Probabilit�s, fonctions, Math�matiques, bac g�n�ral Centres �trangers 2023.

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Dans une grande ville fran�aise, des trottinettes �lectriques sont mises � disposition des usagers. Une entreprise, charg�e de l’entretien du parc de trottinettes, contr�le leur �tat chaque lundi.
 Partie A.
On estime que :
 - lorsqu’une trottinette est en bon �tat un lundi, la probabilit� qu’elle soit encore en bon �tat le lundi suivant est 0,9 ;
 - lorsqu’une trottinette est en mauvais �tat un lundi, la probabilit� qu’elle soit en bon �tat le lundi suivant est 0,4.
 On s’int�resse � l’�tat d’une trottinette lors des phases de contr�le. Soit n un entier naturel. On note Bn l’�v�nement � la trottinette est en bon �tat n semaines apr�s sa mise en service � et pn la probabilit� de Bn.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon �tat. On a donc p0 = 1.
1. Donner p1 et montrer que p2 = 0,85. On pourra s’appuyer sur un arbre pond�r�.

2. Recopier et compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous.
3. En d�duire que, pour tout entier naturel n, pn+1 = 0,5pn + 0,4.

 4. a. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel n, pn ⩾ 0,8.
Initialisation : p1 =0,9, la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit�pn ⩾ 0,8 est suppos� vrai.
pn+1 = 0,5 pn +0,4 ;
pn+1 > 0,5 x0,8 +0,4 ; pn+1 > 0,8. La propri�t� est vraie au rang n+1.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour tout entier n.
 b. � partir de ce r�sultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilit� du parc ?
La probabilit� qu'une trotinette soit en bon �tat � tout moment est sup�rieure � 0,8.
5. a. On consid�re la suite (un) d�finie pour tout entier naturel n par un = pn − 0,8. Montrer que (un) est une suite g�om�trique dont on donnera le premier terme et la raison.
pn+1 = 0,5pn + 0,4 ; un+1 = pn+1 − 0,8= 0,5pn - 0,4=0,5 (pn − 0,8)=0,5 un.
u0 =p0-0,8=0,2 ; raison q = 0,5.
 b. En d�duire l'expression de un puis de pn en fonction de n.
un =0,2 x0,5n ; pn =un +0,8 = 0,2 x0,5n +0,8.
c. En d�duire la limite de la suite (pn).
0,5 < 1 ; 0,5n tens vers z�ro si n tend vers plus l'infini ; pn tend vers 0,8.

Partie B.
Dans cette partie, on mod�lise la situation de la fa�on suivante :
- l’�tat d’une trottinette est ind�pendant de celui des autres ;
- la probabilit� qu’une trottinette soit en bon �tat est �gale � 0,8.
On note X la variable al�atoire qui, � un lot de 15 trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon �tat.
Le nombre de trottinettes du parc �tant tr�s important, le pr�l�vement de 15 trottinettes peut �tre assimil� � un tirage avec remise.
1. Justifier que X suit une loi binomiale et pr�ciser les param�tres de cette loi.
On r�p�te 15 fois et de mani�re ind�pendante la m�me �preuve de Bernouilli de param�tre p=0,8.
X suit la loi Binomiale de param�tres n = 15 ; p = 0,8.
 2. Calculer la probabilit� que les 15 trottinettes soient en bon �tat.
p(X = 15 = 0,815 ~0,035.
 3. Calculer la probabilit� qu’au moins 10 trottinettes soient en bon �tat dans un lot de 15.
p(X>10) = 1-p(X < 9) =0,939.
 4. On admet que E(X) = 12. Interpr�ter le r�sultat.
En moyenne, 12 trotinettes sont en bon �tat sur un lot de 15.

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Une soci�t� de production s’interroge sur l’opportunit� de programmer un jeu t�l�vis�. Ce jeu r�unit quatre candidats et se d�roule en deux phases. La premi�re phase est une phase de qualification. Cette phase ne d�pend que du hasard. Pour chaque candidat, la probabilit� de se qualifier est 0,6 . La deuxi�me phase est une comp�tition entre les candidats qualifi�s. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifi�s. Sa dur�e d�pend du nombre de candidats qualifi�s comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxi�me phase, on consid�re que sa dur�e est nulle).
Nombre de canndidats qualifi�s pour la deuxi�me phase
0
1
2
3
4
Dur�e de la deuxi�me phase ( min)
0
0
5
9
11
Pour que la soci�t� d�cide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient v�rifi�es :
 Condition n�1 : La deuxi�me phase doit avoir lieu dans au moins 80% des cas.
Condition n�2 : La dur�e moyenne de la deuxi�me phase ne doit pas exc�der 6 minutes.
Le jeu peut-il �tre retenu ?
On note X la variable al�atoire comptant le nombre de candidats qualifi�s lors de la premi�re phase.
On r�p�te de mani�re ind�pendante 4 fois la m�me �preuve de Bernoulli de param�tre 0,6.
p(X > 2) =1-p(X = 0)-p(X=1)=1 -0,44 -(4 1)0,61 x0,43 ~0,821.
Cette valeur �tant sup�rieure � 0,8, la premi�re condition est v�rifi�e.
Dur�e moyenne : 5 p(X=2) +9P(X=3) +11P(X=4) ~6,3.
Cette valeur �tant sup�rieure � 6, la seconde condition n'est pas v�rifi�e. le jeu n'est pas retenu.

Fonction et suite.
On consid�re la fonction fd�finie sur ]−1,5 ; +∞[ par f(x) = ln(2x + 3) − 1. Le but de cet exercice est d’�tudier la convergence de la suite (un) d�finie par : u0 = 0 et u𝑛+1 = f(un) pour tout entier naturel n.
Partie A : �tude d’une fonction auxiliaire
On consid�re la fonction g d�finie sur ]−1,5 ; +∞[ par g(x) = f(x) − x.
1. D�terminer la limite de la fonction g en −1,5.
Quand  x  tend vers -1,5 : ln(2x+3) tend vers z�ro et f(x) tend vers moins l'infini
g(x) tend donc vers moins l'infini.
On admet que la limite de la fonction g en +∞ est −∞.
 2. �tudier les variations de la fonction g sur ]−1,5 ; +∞[.
f '(x) = 2 /(2x+3) ; g'(x) = 2 /(2x+3)-1 = (2-2x-3) / (2x+3) =-(2x+1) /(2x+3).
2x+3 > 0 ; g'(x) a le signe de -(2x+1).
Si x < -0,5, g'(x) > 0 et g(x) est strictement croissante.
Si x > -0,5, g'(x) < 0 et g(x) est strictement d�croissante.
Si x = -0,5, g'(x) =0, g(x) pr�sente un maximum.
3. a. D�montrer que, dans l’intervalle ]−0,5 ; +∞[, l’�quation g(x) = 0 admet une unique solution a.
g est continue car d�rivable sur ]-0,5 ; +oo[.
g(-0,5) = ln(2)-0,5 ~0,19 >0.
En plus l'infini, g(x) tend vers  moins l'infini.
D'apr�s le th�or�mede la bijection, l'�quation g(x) = 0 admet une solution unique sur ]0,5 ; +oo[.
b. D�terminer un encadrement de a d’amplitude 10−2.
La calculatrice donne a ~0,256 : 0,25 < a  < 0,26.

Partie B : �tude de la suite (un)
On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]−1,5 ; +∞[.
1. Soit x un nombre r�el.
Montrer que si x ∈ [−1; a] alors f(x) ∈ [−1; a].
g(a) = 0 ; donc f(a)-a =0 ; f(a) = a.
f(-1) = -1.
La fonction f est strictement croissante sur ]-1,5 ; +oo[.
Pour x appartenant � [−1; a], f(x) apartient � [f(-1) ; f(a)] soit   f(x) ∈ [−1; a].
2. a. D�montrer par r�currence que pour tout entier naturel n : −1 ⩽ un ⩽ un+1a.
On note P(n) telle que −1 ⩽ un ⩽ un+1a.
Initialisation : u0 = 0 ; u1 = f(0)=ln(3)-1 ~0,1.
0 ⩽ u0 ⩽ u1a. la propri�t� est vraie au rang z�ro.
H�r�dit�  : −1 ⩽ un ⩽ un+1a est suppos� vraie.
La fonction f est strictement croissante sur ]-1,5 ; +oo[, donc f(un) < f(un+1), soit un+1 < un+2.
De plus pour tout x appartenant � [-1 ; a], f(x) appartient � [-1 ; a].
Par suite un+1 et un+2 appartiennent � [-1 ; a].
-1 < un+1 < un+2 < a. Pn+1 est vraie.
Conclusion : la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, donc elle est vrai pour tout entier n.
 b. En d�duire que la suite (un) converge.
La suite �tant croissante et major�e par a, elle converge.


  
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