Aurélie jan 04

dureté d'une eau - production d'eau glacée -

électricité triphasé - la chaux - machine frigorifique - thermomètre électronique

d'après BTS FEE ( fluide, énergétique, environnement) 2002 - 2003

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dureté d'une eau

Dans une station de traitement d'eau, on trouve, parmi d'autres, deux réserves d'eau pour lesquelles on a procédé à quelques analyses.

Pour la réserve n°1, de volume V1=750 m3 , les concentrations volumiques massiques en ions Ca2+ et Mg2+ sont respectivement 80,2 mg/L et 36,5 mg/L .

Pour la réserve n°2, de volume V2=1000 m3 , les concentrations volumiques massiques en ions Ca2+ et Mg2+ sont respectivement 20,1 mg/L et 12,2 mg/L .

Rappel : Relation donnant le titre hydrotimétrique total (ou dureté) : T.H=[Ca2+]+[Mg2+]

  1. Pour la réserve n°1, calculer les concentrations molaires des ions Ca2+ et Mg2+ notées respectivement [Ca2+]1 et [Mg2+]1.
    - le titre hydrotimétrique total exprimé en degrés français noté T.H1.
  2. Pour la réserve n°2, calculer les concentrations molaires des ions Ca2+ et Mg2+ notées respectivement [Ca2+]2 et [Mg2+]2.
    -Vérifier que le titre hydrotimétrique total (exprimé en degrés français) noté T.H2 vaut 10,0°F
  3. Dans un réservoir dont le volume le permet, on procède au mélange de ces deux réserves d'eau.
    - Calculer les nouvelles concentrations molaires des ions Ca2+ et Mg2+ dans le mélange.
    - En déduire le titre hydrotimétrique total exprimé en degrés français du mélange.

    Données : Ca=40 ; Mg= 24,3 g/mol ;

     


corrigé
concentration molaire (mol/L)= concentration massique (g/L) / masse molaire (g/mol)

[Ca2+]1=80,2 10-3 / 40 = 2 10-3 = 20 10-4 mol/L

[Mg2+]1=36,5 10-3 / 24,3 = 1,5 10-3 =15 10-4 mol/L

La dureté d'une eau est donnée par la concentration totale en ions calcium et en ions magnésium . On définit le titre hydrotimétrique (°TH) par : 1° TH = 10-4 mol/L

[Ca2+]2=20,1 10-3 / 40 = 5 10-4 mol/L

[Mg2+]2=12,2 10-3 / 24,3 = 5 10-4 mol/L

T.H2 = 5+5 = 10 °F.

Dans le mélange de volume V= 1000+750=1750 m3 = 1,75 106 L

Quantité de matière d'ion calcium : 2 10-3*750 *1000 + 5 10-4 *1000 *1000 = 1500+500 = 2000 mol

[Ca2+]mélange=2000 / 1,75 106 =11,5 10-4 mol/L

Quantité de matière d'ion magnésium : 1,5 10-3*750 *1000 + 5 10-4 *1000 *1000 = 1125+500 = 1625 mol

[Mg2+]mélange=1625 / 1,75 106 =9,3 10-4 mol/L

T.H mélange = 11,5+9,3= 20,8 °F.

 



production d'eau glacée

On s'intéresse à un système de production d'eau glacée dont le schéma de principe est donné ci-dessous

 

Le fluide frigorigène utilisé est le R12. A l'état gazeux, il sera considéré comme un gaz parfait dont les constantes sont r=68,8 J kg-1 K-1 et g=Cp/Cv=1,2 .

Le cycle théorique est le suivant (on n'envisage pas les surchauffes et les sous-refroidissements) :

- En 1, le fluide est entièrement gazeux : P1=3,5 bar et t1=5°C . Il subit, alors, une compression adiabatique qui l'amène à la pression P2=10,8 bar et à la température t2 .

- Entre 2 et 3, à pression constante, la vapeur se refroidit jusqu'à la température t3= 45°C et se condense entièrement.

- Entre 3 et 4, détente isenthalpique du fluide, qui l'amène à la pression P4=3,5 bar et t4=5°C .

- En 4, entrée dans l'évaporateur et retour à l'état 1.

Toutes les transformations seront considérées comme réversibles. Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

  1. On raisonne pour une masse m=1 kg de fluide. Écrire l'équation d'état des gaz parfaits en utilisant la constante massique r du fluide ; préciser les unités des grandeurs utilisées.
    - Calculer le volume occupé (en L) par 1 kg de vapeur R12 dans l'état 1.
    - La compression étant isentropique (adiabatique et réversible), quelle relation existe-t-il entre P1 , V1 , P2 et V2 ( relation de Laplace ) ? Calculer le volume V2 occupé par 1 kg de vapeur R12 dans l'état 2.
    - Calculer t2 .
  2. Sur le document joint qui est à rendre avec la copie, on donne un extrait du diagramme pression-enthalpie (p, h) de l'équilibre " liquide vapeur " du R12. Cet extrait comporte quelques valeurs relatives au système étudié.
    - Dessiner, sur le document réponse, le cycle théorique du fluide et l'orienter ; placer les états 1, 2, 3, 4 correspondant à ceux du schéma de principe. Remplir les cadres avec les mots : compresseur, détendeur, condenseur et évaporateur.
    - Dans quel élément du circuit, le fluide échange-t-il du travail ? Quel est, du point de vue du fluide, le signe de ce travail ? Quelle en est, pour 1 kg de fluide, la valeur ? Justifier.
    - Dans quel élément du circuit, le fluide rejette-t-il de la chaleur vers le milieu extérieur ? Quelle est, pour 1 kg de fluide, la quantité de chaleur rejetée ? Justifier.
    - Entre quels états le fluide reçoit-il de la chaleur ? Quelle est, pour 1 kg de fluide, la quantité de chaleur reçue ? Justifier.
    - Définir et calculer le C.O.P. (coefficient de performance aussi appelé efficacité frigorifique ) théorique de cette machine de production d'eau glacée.

corrigé
P V =nRT = m/M RT = m r T avec r =R/M

P : pression en pascal ; V volume en m3 ; m : masse en kg ; r en J kg-1 K-1 ; T température en kelvin

dans l'état 1 : V1 = m r T1 / P1

avec m=1 kg ; r = 68,8 J kg-1 K-1 ; T1=273+5=278 K ; P1= 3,5 105 Pa.

V1 =68,8*278 / 3,5 105= 5,47 10-2 m3=54,7 L.


relation de Laplace entre volume et pression P1 V1g = P2V2g=constante.

V2g= P1/ P2V1g = 3,5 / 10,8 (5,47 10-2)1,2 = 0,324 *(5,47 10-2)1,2

V2=0,324 1/1,2 *(5,47 10-2) =0,39*5,47 10-2 = 2,14 10-2 m3 = 21,4 L.

T2=P2V2/(mr)=10,8 105*2,14 10-2 / (1*68,8)=336 K ; t2 = 336-273 = 63°C.

Le fluide reçoit du travail massique de transvasement de la part du compresseur.

Ce travail, noté W12, est positif car l'enthalpie du fluide augmente au cours de la compression.

Ecrire le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en écoulement : Q12+W12= H2-H1.

Q12 : chaleur reçue par le fluide au cours de l'évolution 1 -->2. La compression étant adiabatique, alors Q12 =0

H2-H1 : variation d'enthalpie massique du fluide lors de l'évolution 1 --> 2.

d'où W12= H2-H1=30 kJ kg-1 ( lecture graphe)


La condensation d'un fluide fournit de la chaleur à l'exterieur. Le fluide fournit de la chaleur à l'extérieur au niveau du condenseur. On note Q23 la chaleur massique cédée.

L'évolution du fluide est isobare au cours de l'évolution 2-->3 donc Q23= H3-H2= -170 kJ kg-1.(lecture graphe)

L'évaporation d'un corps nécessite de la chaleur : le fluide reçoit de la chaleur au cours de l'évolution 4-->1.

L'évolution du fluide est isobare au cours de l'évolution 4-->1 donc Q41= H1-H4= +140 kJ kg-1.(lecture graphe)

efficacité frigorifique : chaleur massique reçue par le fluide / travail massique fourni au fluide

Q41 / W12 = 140/30 = 4,7.


électricité

 La machine frigorifique précédente fait partie d'une installation électrique ; celle-ci est alimentée par un réseau triphasé équilibré : 400 V / 50 Hz.

L'installation comporte : le moteur du compresseur de plaque signalétique :400V/690 V ; P=3 kW ; h=0,78 ; cosj=0,8.

Le moteur du ventilateur de plaque signalétique :230V/400 V ; P=1 kW ; h=0,85 ; cosj=0,7.

Un système de chauffage (purement ohmique) : P=2 kW

Un système d'éclairage (purement ohmique) constitué de 6 lampes également réparties sur les trois phases, chaque lampe ayant pour caractéristique ( 230 V ;300 W).

  1. Quel est, pour chacun des moteurs, le couplage à effectuer pour un fonctionnement normal. Justifier.
  2. Pour le moteur du compresseur, calculer, lorsqu'il fonctionne seul la puissance active absorbée ;
    - la puissance réactive mise en jeu ; l'intensité du courant en ligne.
  3. Répondre aux mêmes questions pour le moteur du ventilateur, lorsqu'il fonctionne seul.
  4. Lorsque tous les appareils fonctionnent ensemble, calculer la puissance active absorbée ; la puissance réactive ;l'intensité du courant en ligne ; le facteur de puissance de l'installation. Comment peut-on le relever ?

 


corrigé
 réseau : tension efficace entre phase U= 400V

plaque du moteur du compresseur : chaque enroulement supporte au maxi une tension de 400 V , donc couplage triangle.

Dans le cas du moteur du ventilateur, chaque enroulement supporte au maxi 230 V , donc couplage en étoile.

moteur du compressseur :

puissance active P1= puissance utile / rendemant = 3 000 / 0,78 = 3846W.

puissance réactive : Q1 = P1 tan j1 avec j1 =36,87° et tan j1 =0,75

Q1 = 3846*0,75 = 2884 VA.

P1= U I1 racine carrée (3) cos j1

I1 = 3846 / ( 400*1,732*0,8)= 6,94 A.

moteur du ventilateur :

puissance active P2= puissance utile / rendemant = 1 000 / 0,85 = 1176 W.

puissance réactive : Q2 = P2 tan j2 avec j2 =45,6° et tan j1 =1,02

Q1 = 1176*1,02 = 1200 VA.

P2= U I2 racine carrée (3) cos j2

I2 = 1176 / ( 400*1,732*0,7)= 2,42 A.


Puisance active de l'installation = puissance active des moteurs + puissance active des lampes+ puissance active chauffage

P= 3846+1176+6*300 + 2000 = 8822 W.

puissance réactive de l'installation = 2884+1200=4084 VA.

les lampes et le chauffage ( purement ohmique) n'absorbent pas de puissance réactive.

puissance apparente de l'installation S²= P² + Q²

S² = 8822² + 4084² = 7,78 107 + 1,67 107 =94,5 106 soit S= 9,7 103 var

S= UI racine carrée (3) soit I = 9700/(400*1,732)= 14 A.

facteur de puissance de l'installation : cos j= P/S = 8822 / 9700 = 0,91.

Pour relever le facteur de puissance on utilise des condensateurs branchés en dérivation sur l'installation.



la chaux

Masses molaires atomiques : Ca=40 ; O=16 ; H=1 g/mol ;

Produit ionique de l'eau, à 25°C : Ke=[H3O+][HO-]=10-14.

La chaux est un corps solide de formule Ca(OH)2. Il se décompose, dans l'eau, en ions Ca2+ et HO- . A 25°C , une solution aqueuse de chaux, saturée, a une concentration de 1,26 10-2 mol/L en ions Ca2+ .

  1. Calculer la concentration massique C(Ca2+) en ions Ca2+ ( on l'exprimera en mg/L ).
  2. Écrire l'équation de la réaction de dissociation de la chaux dans cette solution.
  3. Déterminer la concentration molaire en ions HO- et en déduire le pH de cette solution.
  4. On veut neutraliser 50 mL de cette solution avec de l'acide chlorhydrique de concentration 0,05 mol/L.
    - Ecrire l'équation de la réaction de neutralisation.
    - Calculer le volume d'acide chlorhydrique nécessaire.

 


corrigé
concentration massique (g/L) = masse molaire (g/mol) * concentration molaire (mol/L)

C(Ca2+)= 40*1,26 10-2 = 0,504 g/L = 504 mg/L.

Ca(OH)2 solide = Ca2+ + 2 HO-.

la concentration molaire en ion hydroxyde est deux fois plus élevée que celle des ions calcium.

[HO-]=2[Ca2+]=2*1,26 10-2 = 2,52 10-2 mol/L.

[H3O+]=10-14 /[HO-]=10-14 / 2,52 10-2 = 4 10-13 mol/L et pH = -log4 10-13 = 12,4.

équation de la réaction de dosage : HO- +H3O+ --> 2H2O

à l'équivalence les quantités de matière des réactifs sont en proportions stoechiomètriques.

CaVa=CbVb soit Va=2,52 10-2 * 0,05 / 0,05 = 2,52 10-2 L = 25,2 mL.



Une machine frigorifique à air est schématisée ci-après :

 

 

Elle est destinée à maintenir dans la chambre " froide " une température T1 . La pression y est constante.

Une masse de 1 kg d'air, prélevée dans la chambre " froide " à la température TA= T1 .est comprimée adiabatiquement. L'air passe, ensuite, dans un échangeur plongé dans une pièce dite chambre " chaude " dont la température T2 , supérieure à T1 , est considérée comme constante. L'air est ensuite détendu adiabatiquement et renvoyé, à la température TD , dans la chambre " froide " où il va se réchauffer jusqu'à la température T1 considérée comme constante dans toute la chambre froide.

Cette masse de 1 kg d'air subit donc un cycle, passant successivement par les états A, B, C et D. Précisons que la pression de l'air dans l'échangeur est constante et que sa température, en C, est celle de la chambre " chaude ". Par ailleurs, le travail fourni par le fluide, au cours de sa détente est intégralement utilisé par le compresseur. On considère que l'air se comporte comme un gaz parfait et que les transformations sont réversibles.

On donne les valeurs suivantes :T1=268 K ;T2=293 K ; PA=1 bar ; PB=2 bar ; pour l'air CP=1 kJ kg-1 K-1 ; g=1,4.

  1. Déterminer la constante massique rair du gaz parfait.
  2. Vérifier que la température TB de l'air après la compression adiabatique est égale à 327 K.
  3. Déterminer la température TD de l'air après la détente adiabatique.
  4. Déterminer, pour un cycle et par kilogramme d'air, la quantité de chaleur qcycle reçue. En déduire le travail Wcycle reçu (toujours par cycle et par kilogramme d'air).
  5. Identifier la quantité de chaleur " utile " et calculer le coefficient de performance e=qcycle/Wcycle de la machine.
  6. Quel est le débit d'air nécessaire pour que la machine ait une puissance frigorifique (quantité de chaleur prélevée chaque seconde à la source " froide ") de 1kW ?

 

 


corrigé
rair = cp-cv et g=cp/cv

cv =cp/ g ; rair = cp-cp/ g =cp(g-1)/g=1000(1,4-1) / 1,4 =286 J kg-1 K-1.

La compression A-->B du gaz parfait est adiabatique PAVAg=PBVBg = constante

avec PV=nRT soit V = nRT/P et VAg = (nR)gTAg/PAg ; VBg = (nR)gTBg/PBg

d'où : PA1-gTAg=PB1-gTBg

TBg =(PA /PB)1-gTAg ; TB =(PA /PB)1/g-1 TA avec 1/g-1= 1/1,4 -1= -0,286

TB =(1/2)-0,286*268 =326,8 K .


La détente C-->D est adiabatique réversible : PC1-gTCg=PD1-gTDg

L'évolution B--> C est isobare: PC=PB=2 bar

L'évolution D --> A est isobare : PD=PA=1 bar

La température de l'air en C est celle de la chambre chaude TC=T2=293 K

TDg =(PC/PD)1-gTCg ; TD =(PC/PD)1/g-1TC

TD =(2)-0,286* 293=240,3 K.


les transformations A-->B et C--> D sont adiabatiques (QAB=QCD=0) ; Qcycle = QBC+QDA

Les transformations B-->C et D--> A sont isobares ; les chaleurs reçues s'identifient aux variations d'enthalpie.

QBC= cP(T2-TB) = 1000*(293-326,8)= -33800 J kg-1.

l'air cède de la chaleur à la source chaude

QDA= cP(T1-TD) = 1000*(268-240,3)= + 27 700 J kg-1.

l'air prend de la chaleur à la source froide

Qcycle = -33800+27700 = -6100 J kg-1.

L'application du premier principe donne sur le cycle : Qcycle + Wcycle = DU cycle=0

Wcycle = 6100 J kg-1. travail fourni par le moteur électrique non représenté.

La chaleur utile est constituée par la chaleur retirée à la chambre froide :QDA= cP(T1-TD) = + 27 700 J kg-1.

coefficient de performance e=QDA/Wcycle =27700 / 6100 = 4,54.

débit massique : q ; puissance calorifique : P

d= P/ QDA = 1000 / 27700 =0,036 kg s-1.



Un thermomètre " électronique " est constitué d'un capteur de température et d'un montage amplificateur de tension comportant des résistances et deux amplificateurs opérationnels suivant le schéma ci-après :

Le thermocouple est constitué par deux jonctions chromel-alumel, présentant une très faible résistance. La tension ue aux bornes du thermocouple, fonction de la température, est appliquée entre les deux entrées E1 et E2 du montage amplificateur. Elle est proportionnelle à la différence de température entre la jonction de mesure et la jonction de référence :

ue=K(qmes-qref)

K peut être considéré comme constant sur une large plage de température ( jusqu'au-delà de 1000°C ) : .K=40mV°C-1.

Dans la suite de l'exercice, on prendra qref=0.

Les amplificateurs opérationnels sont supposés parfaits. Ils fonctionnent en régime linéaire. Dans ces conditions, la tension différentielle d'entrée, e , est nulle, ainsi que les intensités des courants d'entrée : i+=i-=0.

  1. Calculer la tension ue pour qmes= 500 °C. Outre l'amplification de la tension ue, quel est l'intérêt du montage proposé?
  2. Exprimer ue, tension à l'entrée du montage, en fonction de i1, i2 et R2.
  3. Exprimer us, tension à la sortie du montage, en fonction de R1, R2 , i1, i2 .
  4. En déduire une expression littérale de l'amplification us/ue du montage.
  5. Application numérique : R1=1MW et R2 5kW. Calculer l'amplification du montage et la valeur de la tension de sortie us pour la température de 500°C . 

corrigé
ue=40 10-6*500= 0,02 V = 20 mV.

pas de chute de tension dans le fil chromel car l'intensité i+=0. La tension amplifiée sera beinproportionnelle à l'écart de température (qmes-qref)

Les points A et E1 sont au même potentiel ( de même C et E2) car e=0

ue= VC-VA=VC-VB +VB-VA= uCB +uBA= -R2i2 -R2 i1= -R2(i1+i2)

us = uAM+ue+uDC = -R1 i1-R2i2 -R2 i1-R1i2 = -(R1+R2)(i1+i2)

us /ue=(R1+R2) /R2=(106+5 103)/5 103 = 201.

us = 201*0,02 = 4 V.



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