Pour �viter qu’ils ne se fassent
�craser en passant sur la route qui traverse cette zone de migration,
un
dispositif a �t� install� : des barri�res en bois, suffisamment hautes
pour emp�cher le saut sur la route, sont
plac�es de chaque c�t�, obligeant les amphibiens � emprunter des
passages souterrains appel�s
� crapauducs �.
Dans cet exercice, on se propose d’�tudier le mouvement lors d’un saut
d’un crapaud Bufo bufo de fa�on �
d�terminer la hauteur minimale des barri�res de protection le long
d’une route.
Le syst�me consid�r� est un crapaud dont on �tudie le mouvement du
centre de masse, not� G. Le champ
de pesanteur terrestre local est consid�r� uniforme et les frottements li�s � l’action de l’air
sont suppos�s
n�gligeables face au poids.
Donn�es : intensit� de la pesanteur terrestre : g = 9,81 m�s
−2 ; taille moyenne d’un crapaud Bufo bufo : 10 cm.
Le mouvement du centre de masse G du crapaud est �tudi� dans le
r�f�rentiel terrestre suppos� galil�en et
muni du syst�me d’axes (Ox, Oz), respectivement horizontal muni du
vecteur unitaire iet vertical muni du
vecteur unitaire j (voir figure 1).
� la date t = 0 s, le centre de masse G est plac� � l’origine du rep�re O et son vecteur vitesse initiale, not�
v
0 a une direction faisant un angle
a avec l’axe horizontal (Ox).
Q1. �tablir les expressions litt�rales des composantes a
x et a
z du vecteur acc�l�ration du centre de masse
du crapaud suivant les axes Ox et Oz.
Le crapaud n'est soumis qu'� son poids : la chute est libre. La seconde loi de Newton conduit � : a
x = 0 et a
z = -g.
Q2. �tablir les expressions litt�rales des composantes v
x(t) et v
z(t) du vecteur vitesse du centre de masse
du crapaud suivant les axes Ox et Oz.
La vitesse est une primitive de l'acc�l�ration : v
x = A et v
z = -gt +B. A et B sont des constantes.
v
x(0)= A = v
0 cos
a.
vz(0)= A = v0 sin a.
Q3. Montrer que les expressions litt�rales des �quations horaires x(t) et z(t) de la position du centre de
masse G du crapaud au cours de son mouvement s’�crivent :
x(t) =
v0 cos a)t
; z(t) = – � �g�t
2
+
v0 sin a�t
.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est
l'origine du rep�re ( les constantes d'int�grations seront nulles).
x(t) = v0 cos a t
; z(t) = – � �g�t
2
+ v0 sin a�t
.
Q4. �tablir l’expression de la dur�e du saut du crapaud, not�e t
saut, en fonction de v
0, g, et
α.
z(t) =0= – � �g�tsaut
2
+ v0 sin a�tsaut
.
tsaut = 0 correspond � la position de d�part.
– � �g�tsaut
+ v0 sin a�=0 ; tsaut = 2v0 sin a / g.
Q5. En utilisant l’expression de x(t) et l’expression de t
saut obtenue � la r�ponse � la question Q4, montrer que
la vitesse v
0 permettant au crapaud d’effectuer un saut de longueur d est donn�e par la relation :
v
0 = [ g�d
/(2 sin(
a)�cos(
α))]
�.
d = v0 cos a tsaut = 2v02 cos a sin a / g.
v02 = g�d
/(2 sin(a)�cos(α)).
Q6. Sachant que les crapauds les plus puissants peuvent faire des sauts d’une longueur �gale � 20 fois leur
taille, calculer la valeur de v
0 qu’ils atteignent pour un angle
a = 45�.
d=20 x 0,10=2,0 m.
v02 = 9,81 x2,0
/(2sin 45 cos 45)= 19,62 ; v0=4,43 ~4,4 m /s.
La hauteur maximale z
max d’un saut est obtenue lorsque ce saut est vertical ; l’angle
a vaut alors 90�, la
vitesse initiale est toujours not�e v
0.
Q7. �tablir que la hauteur maximale d’un saut a pour expression litt�rale :
z
max =
v02 / (2g).
Travail du poids n�gatif en mont�e : W = -mgzmax.
Th�or�me de l'�nergie cin�tique : 0 -�mv02 = -mgzmax.
zmax = v02 / (2g).
Q8. En d�duire la valeur de la hauteur de barri�re minimale, not�e H, qui permet d’arr�ter les crapauds
les plus puissants, capables de sauter verticalement avec une vitesse initiale v
0 de valeur calcul�e � la
question Q6.
zmax = 4,43
2 /(2 x9,81)=1,0 m.
H = 1,0 -0,05 = 0,95 m.
Q9. Les barri�res mesurent en r�alit� 50 � 60 cm de hauteur. Donner un argument permettant d’expliquer
pourquoi on choisit d’installer des barri�res d’une hauteur inf�rieure � H.
Le crapaud ne saute pas verticalement mais avec un angle de 45�.
