Mathématiques. Concours Ecole de Santé des Armées 2024.

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Exercice 1. Une seule réponse est exacte.
QCM1.
Le prix d’un médicament au cours de l’année 2023 a été multiplié par 4.
A. Le prix a augmenté de 400% en 2023.
B. Le prix a augmenté de 500% en 2023.
C. Pour retrouver sa valeur du début de l’année 2023, le prix doit diminuer de 75% en 2024. Vrai.
D. Pour retrouver sa valeur du début de l’année 2023, le prix doit diminuer de 80% en 2024.
Le coefficient multiplicateur CM est de 4. Le coefficient multiplicateur réciproque permettant de revenir au prix initial est CMR = 1 / 4 =0,25. Cela correspond à une remise de 75 %.du prix final.

QCM2
Dans une population, un individu sur 5 est vacciné. On sait de plus que la probabilité qu’un individu soit malade, sachant qu’il est vacciné, est égale à 0,10.
. Enfin, la probabilité qu’un individu ne soit pas vacciné sachant qu’il est malade est 5 fois plus grande que la probabilité
qu’un individu soit vacciné sachant qu’il est malade.
La probabilité qu’un individu soit malade est alors :
A. 2 /5 ; B. 3 /20 ; C. 2 /15 ; D. 3 /25.

PM(non V) = 5 PM(V) ; PM(non V) x P(M)= 5 PM(V)  x P(M). Donc P(non V n M) = 5 P(V n M).
Formule des probabilités totales : P(M) = P(V n M) + P(non V n M) =6 P (V n M)= 6 x0,02=0,12 = 3 / 25. Réponse D.

QCM3.
Soit l’équation : (ln(x))2 +4 ln(x)−5 = 0 dans R. L’ensemble des solutions de cette équation est :
On pose X = ln(x) : X2+4X-5=0.
Discriminant : 42 +4*5=36 = 62.
Solutions : X = (-4+6) / 2 =1 et X = (-4-6) / 2 = -5.
x = e et x = e-5. Réponse D.

QCM4.
Soit l’équation : exp(x2+4x) = e-4 dans R. L’ensemble des solutions de cette équation est :
x2+4x = -4 ; x2+4x +4=(x+2)2=0 ; x = -2. Réponse B.

QCM5.
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =−2ex / (1+ex) . La fonction dérivée f ′ de la fonction f est  f ′(x).
On pose u = ex et v = 1+ex ; u' = v'=ex ;
(u'v-v'u) / v2 =ex / (1+ex)2.
f '(x) = -2ex / (1+ex)2. Réponse C.

QCM6.
La limite en plus l'infini de A = (x2+4x-5)½-x est :
x doit être supérieur ou égal à 1.

Réponse D.

Exercice 2 - 6 points
Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations A, B, C ou D est exacte.
Toute réponse juste est comptée +1 point, toute réponse fausse est comptée −0,25 point.
Une absence de réponse est comptée 0 point.
Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
QCM7
Dans l’intervalle [1 ; +oo[, l’équation : 2x3 −15x2 +24x −16 =0 possède :
On pose f(x) =2x3 −15x2 +24x −16 ; f '(x) = 6x2-30x+24 =6(x2 -5x+4)
Racines de x2 -5x+4 =0 ; discriminant =25-16 = 9 ; solutions : x = (5 ±3) = 2 soit 4 et 1.
Si appartient à ]1 ; 4[ , f '(x) est négative et f(x) est décroissante.

L'équation ci-dessus admet une unique solution sur [1 ; +oo[  Réponse B.

QCM8
On considère la fonction f définie par f (x) =2/3 x3+4x2+x+10 deux fois dérivable sur R.
f '(x) = 2x2 +8x+1 ; f ''(x) =4x+8 ; la dérivée seconde s'annule et change de signe pour x = -2  (point d'inflexion).
f "(x) >0 sur ]−2 ; +∞[. Elle est convexe sur cet intervalle. Réponse A.

QCM9
On considère la suite (un) définie par u1 = 1 et pour tout entier naturel n >1 :
un+1 =un +2n +1.
u2=4 = 22 ; u3 =9 = 32.  On conjecture que un = n2.
Démonstration par récurrence.
Initialisation : la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : un = n2 est supposé vrai.
un+1 =n2 +2n+1=(n+1)2. La propriété est vraie au rang n+1
Conclusion : la propriété est vraie au rang 1 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel..
Réponse C.

QCM10
Un outil de chirurgie endoscopique peut être fabriqué par deux machines, la première réalisant 60% de la production. Parmi les outils fabriqués par la première machine, 5% sont défectueux et parmi les outils fabriqués par la deuxième machine, 4% sont défectueux.
On note M1 l’évènement « l’outil est fabriqué par la première machine » et D l’évènement « l’outil présente un défaut ». On prélève un outil au hasard.

Réponse C.

QCM11
Soit la fonction f définie sur ]0 ; +oo[ par : f(x) =1/x ln(x).

Réponse C.

QCM12
Une classe de l’ESA comprend 20 étudiants, 80% d’entre-eux réussissent le concours de fin d’année. On considère que les résultats des élèves à l’examen sont indépendants les uns des autres.
On peut considérer qu’on a une épreuve de Bernoulli : la variable X égale au nombre de personnes interrogées suit une loi binomiale B(20,0,8).
Probabilité de l’évènement « au moins un étudiant réussit son concours en fin d’année est :
P(X > 1) =1-P(X=0)= 1-0,220 >0,99. Réponse A.

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 Exercice 3 .
L’objet de ce problème est d’étudier l’évolution du nombre de bactéries dans un milieu au cours du temps. On introduit un million de bactéries dans ce milieu de culture à t =0.
Le nombre de bactéries (en millions), à l’instant t (en heures), est donné par une fonction f strictement positive et dérivable sur [0 ; +∞[, qui vérifie l’équation (E) suivante :
f ′(t )= a f (t )·(1-0,01f(t)) pour t >0
où a est une constante strictement positive.
1. a. Démontrer que f vérifie l’équation (E) si et seulement si g = 1 / f est solution de l’équation différentielle (E′) suivante : y′+ay=0,01 a.
f est solution de (E) : f ' =a f(t) -0,01 f2(t).
f étant strictement positive : f ' / f2(t) = a / f(t) -0,01 a.
On pose g = 1 / f : g' = -f ' / f2 ; -g' = ag-0,01 a ; g' = -ag +0,01 a ; g' + ag =0,01 a.
Donc g est solution de (E').
b. Trouver une fonction constante solution de (E′).
g = 0,01.
c. en déduire la solution générale g de l’équation (E′).
Solution générale de l'équation E' sans second membre : g(t) = A exp-(at ) avec A une constante.
Solution générale de (E') : g(t) = A exp-(at )+0,01.
d. Montrer que la solution f de l’équation (E) vérifiant f (0) = 1 est donnée par :
f (t )=100 / (1+99e−at ) pour tout t dans [0 ; +∞[.
f(t) = 1 /g(t)  ; f(0) = 1 = 1 / (A+0,01) ; A+0,01 = 1 ; A = 0,99.
g(t) = 0,99 exp-(at )+0,01.
f(t) = 1 / [0,99 exp-(at )+0,01] =100 / (1+99e−at ).
2. a. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
f est dérivable sur [0 ; +oo[ : f '(t) = -100 ( -99 ae−at ) / [1+99e−at]2 = 9900 ae−at  / [1+99e−at]2 .
a >0, f '(t)  >0, donc f(t) est strictement croissante sur [0 ; +oo[.
b. Déterminer la limite de f en +∞.
Le terme e-at tend vers zéro et f(t) tend vers 100.
c. Déduire des questions précédentes un encadrement de f par deux réels.
1 < f(t) < 100.
d. Démontrer qu’il existe un unique réel t0 strictement positif tel que f (t0) = 50.
f est continue et strictement croissante  sur [0 ; +oo( à valeurs dans [1 ; 100]. 50 appartient à cet intervalle.
D'après le théorème de la bijection, l'équation f(t) =0 admet une unique solution sur [0 ; +oo[.
3. a. Démontrer que f " = a(1-f/50) f '.
f '(t) =a f(t) -0,01a f(t)2.
f "(t) = a f '(t) -0,02 a  f '(t) f(t) =a f '(t) [ 1-0,02 f(t)].
b. Étudier le signe de f ′′ sur l’intervalle [0 ; +∞[. En déduire les conséquences d’un point de vue mathématique d’une part et médical d’autre part.
a et f '(t) sont positifs sur [0 ; +∞[.
f "(t) a le signe de 1-0,02 f(t) = 50(50-f(t)).
D'après la question 2d : si t < t0 alors 50-f(t) < 0 ;f "(t) > 0 et f(t) est convexe.
si t > t0 alors 50-f(t) > 0 ; f "(t) < 0 et f(t) est concave.
Le nombre de bactéries augmente de plus en plus rapidement de 0 à t0, puis croît moins rapidement pour atteindre la limite  de 100 millions.

4. Exprimer t0 en fonction de a.
f(t) = 50  = 100 / (1+99e−at ).
1+99e−at  =2 ; 99e−at  =1 ; e−at  =1 / 99 ; -at = ln(1/99) ; at = ln(99)  ; t0 = ln(99 ) / a.
5. Exprimer, en fonction de a et t0, le nombre moyen de bactéries entre les instants 0 et t0.

Or at0 = ln(99) ; 100 / ln(99) ln(99x2 /100) = 100 / ln(99) ln(99 /50).
6. Tracer dans une repère orthogonal une allure de la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Graphe pour a = 2.

  
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