Mathématiques, concours Police Technique et Scientifique 2022. ( zone Sud Est)

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Question 1 :  Soit (un) une suite géométrique de raison 3 et de premier terme u0 = 21.
La somme S= u0+u1+u2+…+u5 est égale à
A. 6542 ; B. 2541 ; C. 7644. Vrai
S = u0 (1-q6) / (1-q) =21 (1-36) /(1-3) =7644.

Question 2 : Soit pour tout x de R, f(x) = ln(x2+1)-x , alors :
A) f est croissante sur R
B) La limite de f en plus l'infini est  plus l'infini.
C) La limite de f en moins l'infini est  plus l'infini. Vrai
f '(x) =2x / (x2+1) -1=(2x-x2-1) /
(x2+1) = -(x-1)2 / (x2+1) < 0 et f(x) décroissante.
f(x) = ln [x2(1+1 /x2)] -x =ln(x2) +ln(1+1 /x2) -x =2 ln(x)+ln(1+1 /x2) -x.
f(x) = x[ 2 ln(x) / x +1 /x
ln(1+1 /x2) -1]
En plus l'infini : ln(x) / x tend vers zéro par croissance comparée ;
ln(1+1 /x2) tend vers zéro.
f(x) tend vers -1 /x soit moins l'infini.


Question 3 : En moins l'infini, la limite de exp(1-1 /x) est égale à :
A) 0 ; B) -oo ; C)  e vrai.
En moins l'infini, -1 /x tend vers zéro.

Question 4 : L’équation différentielle y’=2y+3 a pour solutions les fonctions définies sur R par :
A) y(x) =C e2x.
B)
y(x) =C e2x -1,5. Vrai
C)
y(x) =C e2x +3. C est un réel.
Solution générale de y' -2y =0 : y(x) =
C e2x.
Solution particulière de
y’-2y =3.
y = -3 / 2
Solution générale de
y’=2y+3 : y(x) =C e2x -1,5.

Question 5 : La dérivée de la fonction f définie par f(x) = ex /x est :
A) -ex / x2.
B)
(x-1)ex / x2. Vrai.
C) x
ex / (x-1).
On pose u=ex et v = x ; u' = ex ; v' = 1.
(u'v-v'u) / v2 =(xex-ex) / x2.

Question 6 : L’écriture simplifiée de A= ln ( 3-5½) + ln ( 3+5½) est :

A) ln(4) vrai
B) ln(3) / 5½.
C) ln(6).
A = ln[(
3-5½)(3+5½)] =ln(32-5)=ln(4).

Question 7 : 1 / e-2x est égal à :
A) e-2 *ex ; B) e2x vrai; C) ex /e2.


Question 8. Une primitive de la fonction f définie par f(x)=e3 x+1 sur R est :
A) e3x+1 / (3x) ;  B)
e3x+1 /  3 vrai; C) 3e3x+1 .

Question 9 : La dérivée de la fonction f définie par f(x)=ln(3 x2+5) est :
A) 3x /
(3 x2+5) ; B) (3 x2+5) ; C) 6x / (3 x2+5) vrai.

Question 10. Le nombre des effectifs d’un commissariat à la fin de l’année 2021+n est égal à
350-75×(2/3)n. À long terme, combien le commissariat comptera-t-il d’effectifs ?
A) 350 vrai; B) 700 ; C) 0.
(2/3)n tend vers zéro si n devient grand ; 75×(2/3)n va tendre vers zéro.

Exercice1 : (2,5 points)
Un sac opaque contient des munitions de différents calibres :
- Cinq munitions de calibre 7 mm
- Deux munitions de calibre 9 mm
- Une munition de calibre 11 mm
On extrait successivement et sans remise deux munitions.
On veut déterminer la probabilité d’extraire deux munitions de même calibre.
1. Représenter sur un arbre tous les possibles en indiquant sur les branches correspondantes la probabilité d’extraire deux munitions de chaque tirage lors des deux tirages.
1. En déduire la probabilité d’avoir le couple (7mm, 7mm), (9mm, 9mm), (11mm, 11mm).
2. En déduire la probabilité d’extraire deux munitions de même calibre.


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Exercice 2 : (2,5 points)
Donner la définition du point moyen d’un nuage de points représentant une série statistique à deux variables dans un repère orthogonal.
Le point G de cordonnées xmoyen, ymoyen) où
xmoyen et ymoyen sont les moyennes respectives des xi et des yi est appelé point moyen du nuage de points associé à la série statistique ( xi, yi).
Exercice 3 : (2 points)
Caculer l'intégrale suivante :
on pose u = 5x4 +2 ; u' = 20 x3.
x3 / (5x4+2) = 1 / 20 u' / u ; primitive 1 / 20 ln (u).

Exercice 4 : (3 points)
On considère une suite (un) définie sur ℕ par :
u0=6
un+1= 1/3un+2
On pose vn= un -3
1/ a- Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme v0.
vn+1= un+1 -3=1/3un+2 -3 =1/3un-1=1 /3 ( un-3)=1 / 3 vn.
(vn) est une suite géométrique de raison 1 / 3 et de premier terme v0 = 3.
b- Exprimer vn puis un en fonction de n.
vn = 3 x (1 / 3)n =
un -3 ; un = 3+3 x (1 / 3)n =3 ( 1+(1 / 3)n ).
c.  En déduire les limites de (un) et (vn) en plus l'infini.
(1 / 3)n tend vers zéro si n tend vers plus l'infini.
vn tend vers zéro et un tend vers 3.

2/ Pour tout n Є ℕ, on pose Sn = v0+v1+v2+…+vn .
Déterminer la limite de Sn en plus l'infini.
Sn = v0 (1-qn+1) / (1-q).
qn+1 = (1 /3)n+1 tend vers zéro si n est grand.
Sn tend vers v0 /(1-q) = 3 / (1-1/3) = 3 / (2/3) = 9 /2.




  
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