Mathématiques,  BTS 2023 groupement D. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts. . . . . . . .. .. ...... ... Exercice 1. 10 points Les deux parties de l’exercice peuvent être traitées indépendamment Afin de vérifier la bonne isolation thermique d’un spa, on porte la température de l’eau, du spa à 38 °C puis on coupe l’alimentation électrique du spa qui sert à chauffer l’eau. On s’intéresse a l’évolution de cette température en fonction du temps écoulé à partir de cette coupure. La température de l’eau du spa est modélisée par une fonction f qui, à tout temps t (en heures) écoulé depuis la coupure de l’alimentation électrique, associe la température f (t ), en degré Celsius (°C), de l’eau du spa au temps t .  On admet que f (0) = 38. Lors de cette vérification, la température ambiante extérieure au spa reste constante et égale à 25 °C. On remarque que la température de l’eau du spa est de 37 °C au bout de 1,5 h. Partie A. On a tracé la représentation graphique C de la fonction f dans un repère orthogonal. On utilisera cette représentation graphique pour répondre aux questions de cette partie. 1. Donner la valeur arrondie, au degré Celsius, de la température de l’eau du spa 22 heures après la coupure de l’alimentation électrique. Faire apparaître les traits de construction correspondants sur le graphique 2. La température de l’eau du spa descend-elle en-dessous de 27 ° C ? Si oui, combien de temps après la coupure de l’alimentation électrique ? Au bout de 37 heures, la température est inférieure à 27 °C. 3. On admet que la vitesse instantanée de variation de la température de l’eau du spa, exprimée en degrés Celsius par heure (°C/h), à un temps donné t0, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe C au point d’abscisse t0. Pour chacune des deux propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. a. Proposition A : « toutes les heures, la température de l’eau du spa baisse du même nombre de degrés Celsius. » Faux, les tangentes à la courbe C sont de moins en moins inclinées sur l'horizontale. b. Proposition B : « la vitesse instantanée de variation de la température de l’eau du spa au temps t0 =15 h est environ égale à −1 ° C/h. » Faux. Partie B. On admet que, pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[, f (t ) =13e−0,05t +25. 1. Calculer la valeur arrondie à 10−1 de f (24). Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice. f(24)=13 exp(-0,05*24)+25 ~28,9°C. Au bout de 24 heures, la température de l'eau est égale à 28,9°C. 2. a. Pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[, déterminer une expression de f ′(t ). f '(t)= -13 x0,05 exp(-0,05t) = -0,65 exp(-0,05t). b. En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[. Ce sens de variation paraît-il cohérent avec le contexte de l’exercice ? Argumenter. exp(-0,05t) > 0 ; f '(t) < 0 ; f(t) strictement décroissante. Après coupure du chauffage, la température décroît jusqu'à 25 °C. 3. a. Déterminer la limite de la fonction f en +∞. b. Interpréter la valeur de cette limite dans le contexte de l’exercice. Le terme en exponentielle tend vers zéro et f(t) tend vers 25 °C. Au bout d'un temps assez long, l'eau atteint la température de l'air ambiant. 4. Une alarme sonore est émise quand la température de l’eau du spa devient strictement inférieure à une température programmée par l’utilisateur. a. L’utilisateur programme la température de l’eau du spa à 36 °C. Déterminer, par le calcul, combien de temps après la coupure de l’alimentation électrique cette alarme sonore retentira. On donnera la valeur exacte de cette durée, puis la valeur arrondie à la minute. 13 exp(-0,05 t) +25 = 36 ; exp(-0,05t) =(36-25) /13 =0,846. -0,05 t = ln((36-25) /13)  ; t = ln((36-25) /13) /0,05 ~3,34 h ou 3 h 20 min. b. Quelle est la valeur numérique affichée par l’algorithme ci-dessous ? H ←0 T ←38 Tant que T >34 H ←H +1 T ←13e−0,05H +25 Fin du tant que Afficher H. c. Expliquer ce que cet algorithme permet de déterminer dans le contexte de l’exercice. Cet algorithme calcule la durée ( en heure) au bout de laquelle la température de l'eau atteint 34°C. Au bout de 7 h, T = 34,1°C. Au bout de 8 heures, T = 33,7 °C. . . .... Exercice 2 10 points Les trois parties de cet exercice sont indépendantes Une minoterie (établissement qui fabrique des farines de céréales) reçoit chaque jour des camions de blé. Ce blé est destiné à être transformé en farine. La farine fabriquée est ensuite vendue à des boulangers industriels ou à des artisans boulangers. Partie A. Dans la minoterie, on procède à deux contrôles qualité à l’arrivée d’une livraison de blé : l’un sur l’extensibilité d’une pâte obtenue à partir de la farine fabriquée avec un échantillon du blé livré, l’autre sur le taux d’humidité du blé livré. 1. Un technicien broie une quantité de blé représentatif d’une livraison. Il obtient une farine, avec laquelle il fabrique cinq échantillons de quantité identique de pâte. Il mesure l’indice d’extensibilité, en mm, de chacun de ces échantillons. Voici les résultats obtenus : Echantillon 1 2 3 4 5 indice d'extensibilité ( mm) 104 81 83 57 55 a. Donner la moyenne x de cette série et son écart-type arrondi au centième. (104 +81 +83 +57 +55) /5 = 76 mm b. Dans cette question, on considère que l’écart-type de la série est s= 18 mm. Le processus qualité impose de procéder à un test sur cinq nouveaux échantillons de pâte si l’une des cinq valeurs de la série précédente est en dehors de l’intervalle [xmoyen-2s ; xmoyen +2s]. Vérifier que le technicien n’a pas besoin de procéder à un test sur cinq nouveaux échantillons de pâte. [xmoyen-2s ; xmoyen +2s] = [76-36 ; 76 +36] =[40 ; 112]. Les 5 valeurs appartiennent à cet intervalle. Donc pas de nouveau test. 2. Deux camions, en provenance d’une même exploitation agricole, sont arrivés. Le technicien utilise un humidimètre qui indique le taux d’humidité,mesuré en pourcentage, du blé livré dans chaque camion : - le premier contient 29 540 kg de blé présentant un taux d’humidité global de 12,4%; - le second contient 14 540 kg de blé présentant un taux d’humidité global de 14,1%. Le cahier des charges exige un taux d’humidité inférieur à 13% dans un même silo. Lors du déchargement des deux camions dans unmême silo, les blés seront mélangés. Montrer que le technicien peut autoriser le déchargement des deux camions dans un même silo vide. 29 450 x0,124=3651,8 kg d'eau. 14 540 x 0,141=2050,14 kg d'eau. Total blé : 43 990 kg. Total eau : 5701,64 kg soit : 5701,64 / 43 990 x100=12,96 % < 13%. Partie B. La farine fabriquée par la minoterie est conditionnée dans des sacs destinés à être vendus aux boulangers. On note X la variable aléatoire qui, à chaque sac de farine, associe son poids en kg. On admet farine que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 25,2 kg et d’écart-type 0,1. On prélève un sac au hasard dans la production. 1. Un sac ne peut pas être vendu s’il a une masse inférieure à 25 kg. Quelle est la probabilité, à 10−3 près, pour que ce sac ait une masse inférieure à 25 kg ? P(X <25) = 0,023. 2. a. Donner un réel h tel que : P(25,2−h < X < 25,2+h) ≈ 0,95 à 10−2 près. h = 1,96 s=1,96 x0,1=0,196. b. On a tracé ci-dessous la représentation graphique d’une fonction de densité Expliquer pourquoi cette représentation ne peut pas être celle de la fonction de densité de la variable aléatoire X. La moyenne lue sur la courbe vaut 22,8 kg, différent de 25,2 Partie C. Un commercial de la minoterie présente à ses clients une nouvelle farine appelée La Romaine. On dispose des données suivantes : • 70% des clients de la minoterie sont des artisans boulangers, les autres sont des boulangers industriels; • parmi les artisans boulangers, 38% acceptent de tester la farine La Romaine ; • parmi les boulangers industriels, 25% acceptent de tester la farine La Romaine. On choisit un client de laminoterie au hasard. On note A l’évènement « le client est un artisan boulanger » et T l’évènement « le client accepte de tester la farine La Romaine ». 1. Représenter la situation décrite par un arbre pondéré. 2. a. Calculer la probabilité de l’évènement « le client est un artisan boulanger et il accepte de tester la farine La Romaine ». b. Montrer que la probabilité de l’évènement « le client accepte de tester la farine La Romaine »est égale à 0,341. 3. Un client ayant testé la farine La Romaine reprend contact avec le commercial de la minoterie. Quelle est la probabilité, arrondie à 10−3, que ce soit un artisan boulanger ? PT(A) = P(T n A) / P(T) = 0,266 / 0,341 =0,717. On choisit au hasard 200 clients de la minoterie. Les clients de la minoterie sont suffisamment nombreux pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. On note Y la variable aléatoire qui, à un échantillon de 200 clients, associe le nombre de clients qui ont testé la farine La Romaine. On admet que la variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et p, avec n = 200 et p = 0,341. a. Quelle est la probabilité, arrondie à 10−3, qu’au plus 60 des 200 clients choisis aient testé la farine La Romaine ? P(Y < 60)=0,125. b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire Y et interpréter dans le contexte de l’exercice. np = 200 x 0,341 =68,2. En moyenne, 68 clients testent la farine la romaine.

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