QCM. (5 points)
Question 1 :
On consid�re la suite num�rique (u
n) d�finie pour tout n entier naturel par u
n =
(1+2
n) / (3+5
n).
Cette suite :
a) diverge vers +∞
; b) converge vers
2 /
5
;
c) converge vers 0
;d) converge vers
1/
3.
u
n = 2
n(1 / 2
n+1) / [5
n(1 / 5
n +1)] =(2 / 5)
n (1 / 2
n+1) / (1 / 5
n +1).
Quand n tend vers plus l'infini :
(2 / 5)n ,1 / 2n, 1 / 5n tendent vers z�ro ; un tend vers z�ro.
R�ponse c.
Question 2 :
Soit f la fonction d�finie sur ]0; +∞[ par f(x) = x
2ln(x). L’expression de la fonction
d�riv�e de f est :
a) f '(x) = 2xln(x).
b) f '(x) = x(2ln(x)+1).
c) f '(x) =2.
d) f '(x) = x.
On pose u = x
2; v = ln(x) ; u' = 2x ; v' = 1 /x.
u'v+v'u =2x ln(x) + x = x(2 ln(x) +1). R�ponse b.
Question 3 :
On consid�re une fonction h d�finie et continue sur R dont le tableau de variation est
donn� ci-dessous :

On note H la primitive de h d�finie sur R qui s’annule en 0.
Elle v�rifie la propri�t� :
a) H positive sur ]−∞ ; 0].
b) H n�gative sur ]−∞ ; 1].
c) H croissante sur ]−∞ ; 1].
d) H croissante sur R.
h(x)
< 0 sur ]-oo ; 1], donc H(x) est d�croissante sur cet intervalle et donc sur ]-oo ; 0].
Or H(0) = 1.
Donc pour tout x
< 0; H(x)
> H(0), soit H(x)
> 0. R�ponse a.
Question 4 :
Soit deux r�els a et b avec a < b.
On consid�re une fonction f d�finie, continue, strictement croissante sur l’intervalle
[a ; b] et qui s’annule en un r�el
a.
Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner
une valeur approch�e de
a � 0,001 est :
Question 5 :
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher dont 7 sont bleues et les autres
vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilit� d’obtenir
exactement deux boules vertes est :
a) (7 / 10)
2 x3 / 10 ; b) (3 / 10)
2 ; c) (
10 2) (7 /10)(3/10)
2 ;
d) (3 2) (7 /10)(3/10)2 .
Probabilit� de tirer une boule verte 3 / 10 ; probabilit� de tirer une boule bleue 7 / 10.
Probabilit� de tirer exactement deux boules verte : (3 2) (7 /10)(3/10)2 . R�ponse d.
Exercice 4 (3 points)
Un biologiste a mod�lis� l’�volution d’une population de bact�ries (en milliers d’entit�s)
par la fonction f d�finie sur [0; +∞[ par f(t) = e
3 − exp(−0.5t
2+t+2 ) o� t d�signe le temps en
heures depuis le d�but de l’exp�rience.
� partir de cette mod�lisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune
d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.
• Affirmation 1 : � La population augmente en permanence �.
• Affirmation 2 : � � tr�s long terme, la population d�passera 21 000 bact�ries �.
• Affirmation 3 : � La population de bact�ries aura un effectif de 10 000 � deux
reprises au cours du temps �.
f '(t) = -(-t+1)
exp(−0.5t2+t+2 ) = (t-1)exp(−0.5t2+t+2 )
Si t < 1, f '(t) est n�gative et f(t) d�cro�t ; Si t > 1, f '(t) est positive et f(t) cro�t ; l'afirmation 1 est fausse.
Si t tend vers plus l'infini, le terme en exponentielle tend vers z�ro et la population tend vers e3~20 soit 20 000 bact�rie. L'affirmation 2 est fausse.
f(t) pr�sente un minimum pour t = 1 soit f(1) =e3-32,5 ~7,9 ( 7900 bact�ries). L'affirmation 3 est vraie.