Math�matiques, concours Police Technique et Scientifique 2022.

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Question 1 : (2 points)
On suppose a r�el strictement n�gatif : la fonction f(x) = 1 / (1 + a e-x) est
A. d�finie sur R
B. n’est pas d�finie en x=−ln(−a)
C. n’est pas d�finie en x=−ln(1/a) Vrai
D. n’est pas d�finie en x=ln(−a)
Le d�nominateur doit �tre diff�rent de z�ro.
e-x > 0 ; a e-x < 0 ;  e-x doit �tre diff�rent de -1 / a.
-x doit �tre diff�rent de ln(-1 /a) ; x doit �tre diff�rent de ln(a).

Question 2 : (2 points)
On suppose a strictement n�gatif : le nombre de droites asymptotes � la courbe repr�sentative de f est
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0.

Si a diff�re de -1: quand x tend vers plus l'infini; e-x tend vers z�ro et f(x) tend vers 1. La droite d'�quation y = 1 est asymptote.
Quand x tend vers moins l'infini; e-x tend vers plus l'infini et f(x) tend vers 0. La droite d'�quation y = 0 est asymptote.
Si a = -1 : en plus des asymptotes pr�c�dentes, la droite d'�quation x = 0 est asymptote.

Question 3 : (2 points)
On suppose a strictement positif :
A. La fonction f est d�croissante sur R
B. La fonction f est croissante sur R. Vrai.
C. La fonction f n’est pas monotone sur R
D. La fonction f prend des valeurs n�gatives sur R.
f '(x)= ae-x /(1+ae-x)2 < 0 ; f(x) est strictement croissante sur R allant de z�ro � 1.

Question 4 : (2 points)
La fonction f est solution de l’�quation diff�rentielle
A. y ’= y (1−y ) vrai.
B. y ’= y (1+ y)
C. y ’=−y+ y �
D. y ’=−y
f '(x)= ae-x /(1+ae-x)2 = (1+ae-x -1) / (1+ae-x)2 = 1 /(1+ae-x)-1 /(1+ae-x)2= f(x) -f(x)2=f(x) (1-f'x).

Question 5 : (2 points)
Quelle est la valeur de a pour que f (0) vaille la moiti� de la valeur de la limite de f en +oo ?
A. a=0
B. a=1 vrai.
C. a=12
D. a=−1
En plus l'infini, e-x tend vers z�ro et f(x) tend vers 1.
f(0) = 1 / (1+a) = � ; 1+a = 2 ; a = 1.

Question 6 : (2 points)
Parmi les expressions suivantes, laquelle d�signe une autre expression de f (x) ?
A. ex / (1+aex) ; B. e-x / (a+e-x) ; C. ex / (a+ex) vrai ; D. B. e-x / (1+ae-x).
f(x)=1 / (1+ae-x) =ex / [ex(1+ae-x)]=ex / [ex+a].

Question 7 : (2 points)
Une expression d’une primitive de f est donn�e par
A. x+a
B. ln(1+ae-x)
On d�rive : -ae-x / (1+ae-x)=
C. ln(e−x+a)
 On d�rive : -e-x / (e−x+a) = -1/ (1+aex)
D. ln(ex+a). Vrai.
On d�rive : ex / (ex+a) = 1 / (1+ae-x).

Dans toutes les questions 8 � 12, on suppose a>0.

On note g ’ , la fonction d�riv�e de la fonction g . Une expression de g ’(x ) est
A. a e-x /(1+a) vrai
B.−a e−x / (1+a)
(1+a)
C.1−a e−x / (1+a)
D.(x−a e−x )/ (1+a)

Question 9 : (2 points)
La fonction g est solution de l’�quation diff�rentielle
A. y ’= y
B. y ’=−y
C. y ’= y+1
D. y ’=−y+1 vrai
g' = a e-x /(1+a) ; -g = -1+ae-x/(1+a) ; -g+1=ae-x/(1+a)= g'.

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 Question 10 : (2 points)
On d�finit la suite (vn)n entier naturel par vn=g (n)
A. La suite (vn) n’est pas g�om�trique vrai
B. La suite (vn) est g�om�trique de raison 1/e
C. La suite (vn) est g�om�trique de raison -a/(1+a)
D. La suite(vn) est g�om�trique de raison -1.
vn =1-ae-n / (1+a).
vn+1 =1-ae-(n+1) / (1+a)=1-ae-n e-1 / (1+a)=1-ae-n  / [e(1+a)]= 1-vn / e.

Question 11 : (2 points)
On peut exprimer h(a) sous la forme
A. (2a+1 – a e−1) / (a+1).
B. (1+ae) /(1+a)
C. (1+ae−1) / (1+a) vrai
D. (1 – ae−1) / (1+a).



Question 12 : (2 points)
La limite de la fonction h lorsque a tend vers +∞
A. vaut 0
B. vaut 1
C. vaut 1/e vrai
D. n’existe pas.
(a+e) / (e+ae) =(1+e /a) / (e / a +e) tend vers 1/ e si a tend vers plus l'infini.

Question 13 : (2 points)
Soit u une suite g�om�trique telle que u4=8 et u6=4 alors
A. u10=−4
B. u10=1 vrai
C. u10=2
D. u10=18.
u5 = qu4 ; u6 = q2u4 ; 4 = 8q2 ; q=1/2� = 2-�.
u7 = q3u4 ; u8 = q4u4 ; u9 = q5u4 ; u10 = q6u4 =8 x1 /8=1.

Question 14 : (2 points)
On pose S=1 – 2+4 – 8+...+1024−2048 . On a
A. S=−1365 vrai
B. S=−1029
C. S=−12 282
D. S=−4095.
S = 1 +4 +16 +...+1024 -(2+8+...+2048).
1 +4 +16 +64 +256 +1024  : somme des 6 premiers  termes d'une suite g�om�trique de raison 4 et de premier terme 1.
1 +4 +16 +64 +256 +1024=1365.
2+8+32+128+512+2048 : somme des 6 premiers  termes d'une suite g�om�trique de raison 4 et de premier terme 2.
2+8+32+128+512+2048=2730
S =1365-2730=-1365.

Question 15 : (2 points)
La suite (cn) n entier naturel d�finie par cn=5n – 7n.
A. a pour limite +∞
B. a pour limite 0
C. a pour limite −∞ vrai
D. n’a pas de limite.
7n((5 / 7)n-1) ; (5 / 7)n tend vers z�ro si n tend vers plus l'infini.
Cn tend vers -7n .

On consid�re la situation suivante : on �tudie la production d’une usine qui fabrique des m�dicaments, conditionn�s en sachets. On choisit un sachet au hasard dans la production journali�re. La masse de ce sachet, exprim�e en grammes, est mod�lis�e par une variable al�atoire X qui suit une loi normale d’esp�rance μ=355 . De plus, une observation statistique a montr� que 3 % des sachets ont une masse inf�rieure ou �gale � 350 g , ce qui se traduit dans le mod�le consid�r� par : P(X<350)=0,03 .
Question 16 : (2 points)
Quelle est la probabilit�, arrondie au centi�me, de l’�v�nement � la masse du sachet est comprise entre 350 et 360 grammes � ?
A. 0,06
B. 0,94 vrai
C. 0,97
D. On ne peut pas r�pondre car il manque des donn�es.


Question 17 : (2 points)
La dur�e de vie de fonctionnement, exprim�e en jours, d’une machine servant � la fabrication des m�dicaments, est mod�lis�e par une variable al�atoire Y qui suit la loi exponentielle dont l’esp�rance est �gale � 800 jours. Quelle est la probabilit�, arrondie au centi�me, que la dur�e de
fonctionnement de la machine soit inf�rieure ou �gale � 500 jours ?
A. 0,46 vrai
B. 0,54
C. 1
D. On ne peut pas r�pondre car il manque des donn�es.
l = 1/800  ; P(Y < 500) =1-exp(-500 / 800) ~0,46.

Question 18 : (2 points)
L’entreprise a d�termin� que 2/3 des pharmacies sont satisfaites de ses m�dicaments, au niveau de confiance de 95 %, avec un intervalle d’amplitude inf�rieure � 0,05. Quel est le nombre minimal de pharmacies qu’elle a d� interroger pour obtenir ce r�sultat ?
A. 37
B. 1366 vrai
C. 342
D. 19
amplitude de l'intervalle de confiance = 2 / n� =0, 05  soit 1 / n�  = 0,025 ; n ~1600.

  
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