Physique, concours G2E ( G�ologie, Eau, Environnement )2022.

A. Ascension et chute d'un sac de sable.
Une grue soul�ve verticalement un sac de sable de masse m = 200 kg sur une hauteur h = 10 m. On n�glige les frottements de l’air et on choisira un axe vertical (Oz) ascendant, l’origine O �tant au niveau du sol. On donne l’acc�l�ration de la pesanteur g = 9,8 m.s⁻².
1.Calculer le travail du poids au cours de l’ascension et commenter son signe.
Travail r�sistant du poids en mont�e : W = -m g h = -200 x9,8 x10 = -1,96 10⁴ ~ -2,0 10⁴ J.
2. Arriv� � la hauteur h, le c�ble de la grue se rompt. Le sac tombe alors en chute libre avec une vitesse initiale suppos�e nulle. A l’aide du th�or�me de l’�nergie cin�tique, d�terminer lavitesse v₀ du sac assimil� � un point mat�riel juste avant que celui-ci touche le sol. Faire l’application num�rique.
Travail moteur du poids en descente = m g h.
�mv₀²-0= mgh ; v₀²=2gh ; v₀ = (2gh)^� =(2 x 10 x9,8)^� =14 m /s.
3. D�terminer la loi horaire de la vitesse v(t) du sac et en d�duire l’expression de la dur�e de la chute libre puis sa valeur num�rique.
Selon l'axe vertical ascendant : acc�l�ration : a = -g ;
vitesse v(t) = -gt ( la vitesse initiale �tant nulle).
t = |v| / g = 14 /9,8~1,4 s.

B. Mouvement pendulaire d’un sac de sable.
Un sac de sable de masse m = 200 kg utilis� pour la construction de la maison, assimil� � un point mat�riel M, est d�plac� par une grue gr�ce � un treuil (voir sch�ma ci-dessous). On n�glige la masse du c�ble et les frottements de l’air et on suppose que le syst�me se comporte comme un pendule simple de longueur variable, le c�ble �tant enroul� sur le treuil � vitesse constante. La longueur L du c�ble varie selon l’�quation horaire : L(t) =L₀ + kt. k< 0 correspond au cas o� le sac remonte, k >0 correspond au cas o� le sac descend. On se place dans une base polaire d’origine O. On souhaite �tablir l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par q(𝑡) et commenter la solution obtenue par analyse num�rique.
4. Donner les expressions des vecteurs position, vitesse et acc�l�ration dans la base choisie en fonction de 𝑘, L(𝑡), q et q'.
5. Reproduire le sch�ma ci-dessus et y indiquer les forces s’exer�ant sur 𝑀.
6. Exprimer la tension du c�ble en fonction de m, g, L(𝑡), q et q'

7. Dans le cadre de petits mouvements (q << 1), montrer que l’�quation diff�rentielle v�rifi�e par q(𝑡) se pr�sente sous la forme canonique suivante :
q" +2k / L(t)q' + g/L(t)q=0.
sin q ~q radian ;
-g q = L q" +2kq' ; q" +2k / Lq' +g / L q= 0.

On donne ci-dessous l’allure de la courbe q(𝑡), obtenue apr�s r�solution num�rique de l’�quation diff�rentielle pr�c�dente pour 𝑘= −1 𝑚.𝑠⁻¹ (remont�e du sac de sable), q₀ = 15�, L₀ = 20 𝑚.

8. Calculer la tension du c�ble � 𝑡=0 𝑠.
T = mg cos q₀ -L₀ q'² avec q'(t=0) = 0, la courbe pr�sentant un maximum.
T = 200 x9,8 x cos15=1,9 10³ N.
9. A quel instant la tension du c�ble est-elle maximale ? Commenter.
L(t) =20 -t.
T = 1,96 10³ cos q -(20-t)q'².
1,96 10³ cos q doit �tre maximum et (20-t)q'²doit �tre minimum.
Soit q = 0 et (20 -t)q'² le plus petit possible soit q' nul.

C. Isolation thermique par double vitrage.
L’isolation thermique de la maison met en jeu des fen�tres � double vitrage. On cherche ici � comparer l’efficacit� de l’isolation thermique par simple et par double vitrage. On consid�re dans un premier temps, une plaque de verre d’�paisseur e = 4 mm et de conductivit� thermique lv = 0,8 S.I. Les effets de bord seront n�glig�s et on fera une �tude unidimensionnelle d’axe (Ox). La surface de la vitre perpendiculaire � l’axe Ox est not�e S. On n�gligera les transferts conducto-convectifs � la surface du verre. On se reportera � la figure ci-dessous � gauche. On suppose T₁ > T₂.

10. Ecrire la loi de Fourier dans la sym�trie du probl�me �tudi� en pr�cisant la signification des diff�rentes grandeurs y intervenant. Interpr�ter le signe figurant dans cette loi.
11. Par analyse dimensionnelle, d�terminer l’unit� S.I. de la conductivit� thermique.
12. On se place en r�gime permanent. Exprimer le flux thermique F traversant la vitre en fonction de la diff�rence de temp�rature D𝑇 de part et d’autre de la vitre, de lv et des param�tres g�om�triques 𝑒 et 𝑆.
Le flux thermique � travers une surface simple est : F = lS (T₁-T₂) / e.
Flux en watt ; l conductivit� thermique en W m^-1 K^-1; S : surface en m² ; T₁-T₂ diff�rence de temp�rature en K ; e : �paisseur de la paroi en m. Le flux thermique va du corps le plus chaud vers le corps froid.
13. Rappeler la d�finition de la r�sistance thermique R_th d’un mat�riau et pr�ciser son unit�.
R_th = e / (lS) exprim�e en K W^-1.
La r�sistance thermique indique la capacit� de l'isolant � r�sister aux variations de chaleur.
14. Etablir l’expression de la r�sistance thermique R_th d’une fen�tre simple vitrage en fonction de lv, e et 𝑆. Calculer 𝑅_𝑡ℎ pour 𝑆 = 4 m².
R_th = 4 10^-3 / ( 0,8 x4) = 1,25 10^-3 K W^-1.
On s’int�resse maintenant � l’isolation par double vitrage � 4-16-4 �, c’est � dire une vitre d’�paisseur 𝑒 = 4 mm, s�par�e par une couche d’air sec d’�paisseur 𝑒’ = 16 mm d’une deuxi�me vitre d’�paisseur 𝑒 = 4 mm (voir figure ci-dessus � droite). La conductivit� de l’air sec vaut l_𝑎 = 0,025 S.I.
15. Montrer que la r�sistance thermique R'_𝑡ℎ du double vitrage se met sous la forme :
R'_th=R_th(2+a) o� a est une constante � exprimer en fonction de lv, l𝑎, 𝑒 et 𝑒’.
Conclure alors quant � l’efficacit� de cette technique d’isolation.
R'_th = 2e / (lvS) +e'/(laS) ; R_th = e/(lvS) ;
R'_th = e / (lvS) [ 2+ e' lv / (ela)].
De plus en plus de maisons sont �quip�es de verres autonettoyants (bioclean de Saint-Gobain par exemple) comportant des particules de dioxyde de titane TiO₂ semi-conducteur. Une lumi�re de longueur d’onde ad�quate permet d’arracher un �lectron � la couche d’oxyde de titane (en le faisant passer de la bande de valence � la bande de conduction). Ceci induit des ph�nom�nes r�dox � la surface du TiO₂ qui agit comme un catalyseur en d�gradant les salissures pr�sentes sur le verre par production de radicaux hydroxyles.
La longueur d’onde maximale permettant d’arracher un �lectron est de 388 nm.
16. Rappeler les deux mod�les de description de la lumi�re et pr�ciser lequel permet d’expliquer l’existence d’une longueur d’onde maximale.
Mod�le ondulatoire ( il explique les ph�nom�nes de diffraction et d'interf�rences) et mod�le corpusculaire ( quantification de l'�nergie d'une onde).
17. Calculer, en eV, l’�nergie minimale � fournir pour arracher un �lectron � la couche d’oxyde de titane.
E = h c / l = 6,62 10^-34 x 3 10⁸ / (388 10^-9) =5,12 10^-19 J (3,2 eV).

D Pompe � chaleur.
Pour maintenir la temp�rature de la maison constante, on utilise une pompe � chaleur qui est une thermopompe � compression utilisant l’ammoniac NH₃ comme vapeur condensable (sch�ma ci-dessous). Le cycle de transformations subi par le fluide est repr�sent� dans le diagramme de Mollier. (pression P en bar, en ordonn�es et h enthalpie massique en kJ.kg^-1, en abscisses). Dans cette machine, le fluide pris � l’�tat gazeux (vapeur juste saturante � la pression P_A et � la temp�rature q_𝐴) est comprim� de mani�re adiabatique jusqu’� l’�tat B (P_B, q_𝐵). Il est ensuite refroidi puis enti�rement liqu�fi� � pression constante (�tat C correspondant au liquide juste saturant, temp�rature q_C) dans un radiateur au contact de l’air de l’habitation. Il traverse ensuite un d�tendeur o� il subit une d�tente isenthalpique qui ram�ne sa pression de P_B � P_A. Il se trouve alors partiellement liqu�fi� (�tat D). Il p�n�tre alors dans l’�vaporateur (source froide) et se vaporise compl�tement � la pression P_A jusqu’au point A. L’�vaporateur et le radiateur ne poss�dent pas de parois mobiles. On se place en r�gime permanent. Dans les diff�rents organes de la machine, on n�gligera les variations d’�nergie potentielle de pesanteur et d’�nergie cin�tique.
Les donn�es sont les suivantes :

Etat	P(bar)	q(�C)	h(kJ kg^-1)
A	3,5	-5	1760
B	15		1980
C	15	38	660
D	3,5		660

18. Rappeler la d�finition de la pression de vapeur saturante.
Pression � laquelle la phase gazeuse d'une substance est en �quilibre avec sa phase liquide ou solide � une temp�rature donn�e.
19. Donner la loi de Laplace et rappeler ses conditions d’application. Calculer la temp�rature q_B au point B.
Lors d'une transformation isentropique ( adiabatique r�versible) : T^g P^1-g = constante.
T_B x P_B^1-g=T_A x P_A^1-g ; T_B =T_A x (P_A/ P_B)^1-g =(273-5)x(3,5/ 15)^1-1,33 ~ 433 K( 160 �C).
20. Reproduire sur la copie le diagramme (P,h) et indiquer o� se situe la courbe de ros�e ainsi que la courbe d’�bullition. Pr�ciser l’�tat physique du syst�me dans les diff�rents domaines. Quelle est la temp�rature q_D au point D ?

D�tente isenthalpique de C � D : la pression varie et la temp�rature ne change pas.
21. Rappeler l’expression du premier principe sous forme de bilan enthalpique pour les fluides en �coulement permanent (appel� encore premier principe pour les syst�mes ouverts ou encore � premier principe industriel �) en pr�cisant la signification physique des diff�rents termes et appliquer dans le contexte �tudi�.
La variation d'enthalpie d'un syst�me ouvert est �gale � la somme du travail utile s'exer�ant sur les parois mobiles et de la chaleur �chang�e avec l'ext�rieur.
22. D�terminer les variations d’enthalpie du syst�me au sein de chaque organe de la pompe � chaleur.
A --> B compresseur : 1980-1760=220 kJ.
B --> C radiateur : 660-1980=-1320 kJ.
C-->D d�tendeur : 660-660 = 0.
D --> A �vaporateur : 1760-660 =1100 kJ.
23. Sachant que le maintien de la temp�rature dans la maison impose une puissance de chauffage P_th=10 kW, d�terminer le d�bit massique D_m d’ammoniac n�cessaire.
dt = -Q_BC / P_th=1320 / 10 =132 s
D_m = masse (1 kg ) / dt = 1 / 132 =7,6 10^-3 kg / s.
24. Calculer sur un cycle, la puissance m�canique P_m=dW / dt re�ue par le fluide.
dW = 220 kJ ; dt = -Q_BC / P_th=1320 / 10 =132 s ; P_m =220 /132~1,7 kW.
25. Expliquer � partir d’un sch�ma o� l’on symbolisera la pompe � chaleur et les sources de chaleur chaude et froide, les �changes d’�nergie Qc avec la source chaude, Qf avec la source froide et W le travail �chang�. Pr�ciser le signe de ses diff�rentes grandeurs.

26. D�finir puis calculer l’efficacit� e de la pompe � chaleur.
coefficient d’efficacit� , not�e e, ( r�versibilit�) : gain / d�pense =| chaleur c�d�eau local |divis�e par le travail re�u.
e = -Q_c/ W = 1320 / 220 =6,0.

27. Etablir l’in�galit� de Clausius.
La variation d'entropie est nulle sur un cycle : Q_c/T_c + Q_f / T_f+ S_cr�e = 0.
Dans le cas de l'irr�versibilit� : S_cr�e > 0.
Dans le cas de la r�versibilit� : S_cr�e = 0.
Q_c/T_c + Q_f / T_f < 0.
28. Montrer que l’efficacit� de la pompe � chaleur est inf�rieure � une valeur maximale e_maxque l’on calculera.
Efficacit� maximale : chaleur c�d�e au local / travail re�u =Tc / (Tc-Tf)
Temp�rature du local 19�C ou 292 K.
Temp�rature ext�rieure : -5 �C ou 268 K.
Efficacit� maximale =292 / 24~ 12.