Physique chimie et math�matiques, bac STI2D m�tropole 2023. Viscosim�tre, ultrasons, conservation d'une boisson. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts. . .. . . . violentes intemp�ries . .. .. ...... ... Le viscosim�tre � chute de bille. 4 points  La viscosit� d’une huile, not�e h, est un param�tre exprim� en kg m-1 s -1 , dont la connaissance est essentielle pour toute utilisation de cette huile. Cet exercice propose un exemple de m�thode de mesure de la valeur de la viscosit� d’une huile de moteur Diesel du commerce. Pour r�aliser cette mesure, on utilise un � viscosim�tre � chute de bille �, constitu� d’une �prouvette remplie d’huile de moteur dans laquelle est l�ch�e une bille m�tallique sph�rique. On se place dans le r�f�rentiel terrestre suppos� galil�en et la bille est l�ch�e sans vitesse initiale depuis la position z = 0. Les forces exerc�es sur la bille m�tallique sont : - Le poids P =mg avec m =20,1 g. - La pouss�e d’Archim�de, not�e Pa , de m�me direction que le poids P et de sens oppos�. Sa valeur est Pa = rhuile V g, o� rhuile =840 kg m-3 est la masse volumique de l’huile, V=5,6 10-6 m3 le volume de la bille. - La force de frottement fluide exerc�e par l’huile sur la bille est not�e f . Elle est ici de m�me direction que le poids P et de sens oppos�. Sa valeur est donn�e par la relation f = 6 p h R v, o� v est la valeur de la vitesse de la bille, h est la viscosit� de l’huile et R =1,1 cm le rayon de la bille. Q1. Faire un sch�ma des forces s’appliquant sur la bille. Exprimer le poids de la bille en fonction de m et m puis calculer sa valeur. Calculer de m�me la valeur de la pouss�e d’Archim�de Pa et justifier que la bille d’acier tombe dans l’huile quand on la l�che en 𝑧 = 0 avec une vitesse initiale nulle. Q2. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, �tablir la relation liant le vecteur acc�l�ration , les forces s’exer�ant sur la bille et la masse m de cette bille. P = mg = 20,1 10-3 x9,81 =0,197 N. Pa = 840 x5,6 10-6 x9,81 =0,046 N. Initialement la force de frottement fluide est nulle ; de plus P > Pa : la bille tombe.    Q3. On note v la fonction d�finie sur [0 ; +∞[ comme la projection du vecteur vitesse v sur l’axe (Oz). Montrer que v v�rifie l’�quation diff�rentielle dv/dt = − 6phR / m v + g − rhuileV g / m . Sur l'axe Oz, la seconde loi de Newton s'�crit : m dv/dt = − 6phR v +m g − rhuileV g. Puis diviser par m. En explicitant les valeurs num�riques, on admet que v est solution de l’�quation diff�rentielle (E) suivante o� v(t) est exprim�e en m�s-1 et t en s : (E) : dv / dt = −6,8 v + 7,5. Q4. Au d�but de l’exp�rience, la bille est introduite dans l’�prouvette avec une vitesse nulle. D�montrer que la solution v de cette �quation sur [0 ; +∞[ v�rifiant cette condition initiale est d�finie par : v(t) = − 75 / 68 exp( −6,8 t )+ 75 / 68 . Solution g�n�rale de dv /dt +6,8 v = 0 : v(t) = A exp(-6,8t) avec A une constante. Solution particuli�re de (E): v(t) =7,5 /6,8 = 75 / 68. Solution g�n�rale de (E) : v(t) =A exp(-6,8t) +75 / 68. v(t=0) = 0, d'o� A = -75 /68. v(t) = − 75 / 68 exp( −6,8 t )+ 75 / 68 .  Q5. D�terminer la valeur exacte de la limite de v(t) en plus l'infini. En plus l'infini, le terme en exponentielle tend vers z�ro. vlim =75 /68 m /s.  Q6. On mesure exp�rimentalement une vitesse limite vlim = 1,1 m /s . On peut en d�duire la valeur de la viscosit� h par la relation suivante : h = (m-rhuile V ) g / (6 pRvlim). Calculer cette valeur et comparer le r�sultat � la valeur h = 0,66 kg m-1 s -1 fournie par le fabricant. h =(20,1 10-3-840 x5,6 10-6) x9,81 / (6 x3,14 x0,011x1,1)=0,66 kg m-1 s -1 . Aide au stationnement. Les constructeurs automobiles proposent depuis plusieurs ann�es des syst�mes d’aide au stationnement ou de stationnement automatique qui reposent sur l’utilisation de capteurs � ultrasons. Quelques caract�ristiques des ultrasons.  Q1. Parmi les propositions suivantes, indiquer sur votre copie celles qui sont exactes :  Affirmation A : les ondes ultrasonores sont des ondes �lectromagn�tiques. Faux.  Affirmation B : les ondes ultrasonores sont des ondes m�caniques.  Vrai. Affirmation C : les ondes ultrasonores peuvent se propager dans le vide. Faux.  Affirmation D : les ondes ultrasonores n�cessitent la pr�sence d’un milieu mat�riel pour se propager. Vrai.  Le document 1, repr�sente la tension mesur�e � l’oscilloscope par un d�tecteur recevant le signal �mis par un �metteur d’ultrasons : Q2. D�terminer la fr�quence f des ultrasons �mis, en kHz et expliquer pourquoi le signal produit par l’�metteur n’est pas audible. Donn�e : les ondes sonores audibles ont des fr�quences comprises entre 20Hz et 20 kHz. f = 1 / T = 1 /(25 10-6) =40 000 Hz = 40 kHz > 2 kHz non audible pour l'homme. Utilisation des ultrasons pour d�terminer une distance.  Le capteur � ultrasons utilis� dans le syst�me d’aide au stationnement est un capteur � combin� � qui contient un �metteur et un r�cepteur d’ondes ultrasonores. La distance entre le capteur et l’obstacle est d�duite de la dur�e qui s’�coule entre l’�mission d’une impulsion ultrasonore et la r�ception de son �cho par le capteur, connaissant la vitesse de propagation des ultrasons dans l’air. Une mod�lisation au laboratoire du capteur, � l’aide d’un �metteur et d’un r�cepteur � ultrasons ind�pendants, a permis d’obtenir la copie d’�cran d’oscilloscope suivante dans le cas d’un obstacle situ� � une distance de 10 cm. Q3. Indiquer, en donnant deux arguments, lequel des deux signaux (signal 1 ou signal 2) du document 3 est associ� � l’onde r�fl�chie. L'onde r�fl�chie (signal 2) est en retard sur l'onde incidente ( signal 1). Q4. Le capteur combin� ne peut fonctionner correctement en r�cepteur que lorsqu’il a fini de fonctionner en �metteur. Pr�ciser si la dur�e d’impulsion utilis�e dans l’exp�rience permettrait de d�tecter correctement un obstacle situ� � une distance de 10 cm. Dur�e impulsion : 800 �s. Dur�e pour parcourir 10 cm � la c�l�rit� v = 340 m /s : 0,1 / 340 =294 10-6 s = 294 �s < dur�e de l'limpulsion. La r�ception s'effectue alors que l'�mission n'est pas termin�e. Principe de fonctionnement d’un syst�me de stationnement automatique. 6 points.  Certains syst�mes embarqu�s effectuent automatiquement la manœuvre de stationnement du v�hicule, sans intervention du conducteur. Cela n’est possible qu’apr�s une phase de mesure qui permet de d�terminer si la taille de la place est compatible avec la manœuvre. Dimensions minimales de la place de stationnement : longueur : 5,1 m ; largeur : 2,2 m. Lors de la phase de mesure, la voiture est parall�le au trottoir et se d�place vers l’avant � vitesse constante le long de la place libre. On a r�alis� un dispositif mod�lisant ce syst�me gr�ce � un microcontr�leur et un �metteur-r�cepteur � ultrasons que l’on a fix� sur une voiture se d�pla�ant comme indiqu� sur le document suivant : Q5. Durant la phase 2 du mouvement de l’automobile indiqu�e sur le document, le capteur � ultrasons se trouve au niveau de la place disponible (entre les points B et C ). D�terminer la dur�e de la phase 2 du mouvement de la voiture et en d�duire la longueur de la place libre. Indiquer si celle-ci permet le stationnement de la voiture. Donn�e : la voiture se d�place � la vitesse v0 = 1,3 m.s-1 . Distance parcourue durant la phase 2 : 5,05 m. Dur�e : 5,05 / 1,3 =3,88 s.  La distance d indiqu�e sur le document 5 d�signe la distance lat�rale par rapport aux v�hicules d�j� stationn�s. Q6. Sachant que la vitesse de propagation des ondes ultrasonores dans l’air est c = 340 m�s-1 montrer que la valeur de la distance d est comprise entre 0,6 m et 0,7 m. Calculer la profondeur h de la place libre et indiquer si celle-ci permet le stationnement de la voiture. Dur�e de la phase 1 : t1=4 ms. distance aller + distance retour des ultrasons : 2d = c t1=340 x4 10-3=1,36 m; d = 1,36 / 2 =0,68 m. Dur�e de la phase 2 : t2=16 ms. distance aller + distance retour des ultrasons : 2h = c t2=340 x16 10-3=5,44 m; h= 5,44 /2 =2,72 m. Cette profondeur est suffisante pour garer la voiture. ... .... Math�matiques. 4 points. Question 1 Pour cette question, indiquer la lettre de la r�ponse exacte. Aucune justification n’est demand�e.  L’expression (e −3𝑥) 2�(e 2𝑥) −3 /(e 5𝑥�e 6𝑥) vaut : e-3x *e-3x / [(e 2𝑥) 3e5x+6x=e-6x/e17x = e-6x *e-17x =e-23x. R�ponse D. Question 2 Soit f la fonction d�finie sur R par f(x) = e 2𝑥 (– 3𝑥 + 1). On admet que la fonction f est d�rivable sur R et on note f 'sla fonction d�riv�e. Montrer que f '(x) = e 2𝑥 (−6𝑥 − 1). On pose u = e2x et v = 1-3x ; u' = 2e2x ; v' =-3 ; u'v+v'u=2(1-3x)e2x-3e2x=e2x(-1-6x). Question 3 On d�signe par i le nombre complexe de module 1 et d’argument p/ 2 . Mettre le nombre complexe z=3� + i sous forme exponentielle en d�taillant les calculs. Module de z : |z| =( 3+1)�=2. z / |z| = 3� / 2 +0,5i =cos (p/6) + i sin (p/6). z = 2 exp(ip/6). Question 4  R�soudre sur l’intervalle ]0 ; +∞[ l’�quation : 2  ln(𝑥) /(3 ln(10))– 2,88 = 4. 2  ln(𝑥) /(3 ln(10))=6,88. ln(x) / ln(10) = 6,88 *3 /2=10,32. ln(x) =10,32 ln(10 )= ln(1010,32) ; x=1010,32~2,089 1010. Exercice 4. 6 points Les boissons en randonn�e. Conservation d’une boisson chaude Dans la documentation fournie par un fabricant de bouteilles isothermes, on peut lire l’information suivante relative � un mod�le donn� : pour une temp�rature initiale de l’eau � 95 �C, la temp�rature vaut 82 �C au bout de 6 h et 73�C au bout de 12 h. On place 1,0 L d’eau � la temp�rature qi = 95 �C dans l’une de ces bouteilles isothermes. La temp�rature ext�rieure � la bouteille est q ext = 25 �C Q1. Exprimer la variation de l’�nergie interne, DU, de l’eau contenue dans la bouteille isotherme, au cours des 6 premi�res heures en fonction de : la masse de l’eau, meau, la capacit� thermique massique de l’eau, ceau, la temp�rature initiale de l’eau et la temp�rature de l’eau apr�s 6h.. Montrer que DU est voisine de 54 kJ.  Donn�es : - Capacit� thermique massique de l’eau : ceau = 4,18 kJ�kg-1 ��C-1 - Masse volumique de l’eau : reau = 1,0 kg L -1 ; - Temp�rature initiale qi = 95 �C ; - Temp�rature finale apr�s 6 h qf = 82 �C ; - Volume de l’eau V = 1 L. DU = meau ceau (qf -qi)=1 x 4,18 x(82-95)= -54,34 ~ -54 kJ.  Q2. D�finir le flux thermique � travers la paroi et montrer que le flux thermique moyen qui traverse la paroi de la bouteille au cours des 6 premi�res heures, Fmoyen, est voisin de 2,5 W. Fmoyen, = | DU| / Dt = 54,34 103 /(6 x3600)= 2,5 W. Au cours du refroidissement, le flux thermique entre l’eau et l’ext�rieur n’est pas constant. Il d�pend de la diff�rence de temp�rature Dq entre l’int�rieur et l’ext�rieur de la bouteille et de la r�sistance thermique Rth de ses parois : F = Dq / Rth. Q3. Choisir sans calcul, parmi les trois propositions suivantes, la valeur du flux thermique � l’instant initial et justifier ce choix : a.  3,6 W;  b.  = 2,5 W ; c.  1,8 W . Le flux est proportionnel � la diff�rence de temp�rature qui vaut 95-25 = 70�C au d�part. Seule la proposition a convient. En d�duire que la valeur de la r�sistance thermique Rth des parois de la bouteille isotherme est voisine de 19 K�W-1 . Rth = Dq / F = 70 / 3,6 =19,44 ~19 K�W-1 . Q4. Montrer que la paroi de la bouteille isotherme d’�paisseur e = 1,0 cm et de surface totale S = 0,098 m2 a une conductivit� thermique l = 0,0052 W�m-1 �K-1 . Donn�e : La relation liant la r�sistance thermique d’une paroi plane 𝑅th, � sa surface S en m2 , � son �paisseur e en m, et � la conductivit� thermique du mat�riau l en W�m-1 �K-1 est la suivante : Rth = e / (lS). l = e / (Rth S) =0,010 / (19 x0,098)=5,4 10-3W�m-1 �K-1 .  La documentation du fabricant indique que la bouteille est compos�e de 100 % d’acier inoxydable et qu’elle est munie de deux parois en inox s�par�es par un espace pratiquement vide. Q5. Expliquer, sans calcul, l’int�r�t du vide partiel entre les deux parois de la bouteille. Le vide partiel diminue fortement le transfert thermique par conduction.  Approvisionnement en eau : les pastilles de purification.  Il existe des comprim�s effervescents qui permettent de purifier l’eau. Le fabricant indique qu’il suffit d’ajouter un comprim� dans un litre d’eau non potable et d’attendre 30 minutes avant de la consommer. Un comprim� de masse 50 mg contient 3,5 mg de dichloroisocyanurate de sodium (not� NaDCC), de l’hydrog�nocarbonate de sodium et de l’acide adipique. Q6. D�terminer la valeur de la quantit� de mati�re n de NaDCC dans 1,0 L d’eau pr�par�e en suivant les recommandations pr�conis�es. Donn�e : masse molaire du NaDCC : MNaDCC = 219,95 g�mol-1 . n = m / M = 3,5 10-3 / 219,95=1,6 10-5 mol. Lorsque le comprim� entre en contact avec l’eau, une transformation chimique a lieu, produisant de l’acide hypochloreux de formule HOCl dont la mol�cule contient un �l�ment Chlore, Cl. Au cours de cette transformation chimique, une mole de NaDCC lib�re ainsi deux moles d’�l�ment chlore. Q7. Calculer la masse d’�l�ment chlore Cl qui se trouve dans 1,0 L d’eau � l’issue de son traitement � l’aide de la pastille effervescente. Donn�e : masse molaire du chlore M(Cl) = 35,5 g�mol-1 . n(Cl )= 2 x1,6 10-5 =3,2 10-5 mol. Masse d'�l�ment chlore : 3,2 10-5 x 35,5=1,1 10-3 g = 1,1 mg dans 1 L. Il est recommand�, en France, de maintenir une teneur de chlore libre aux alentours de 0,1 mg/L.. L’OMS recommande une valeur maximale de chlore libre dans l’eau potable de 5 mg/L. Q8. Pr�ciser si l’eau purifi�e avec un comprim� est potable. 0,1 < 1,1 < 5 mg/L : l'eau purifi�e est potable.

menu