Probabilit�s,
fonctions, Math�matiques,
bac g�n�ral Centres �trangers
2023.
En
poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation
de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres
d’int�r�ts.
.
| . |
.
.
|
|
.
.
|
..
..
......
...
|
Dans une grande ville fran�aise, des
trottinettes �lectriques sont mises � disposition des
usagers. Une entreprise, charg�e de l’entretien du parc de
trottinettes, contr�le leur �tat
chaque lundi.
Partie A.
On estime que :
- lorsqu’une trottinette est en bon �tat un lundi, la probabilit�
qu’elle soit encore en
bon �tat le lundi suivant est 0,9 ;
- lorsqu’une trottinette est en mauvais �tat un lundi, la
probabilit� qu’elle soit en bon
�tat le lundi suivant est 0,4.
On s’int�resse � l’�tat d’une trottinette lors des phases de
contr�le.
Soit n un entier naturel. On note B n l’�v�nement � la
trottinette est en bon �tat n semaines
apr�s sa mise en service � et p n la probabilit� de B n.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon �tat. On a donc p 0
= 1.
1. Donner p 1
et montrer que p 2 = 0,85. On pourra s’appuyer sur un arbre
pond�r�.
2. Recopier et
compl�ter l’arbre pond�r� ci-dessous.
3. En d�duire que,
pour tout entier naturel n, p n+1 = 0,5p n + 0,4.
4. a. D�montrer par
r�currence que pour tout entier naturel n, p n ⩾ 0,8.
Initialisation :
p 1 =0,9, la propri�t� est vraie au rang 1.
H�r�dit�
: pn ⩾
0,8 est suppos� vrai.
pn+1 = 0,5 pn +0,4 ; pn+1 > 0,5 x0,8
+0,4 ; pn+1 > 0,8. La propri�t� est
vraie au rang n+1.
Conclusion
: la propri�t� est vraie au rang 1 et h�r�ditaire, elle est vraie pour
tout entier n.
b.
� partir de ce r�sultat, quelle communication l’entreprise peut-elle
envisager pour valoriser la fiabilit� du parc ?
La probabilit� qu'un e
trotinette soit en bon �tat � tout moment est sup�rieure � 0,8.
5.
a. On consid�re la suite (u n) d�finie pour tout
entier naturel n par u n = p n − 0,8.
Montrer que (u n) est une suite g�om�trique dont on donnera
le premier terme
et la raison.
pn+1
= 0,5pn + 0,4 ; un+1 = pn+1 − 0,8= 0,5pn
- 0,4=0,5 (pn
− 0,8)=0,5 un.
u0 =p0-0,8=0,2 ; raison q = 0,5.
b. En
d�duire l'expression de u n puis de p n en fonction
de n.
u n =0,2 x0,5 n ; p n = un +0,8 = 0,2 x0,5n +0,8.
c. En d�duire la
limite de la suite (p n).
0,5 < 1 ; 0,5n tens vers z�ro si n tend vers plus
l'infini ; pn tend vers 0,8.
Partie B.
Dans cette partie, on mod�lise la situation de la fa�on suivante :
- l’�tat d’une trottinette est ind�pendant de celui des autres ;
- la probabilit� qu’une trottinette soit en bon �tat est �gale � 0,8.
On note X la variable al�atoire qui, � un lot de 15 trottinettes,
associe le nombre de
trottinettes en bon �tat.
Le nombre de trottinettes du parc �tant tr�s important, le
pr�l�vement de 15 trottinettes peut �tre assimil� � un tirage avec
remise.
1. Justifier que X
suit une loi binomiale et pr�ciser les param�tres de cette loi.
On r�p�te 15 fois et de mani�re ind�pendante la m�me �preuve de
Bernouilli de param�tre p=0,8.
X suit la loi Binomiale de param�tres n = 15 ; p = 0,8.
2. Calculer la
probabilit� que les 15 trottinettes soient en bon �tat.
p(X = 15 = 0,8 15 ~0,035.
3. Calculer la
probabilit� qu’au moins 10 trottinettes soient en bon �tat dans un
lot de 15.
p(X >10) = 1-p(X < 9) =0,939.
4. On admet que E(X) =
12. Interpr�ter le r�sultat.
En moyenne, 12 trotinettes sont en bon �tat sur un lot de 15.
|
...
|
....
|
Une soci�t� de production
s’interroge sur l’opportunit� de programmer un jeu t�l�vis�. Ce
jeu r�unit quatre candidats et se d�roule en deux phases.
La premi�re phase est une phase de qualification. Cette phase ne d�pend
que du hasard.
Pour chaque candidat, la probabilit� de se qualifier est 0,6 .
La deuxi�me phase est une comp�tition entre les candidats qualifi�s.
Elle n’a lieu que si
deux candidats au moins sont qualifi�s. Sa dur�e d�pend du nombre de
candidats qualifi�s
comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxi�me
phase, on consid�re
que sa dur�e est nulle).
Nombre
de canndidats qualifi�s pour la deuxi�me phase
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Dur�e
de la deuxi�me phase ( min)
|
0
|
0
|
5
|
9
|
11
|
Pour que la soci�t� d�cide de retenir ce jeu, il faut que les deux
conditions suivantes soient
v�rifi�es :
Condition n�1 : La deuxi�me phase doit avoir lieu dans au moins
80% des cas.
Condition n�2 : La dur�e moyenne de la deuxi�me phase ne doit pas
exc�der 6 minutes.
Le jeu peut-il �tre retenu ?
On note X la variable al�atoire comptant le nombre de candidats
qualifi�s lors de la premi�re phase.
On r�p�te de mani�re ind�pendante 4 fois la m�me �preuve de Bernoulli
de param�tre 0,6.
p(X > 2) =1-p(X =
0)-p(X=1)=1 -0,44 -(4 1)0,61
x0,43 ~0,821.
Cette valeur �tant sup�rieure � 0,8, la premi�re condition est v�rifi�e.
Dur�e moyenne : 5 p(X=2) +9P(X=3) +11P(X=4) ~6,3.
Cette valeur �tant sup�rieure � 6, la seconde condition n'est pas
v�rifi�e. le jeu n'est pas retenu.
Fonction et suite.
On consid�re la fonction fd�finie sur ]−1,5 ; +∞[ par f(x) = ln(2x + 3)
− 1.
Le but de cet exercice est d’�tudier la convergence de la suite (un)
d�finie par : u0 = 0 et u𝑛+1 = f(un)
pour tout entier naturel n.
Partie A : �tude d’une
fonction auxiliaire
On consid�re la fonction g d�finie sur ]−1,5 ; +∞[ par g(x) = f(x) − x.
1. D�terminer la
limite de la fonction g en −1,5.
Quand x tend vers -1,5 : ln(2x+3) tend vers z�ro et f(x)
tend vers moins l'infini
g(x) tend donc vers moins l'infini.
On admet que la limite de la fonction g en +∞ est −∞.
2. �tudier les variations
de la fonction g sur ]−1,5 ; +∞[.
f '(x) = 2 /(2x+3) ; g'(x) = 2 /(2x+3)-1 = (2-2x-3) / (2x+3) =-(2x+1)
/(2x+3).
2x+3 > 0 ; g'(x) a le signe de -(2x+1).
Si x < -0,5, g'(x) > 0 et g(x) est strictement croissante.
Si x > -0,5, g'(x) < 0 et g(x) est strictement d�croissante.
Si x = -0,5, g'(x) =0, g(x) pr�sente un maximum.
3. a. D�montrer
que, dans l’intervalle ]−0,5 ; +∞[, l’�quation g(x) = 0 admet une
unique
solution a.
g est continue car d�rivable sur ]-0,5 ; +oo[.
g(-0,5) = ln(2)-0,5 ~0,19 >0.
En plus l'infini, g(x) tend vers moins l'infini.
D'apr�s le th�or�mede la bijection, l'�quation g(x) = 0 admet une
solution unique sur ]0,5 ; +oo[.
b. D�terminer un
encadrement de a
d’amplitude 10−2.
La calculatrice donne a
~0,256 : 0,25 < a < 0,26.
Partie B : �tude de la suite (un)
On admet que la fonction f est strictement croissante sur ]−1,5 ; +∞[.
1. Soit x un nombre
r�el.
Montrer que si x ∈ [−1; a]
alors f(x) ∈ [−1; a].
g(a) = 0 ; donc f(a)-a =0 ; f(a) = a.
f(-1) = -1.
La fonction f est strictement croissante sur ]-1,5 ; +oo[.
Pour x appartenant � [−1; a],
f(x) apartient � [f(-1) ; f(a)]
soit f(x) ∈ [−1; a].
2. a. D�montrer
par r�currence que pour tout entier naturel n :
−1 ⩽ un ⩽ un+1 ⩽ a.
On note P(n) telle que −1 ⩽ un ⩽ un+1 ⩽ a.
Initialisation
: u0 = 0 ; u1 = f(0)=ln(3)-1 ~0,1.
0 ⩽ u0 ⩽ u1 ⩽ a. la propri�t� est vraie au
rang z�ro.
H�r�dit�
: −1 ⩽ un ⩽ un+1 ⩽ a est suppos� vraie.
La fonction f est strictement croissante sur ]-1,5 ; +oo[, donc f(un)
< f(un+1),
soit un+1 <
un+2.
De plus pour tout x appartenant � [-1 ; a], f(x) appartient � [-1 ; a].
Par suite un+1 et un+2 appartiennent � [-1 ; a].
-1 < un+1
< un+2
< a. Pn+1 est vraie.
Conclusion
: la propri�t� est vraie au rang z�ro et h�r�ditaire, donc elle est
vrai pour tout entier n.
b. En d�duire que la
suite (un) converge.
La suite �tant croissante et major�e par a, elle converge.
|
|
