Autour
de Saturne,
bac g�n�ral Asie
2023.
Lunette, diffraction, satellite
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Observation de Titan � l'oeil nu.
Distance moyenne terre-Titan : D = 1,43 109 km.
Diam�tre de Titan : d = 5,2 103 km.
1. Montrer que l'angle q sous lequel se pr�sente Titan depuis la terre vaut environ 3,6 10-6 rad.
q = d / D = 5,2 103 / (1,43 109)=3,6 10-6 rad.
2. Justifier que Titan n'est pas observable � l'oeil nu.
q est inf�rieur au pouvoir s�parateur de l'oeil ( 3 10-4 rad)..
3. En d�duire le grossissement minimal que doit avoir l'instrument d'optique pour observer Titan depuis la terre..
Gmin = 3 10-4 / (3,6 10-6 )=83.
Observation de Titan � l'aide d'une lunette astronomique.
Objectif : f '1 =3,10 m ; diam�tre d1 = 260 mm ;
Oculaire : trois distances focales sont possibles f '2 =12 mm ; 25 mm , 40 mm.
4. Sur le sch�ma identifier l'objectif et l'oculaire et positionner les foyers F2 et F'1 pour que la lunette soit afocale.
5. Construire la marche des rayons lumineux.
6 Etablir la relation G = f '2 / f '1.
Triangle O1A1B1 : tan a ~ a =A1B1
/ f '1.
Triangle O2A1B1
: tan a' ~ a' =A1B1
/ f '2
Par suite G = a'
/ a.=
f '1 / f '2.
7. Quel oculaire donne le grossissement maximal ?
G est maximal si f '2 est minimal : f '2 = 12 mm.
Gmax = 3,10 / 0,012 ~258.
8. Indiquer s'il est possible d'observer chacune des deux lunes, Titan et Janus, � l'aide de cette lunette.
Titan est observable : Gmax =258 > Gmin = 83.
Janus : angle sous lequel est vu Janus depuis la terre : 1,3 10-7 rad.
1,3 10-7 x Gmax = 1,3 10-7 x258 =3,4 10-5 rad.
Cette valeur �tant inf�rieure au pouvoir s�parateur de l'oeil, Janus n'est pas observable avec cette lunette.
9. Donner une estimation de la longueur L de cette lunette.
L = f '1 + f '2maxi = 3,10 + 40 10-3 ~ 3,14 m.
Limite d'observation de la lunette.
Le pouvoir de r�solution d'un instrument d'optique est caract�ris� par un angle a = 1,22 l / d.
l : longueur d'onde et d diam�tre de l'objectif.
10. Nommer le ph�nom�ne qui limite le pouvoir de r�solution.
La diffraction.
11. Pour l = 550 nm et G = 260, v�rifier que la lunette permet d'observer Titan.
a = 1,22 x550 10-9 / 0,260 =2,58 10-6 rad.
Angle q sous lequel se pr�sente Titan depuis la terre, observ� � l'oeil nu : 3,6 10-6 rad.
Prendre en compte le grossissement de la lunette : 3,6 10-6 x260 ~9,4 10-4 rad.
9,4 10-4 > a, Titan est donc observable.
12. Expliquer pourquoi il est pr�f�rable d'utiliser des lunettes avec un objectif ayant un grand diam�tre d'ouverture.
a = 1,22 l / d.
d intervient au d�nominateur : si d est grand, a diminue : la limite d'observattion de la lunette augmente.
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Autour de Saturne.
Les anneaux de Saturne sont constitu�s de morceaux de glace et de
poussi�re. Tout comme les lunes en orbite autour de Saturne, ils
ob�issent aux lois du mouvement d'un satellite dans un champ de
gravitation.
Rayon de Saturne R = 58,2 103 km.
Rayon int�rieur du premier anneau : rint = 6,69 104 km.
Rayon ext�rieur du premier anneau : rext = 7,45 104 km.
Rayon ext�rieur du dernier anneau : Rext = 1,36 105 km.
Rayon de l'orbite de Janus RJ = 1,51 105 km.
La vitesse v constante d'un satellite de masse m en orbite circulaire autour de Saturne est donn�e par : v = (GM/r)�.
r est le rayon constant de l'orbite du satellite.
13. Retrouver cette relation.
14. Retrouver la troisi�me loi de Kepler.
Le satellite d�crit la circonf�rence 2 p r � la vitesse v en T seconde.
2pr = vT ; T = 2pr / v.
Elever au carr� l'expression de la p�riode : T2 = 4p2 r 2 / v2.
Remplacer v2 par son expression GM/ r : T2 = 4p2 r 3 / (GM).
15. D�terminer la masse de Saturne si la p�riode de Janus est de 17 h.
T = 17 x3600=61 200 s.
Rayon de l'orbite de Janus RJ = r = 1,51 108 m.
M = 4p2r3 / (GT2)=4 x3,142 x(1,51 108)3 /(6,67 x10-11 x612002)=5,44 1026 kg.
16. Justifier que tous les corps du premier anneau ne tournent pas � la m�me vitesse.
Les corps du premier anneau ne sont pas tous � la m�me distance du centre de Saturne.
17. D�terminer le
nombre de tours effectu�s par la bordure interne du premier
anneau pendant que la bordure externe effectue un tour complet.
Text2 = 4p2 rext 3 / (GM).
Tint2 = 4p2 rint 3 / (GM).
Text2 / Tint2 = (rext / rint )3=(7,45 / 6,69)3=1,38.
Text / Tint =1,175.
La bordure interne effectue environ 1,2 tours.
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