer le principe de la
d�termination de la masse des agr�gats par
l'utilisation d'un acc�l�rateur lin�aire.
Le dispositif exp�rimental est sch�matis� ci-dessous. On injecte �
l'entr�e de la zone de
collision des agr�gats constitu�s de N = 50 mol�cules d'eau. Chaque
agr�gat porte une charge �lectrique q positive. Les agr�gats peuvent
subir des collisions avec des mol�cules d'eau dans cette
zone de collision.
On cherche � d�terminer la masse des agr�gats � la sortie de la zone de
collision pour savoir si des
mol�cules d'eau se sont coll�es aux agr�gats. Pour cela, les agr�gats
passent, apr�s la zone de
collision, dans une zone d'acc�l�ration constitu�e de deux armatures
m�talliques A et B distantes
de 10 cm, perc�es chacune d'un trou en leur centre, et aux bornes
desquelles on applique une
tension U = 10 kV. A la sortie de la zone d'acc�l��ration, les agr�gats
entrent dans une zone de
d�placement libre ou r�gne un vide pouss�. On enregistre alors le temps
de vol des agr�gats, c'estd-dire la dur�e pour parcourir la distance D
entre la plaque B et le d�tecteur.
La mesure du temps de vol permet de d�terminer la masse m de l'agr�gat.
Donn�es
- Charge d'un agr�gat: q=1,6 10-19 C
- Tension entre les plaques A et B : U = 10,0 kV
- Distance entre les plaques : AB = 10 cm
Nombre d'Avogadro : NA = 6,02x1023 mol-1 .
1. Montrer que la masse m1 d'un agr�gat contenant N = 50 mol�cules d'eau est d'environ
1,50x10-24 kg et expliquer pourquoi il n'est pas possible de d�terminer cette masse
directement.
m1 = M(eau) / NA x50 =18 x 50 / (6,02 1023)=1,5 10-21 g.
Valeur trop petite pour �tre d�termin�e directement.
2. Sur un sch�ma, repr�senter le vecteur champ �lectrique E dans la zone d'acc�l�ration et
d�terminer sa valeur E.
E = U / AB =10,0 103 / 0,1 =1,0 105 V / m.
3. Donner les caract�ristiques (direction, sens, valeur) de la force �lectrique F qui s'exerce
sur un agr�gat dans la zone d'acc�l�ration.
F a m�me direction et m�me sens que le champ, la charge q �tant positive.
F = q E =1,6 10-19 x 1,0 105=1,6 10-14 N.
4. Montrer, en comparant
les valeurs P, du poids d'un agr�gat et F de la force �lectrique, qu'il
est possible de n�gliger l'effet du poids devant celui de la force
�lectrique.
P = m1g = 1,5 10-21 x9,81 ~1,5 10-20 << F.
5. Exprimer le travail W de la force �lectrique dans la zone d'acc�l�ration en fonction de
q et U.
W = F AB = q E AB = q U
La vitesse vA d'un agr�gat de masse m entrant dans la zone d'acc�l�ration est n�gligeable devant
la vitesse de sortie vB.
6. En utilisant le th�or�me de l'�nergie cin�tique, montrer que la vitesse en sortie de zone
d'acc�l�ration est donn�e par
vB = (2qU / m)�.
Th�or�me de l'�nergie cin�tique entre A et B : �mvB2-0 = qE ; vB = (2qU / m)�.
7. En n�gligeant le poids de l'agr�gat dans la zone de d�placement libre, d�crire le
mouvement de l'agr�gat dans la zone de d�placement libre.
L'agr�gat n'est soumis � aucune force et sa vitesse initiale n'est pas
nulle : d'apr�s la premi�re loi de Newton, le mouvement est rectiligne
uniforme.
On d�signe par Dt la dur�e qu'il faut d l'agr�gat pour parcourir la distance D dans la zone de
d�placement libre. Cette dur�e est �galement appel�e < temps de vol >.
8. Montrer que la dur�e Dt est proportionnelle � m� et en d�duire que la mesure de Dt permet
de d�terminer la masse de l'agr�gat.
D =vB Dt =(2qU / m)�Dt.
Dt = D m � /(2qU).
Lorsque l'on enregistre le temps de vol pour chaque agr�gat qui arrive sur le d�tecteur, on obtient
des r�sultats similaires d ceux donn�s sur la figure suivante. Le pic principal, dit de r�f�rence,
correspond aux agr�gats constitu�s de 50 mol�cules d'eau.
9. D�terminer le nombre de mol�cules d'eau qui constituent les agr�gats du deuxi�me pic.
R�f�rence : Dt = D m1 � /(2qU) = 43,23 �s.
Agr�gat : D m � /(2qU) = 43,66 �s.
(m / m1)� =43,66 / 43,23 ;
m / m1=1,02.
On appelle n le nombre de mol�cules d'eau dans l'agr�gat.
m / m1=n / 50 ; n = 50 x1,02 = 51 mol�cules.
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