A. �tude du mouvement d’un ballon lors du tir au-dessus du gardien.
Un � jet de 7 m�tres � a �t� reproduit et film� au gymnase, la chronophotographie du mouvement
du ballon est la suivante :
- hauteur de la barre transversale d’un but de handball : 2,0 m.
Dans cette �tude :
- Le syst�me �tudi� est le ballon, les coordonn�es de la position de son centre de masse G
sont not�es (x ; y) dans le rep�re.
- Dans ce rep�re, les coordonn�es du vecteur vitesse du ballon sont not�es (v
x ; v
y) et celles
de son vecteur acc�l�ration sont not�es (a
x ; a
y).
- Le vecteur vitesse initiale v
0 du ballon forme un angle
a avec l’horizontale.
- L’action de l’air sur le ballon est n�glig�e.
- L’instant t = 0 correspondant � l’origine des dates est choisi juste apr�s que le ballon a quitt�
la main du tireur.
� cet instant, les coordonn�es du centre de masse G du ballon sont (x
0 = 0 ;
y
0 = h = 2,34 m)
- Les courbes repr�sentant les coordonn�es du vecteur vitesse au cours du temps, apr�s
�talonnage du rep�re et pointage des positions successives du centre du ballon, sont
donn�es ci-dessous :
Q.1. Nommer le r�f�rentiel dans lequel la trajectoire du ballon est observ�e sur la
chronophotographie.
R�f�rentiel terrestre.
Q.2. En pr�cisant certaines hypoth�ses, �tablir l’expression du vecteur acc�l�ration du
centre de masse du ballon lors du tir. �tablir les coordonn�es de ce vecteur dans le
rep�re R.
L'action de l'air �tant n�glig�e, la ballon n'est soumis qu'� son poids.
La seconde loi de Newton conduit � : a
x = 0; a
y = -g.
Q.3. Parmi les expressions propos�es pour l’intensit� du champ de pesanteur terrestre,
d�terminer par analyse dimensionnelle celle qui est homog�ne (on note M la masse de la
Terre et R son rayon) :
a) g =
G�M
2/ R ;
b) g =
G�M/
R2 vrai ; c) g =
(G+M) / R
2..
G s'exprime en m
3 kg
-1s
-2 ; M s'exprime en kg et R en m�tre :
G�M2/ R s'exprime en m4kg s-2 ;
G�M/
R2 s'exprime en m s-2 , dimension d'une acc�l�ration.
c) G et M ne s'additionnent pas.
Q.4. Montrer que les expressions des coordonn�es du vecteur vitesse du centre de masse
du ballon lors du tir sont :
v
x
(t) = v
0
� cos (
a) ; v
y
(t) = -g�t +
v0
� sin (a).
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration :
vx
(t) =A ; vy
(t) = -g�t + B. A et B sont des constantes.
vx
(t=0) =A = v0
� cos (a) ; vy
(t=0) = B= v0
� sin (a).
Q.5. Sur le graphique repr�sentant l’�volution des coordonn�es du vecteur vitesse au cours
du temps, identifier la courbe correspondant � v
x et celle correspondant � v
y. Justifier.
v
x(t) est constant : courbe 1 ;
v
y d�cro�t au cours du temps, s'annule en passant au sommet de la trajectoire puis change de signe ( courbe 2).
Q.6. Calculer � partir de ces courbes la norme v
0 du vecteur vitesse initiale, ainsi que la
valeur de l’angle
a.
v0
� cos (a) =6,4 m /s ; v0
� sin (a) =4,6 m /s ;
tan (a) =4,6 / 6,8 ~0,676 ; a ~34�.
v0 =4,6 / sin (a) =8,2 m /s ;
Q.7. �tablir les �quations horaires x(t) et y(t) du mouvement lors du tir.
La position est une primitive de la vitesse.
x (t) = v0
� cos (a) t + C ; y
(t) = -�g�t2 + v0
� sin (a) t + D avec C et d des constantes.
x (t=0) =0= C ; y
(t=0) =h= D = 2,34 m.
x (t) = v0
� cos (a) t ; y
(t) = -�g�t2 + v0
� sin (a) t + h.
Q.8. En d�duire que l’�quation y(x) de la trajectoire s’�crit :
y(x) = -
��g�
x
2
/ (v
0 2 �cos
2(
a) )+ tan (a
)�x + h.
t =
x (t) /( v0
� cos (a)), repport dans y(t) :
y
(x) = -�g�x2 / (v0 2 �cos 2(a) ) + x
� tan (a) + h.
Q.9. Le gardien �tant situ� � 4,0 m du tireur, d�terminer si le � jet de 7 m�tres � �tudi�
permet de marquer un but. On consid�re que le gardien peut atteindre avec son bras lev�
une hauteur maximale de 2,8 m en plein saut.
y
(4) = -0,5 x 9,81x42 / (8,2 2 �cos 2(34) ) +4 x
� tan (34) + 2,34 = 3,3 m > 2,8 m.
Le ballon passe au dessus du gardien.
