QCM Math�matiques, bac g�n�ral Centres �trangers 2023.

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QCM. (5 points)
Question 1 : On consid�re la suite num�rique (un) d�finie pour tout n entier naturel par un = (1+2n) / (3+5n). Cette suite :
 a) diverge vers +∞  ; b) converge vers 2 / 5 ; c) converge vers 0  ;d) converge vers 1/ 3.
un = 2n(1 / 2n+1) / [5n(1 / 5n +1)] =(2 / 5)n (1 / 2n+1) / (1 / 5n +1).
Quand n tend vers plus l'infini : (2 / 5)n ,1 / 2n, 1 / 5n tendent vers z�ro ; un tend vers z�ro.
R�ponse c.

Question 2 : Soit f la fonction d�finie sur ]0; +∞[ par f(x) = x2ln(x). L’expression de la fonction d�riv�e de f est :
 a) f '(x) = 2xln(x). b) f '(x) = x(2ln(x)+1). c) f '(x) =2. d) f '(x) = x.
On pose u = x2; v = ln(x) ; u' = 2x ; v' = 1 /x.
u'v+v'u =2x ln(x) + x = x(2 ln(x) +1). R�ponse b.

Question 3 : On consid�re une fonction h d�finie et continue sur R dont le tableau de variation est donn� ci-dessous :

On note H la primitive de h d�finie sur R qui s’annule en 0. Elle v�rifie la propri�t� :
a) H positive sur ]−∞ ; 0]. b) H n�gative sur ]−∞ ; 1]. c) H croissante sur ]−∞ ; 1]. d) H croissante sur R.
h(x)  < 0 sur ]-oo ; 1], donc H(x) est d�croissante sur cet intervalle et donc sur ]-oo ; 0].
Or H(0) = 1.
Donc pour tout x < 0; H(x) > H(0), soit H(x) > 0. R�ponse a.

Question 4 : Soit deux r�els a et b avec a < b. On consid�re une fonction f d�finie, continue, strictement croissante sur l’intervalle [a ; b] et qui s’annule en un r�el a. Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approch�e de a � 0,001 est :
 
Question 5 : Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont 7 sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilit� d’obtenir exactement deux boules vertes est :
a) (7 / 10)2 x3 / 10 ; b) (3 / 10)2 ; c) (10  2) (7 /10)(3/10)2 ; d) (3  2) (7 /10)(3/10)2 .
Probabilit� de tirer une boule verte 3 / 10 ; probabilit� de tirer une boule bleue 7 / 10.
Probabilit� de tirer exactement deux boules verte : (3  2) (7 /10)(3/10)2 . R�ponse d.
 
Exercice 4 (3 points) Un biologiste a mod�lis� l’�volution d’une population de bact�ries (en milliers d’entit�s) par la fonction f d�finie sur [0; +∞[ par f(t) = e3 − exp(−0.5t2+t+2 ) o� t d�signe le temps en heures depuis le d�but de l’exp�rience. � partir de cette mod�lisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
• Affirmation 1 : � La population augmente en permanence �.
 • Affirmation 2 : � � tr�s long terme, la population d�passera 21 000 bact�ries �.
• Affirmation 3 : � La population de bact�ries aura un effectif de 10 000 � deux reprises au cours du temps �.
f '(t) = -(-t+1)exp(−0.5t2+t+2 ) = (t-1)exp(−0.5t2+t+2 )
Si t  < 1, f  '(t) est n�gative et f(t) d�cro�t ; Si t  > 1, f  '(t) est positive et f(t) cro�t ; l'afirmation 1 est fausse.
Si t tend vers plus l'infini, le terme en exponentielle tend vers z�ro et la population tend vers e3~20 soit 20 000 bact�rie. L'affirmation 2 est fausse.
f(t) pr�sente un minimum pour t = 1 soit f(1) =e3-32,5 ~7,9 ( 7900 bact�ries). L'affirmation 3 est vraie.

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 Exercice 3.
La fonction 𝑓 est d�finie sur [0; +∞[ par : f(x) = x exp(0,02x) − 10 000.
1. D�terminer la limite de f(x) en plus l'infini.
exp(0,02x) tend vers plus l'infini ; par produit des limites f(x) tend vers plus l'infini.
 2. On note f ' la fonction d�riv�e de f sur [0; +∞[. Justifier que pour tout nombre r�el 𝑥 ≥ 0, f '(x) = (0,02𝑥 + 1)exp(0,02x)
On pose u = x et v = exp(0,02x) ; u' = 1 ; v' = 0,02 exp(0,02x).
u'v+v'u = exp(0,02x) +0,02 x exp(0,02x) = f '(x) = (0,02𝑥 + 1)exp(0,02x).
 3. En d�duire le sens de variation de 𝑓 sur [0; +∞[ .
exp(0,02x) >0 ; 0,02x+1 > : la d�riv�e est strictement positive et f(x) est strictement croissante.
 4. L’affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
� Tout nombre r�el x, compris entre 0 et 1000, a une image n�gative par f. �
f(0) = -10 000 ; f(1000) ~4,85 1011. L'affirmation est fausse.
 5. Quatre fonctions A, B, C et D sont �crites dans le m�me programme Python ci-dessous. Laquelle de ces quatre fonctions permet de d�terminer la plus petite valeur enti�re dont l’image par f est positive ?
def B():
 n=0
f = –10000
 while f <0:
 n=n+1
 f =n *exp(0.02 * n) –10000
 return n

QCM.
  Question 1 : Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = xex. Une primitive F sur R de la fonction f est d�finie par :
A. F(x) = �x2 ex ; B. F(x) = (x-1)ex vrai ; C. F(x) = (x+1)ex ;  D. F(x) = �x exp(x2).
On d�rive F(x) = �x2 ex en posant u = �x2 et v = ex.
u' = x ; v' =ex ; u'v+v'u=xex+�x2 ex diff�re de f(x).
On d�rive F(x) = (x-1)ex en posant u = x-1 et v = ex.
u' = 1 ; v' =ex ; u'v+v'u=ex+(x-1) ex= f(x).

Question 2 :
La courbe C ci-dessous repr�sente une fonction f d�finie et deux fois d�rivable sur ]0; +∞[. On sait que :
• le maximum de la fonction f est atteint au point d’abscisse 3 ;
 • le point P d’abscisse 5 est l’unique point d’inflexion de la courbe C. 

On a : A. pour tout x ∈ ]0; 5[, f(x)) et f '′ (x) sont de m�me signe ; B. pour tout x ∈ ]5; +∞[, f(x) et f '(x) sont de m�me signe ;
 C. pour tout x ∈ ]0; 5[, f ' (x) et f "(x) sont de m�me signe ;  D. pour tout x ∈ ]5; +∞[, f(x) et f "(x) sont de m�me signe. Vrai.
f(x) est convexe sur [5 ; +oo[, donc f "(x) >0.
f(x) >0 sur [5 ; +oo[.

Question 3 :
 On consid�re la fonction g d�finie sur [0; +∞[ par g(t)= a /(b +e-t) o� a et b sont deux nombres r�els.
On sait que g(0) = 2 et que la limite de g(t) en plus l'infini est �gale � 3.
 Les valeurs de a et b sont :
A. a = 2 et b = 3 ;  B. a = 4 et b = 4 / 3  ; C. a = 4 et b = 1 ; D. a = 6 et b = 2. Vrai.
g(0) = a / (b+1) = 2 soit a = 2b+2.
e-t tend vers z�ro si t tend vers plus l'infini et g(t) tend vers a/b = 3 soit a = 3b.
Par suite  3b=2b+2 ; b=2 et a = 6.

Question 4 :
 Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher. L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges. L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge. Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte. La probabilit� qu’elle ait choisi l’urne B est :
 A. 3 /8 ; B. 1/ 2  ; C. 3/ 5 vrai ; D. 5/ 8.
On note les �v�nements suivants : A : choisir l'urne A ; B : choisir l'urne B et V : tirer une boule verte.
p(V) = p(A n V) + P(b n V) = 0,5 x 0,5 +0,5 x 3 /4 = 1 /4 +3 /8 =5 /8.
Puis pV(B) =p(V n B) / p(V) =0,5 x 3/4 / (5 / 8) =3 / 5.

Question 5 :
On pose S = 1 + 1/ 2 + 1 /3 + 1 /4 + ⋯ + 1 /100. Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme S est :


  
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