Correctement calibr�, un syst�me
d’arrosage automatique de v�g�taux permet un arrosage homog�ne, � un
moment opportun et sans gaspillage d’eau. � cet effet, il peut �tre
d�clench� gr�ce � l’utilisation d’un d�tecteur
capacitif d’humidit� du sol.
L’objectif de cet exercice est d’�tudier une mod�lisation simple d’un
d�tecteur capacitif d’humidit� puis de
l’utiliser pour illustrer le principe d’une mesure de la teneur en eau
d’un sol.
Donn�es : le d�tecteur capacitif d’humidit� est mod�lis� par un
condensateur plan dont la
capacit� C varie en fonction de l’humidit� du sol ; le
condensateur est constitu� de deux plaques (ou armatures) m�talliques
de surface S s�par�es
d’une distance d plant�es dans un sol de permittivit�
e ;
on appelle � teneur en eau � le pourcentage volumique d’eau dans le sol
;
on pr�sente la courbe de la permittivit�
e d’un sol argileux en
fonction de sa teneur en eau :
1. Mod�lisation de la
charge du condensateur
Q1. Pr�voir
qualitativement le sens de variation de la capacit� C du d�tecteur
capacitif d’humidit� quand la
teneur en eau d’un sol argileux augmente.
La permittivit�
e
augmente avec la teneur en eau.
C =
eS / d : � S
et d constants, si
e
cro�t, alors la capacit� augmente.
Le condensateur de capacit� C, mod�lisant le d�tecteur, est branch� en
s�rie avec un g�n�rateur d�livrant
une tension constante E, un interrupteur K et un conducteur ohmique de
r�sistance R. Le circuit ainsi constitu�
est mod�lis� par un circuit de type RC repr�sent� ci-dessous :
� la date t = 0 s, le condensateur est d�charg� et on ferme
l’interrupteur. On souhaite �tablir l’expression de
la tension u
C (t) aux bornes du condensateur.
Q2. Montrer que la
tension aux bornes du condensateur ob�it � l’�quation diff�rentielle
ci-dessous. Exprimer
litt�ralement le temps caract�ristique
t du circuit en fonction de
R et de C.
t�
du
C
dt + u
C = E.
Additivit� des tensions : u
R(t) + u
C(t) = E.
uR(t)
=R i(t) avec i(t) = dq(t) / dt = C duC(t) /dt.
RC duC(t) /dt.+ uC(t) = E.
On pose t = RC.
t�
duC
dt + uC = E.
Q3. V�rifier que la
fonction u
C(t) = E � (1 – exp(-t /
t)) est solution de cette
�quation diff�rentielle et qu’elle satisfait
� la condition impos�e � la date t = 0 s.
duC
/dt = E / t exp(-t / t) ; t�
duC
dt =E exp(-t / t).
Repport dans l'�quation : E exp(-t / t)
+E �
(1 – exp(-t / t))
=E est v�rifi�e quelque soit le temps.
uC(t=0)
= E � (1 – exp(-0 / t))=E(1-1)
= 0 est �galement v�rifi�.
Q4. Montrer
que la valeur de u
C � l’instant τ est approximativement : u
C(
t) = 0,63 � E
uC(t) =E(1-exp(-1)) ~ E(1-0,37)
=0,63E.
2.
Mod�lisation de la mesure de la teneur en eau d’un sol argileux.
La mesure du temps caract�ristique du circuit RC permet d’acc�der
� la valeur de la teneur en eau du sol.
Cette mesure est r�alis�e � l’aide d’un microcontr�leur connect� au
circuit RC d�crit ci-dessus. Il permet entre
autres :
- de commander des alternances charge – d�charge du condensateur ;
- de mesurer la tension aux bornes du condensateur ;
- d’afficher, apr�s calcul, la valeur de la teneur en eau.
Pour d�terminer le temps caract�ristique du circuit RC, on enregistre
l’�volution temporelle de la tension aux
bornes du condensateur � l’aide du microcontr�leur ; celui-ci rel�ve 52
000 valeurs de la tension par seconde.
Pour que la mesure soit suffisamment pr�cise, on doit disposer d’au
moins 10 valeurs de tension aux bornes
du condensateur avant d’atteindre le temps caract�ristique du circuit
RC.
Q5. Montrer que le
temps caract�ristique
t du
circuit RC doit �tre au minimum de l’ordre de 200 �s.
10 /52 000 =1,9 10
-4 s ou environ 200 �s.
Le condensateur poss�de les caract�ristiques g�om�triques
suivantes : S = 1,0�10
–1 m
2 et d = 1,0�10
–2
m.
La valeur de la r�sistance R du circuit est R = 2,2�10
5 W.
Q6. � l’aide de la
contrainte sur le temps caract�ristique
t du circuit RC, d�terminer
la teneur minimale en eau
d’un sol argileux qu’il est possible de mesurer avec ce dispositif.
t =
2,2 10
5 x C
>
2 10-4
s.
C > 2 10-4 / (2,2 105)=9,1
10-10 F.
eS / d
>9,1 10-10 ; e >9,1 10-10 d / S
=9,1 10-10 x 10-2 / 0,1=9,1 10-11 F m-1.
