Probabilités, Bac Amérique du sud 2023.

1. Entre 1998 et 2020, en France 18 221 965 accouchements ont été recensés, parmi lesquels
293 898 ont donné naissance à des jumeaux et 4 921 ont donné naissance à au moins trois enfants.
a. Avec une précision de 0,1% calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
293 898 / 18 221 965 x100=1,61 %.
b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à 0,1%.
On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
4921 / 18 221 965 x100=0,027 %.
On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.
On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à 0,984 et celle d’un accouchement double est alors égale à 0,016.
Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.
2. On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise n accouchements.
On considère que ces n accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
a. Dans le cas où n = 20, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
Les acouchements sont des événements indépendants ; la probabilité d'avoir une naissance est égale à 0,016. X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 ; p = 0,016.
P(X =1) = 20 x0,016 x(1-0,016)¹⁹ ~0,236.
b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de n telle que p(X >1)>0,99.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
p(X >1)=1- p(X=0) =1-0,984ⁿ x0,016⁰ = 1-0,984ⁿ > 0,99.
0,01 > 0,984ⁿ ; ln (0,01) > n ln(0,984) ; n > ln(0,01) / ln(0,984) ; n > 286.
Sur 286 accouchement, il y a en moyenne un accouchement double.
3. Dans cette maternité, parmi les naissances double, on estime qu’il y a 30%de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc 70% de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à 0,49 et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à 0,51.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
• M : « les jumeaux sont monozygotes »;
• F1 : « le premier nouveau-né est une fille »;
• F2 : « le second nouveau-né est une fille ».
a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

b. Montrer que la probabilité que les deux nouveaux-nés soient des filles est 0,315 07.
Première branche et troisième branche de l'arbre :
p(F₁ n F₂) =0,3 x1 x0,49 + 0,7 x 0,49 x0,49 = 0,315 07.
c. Les deux nouveaux-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
p _{F1 n F2}(M) =p(M n (F1 nF2)) / p(F₁ n F₂) =0,3 x1 x0,49 / 0,315 07~0,467.