Aurélie jan 04

mécanique - électricité

Contrôleur des affaires maritimes d'après concours

décollage d'une fusée - meule - solénoide- tube de télevision - scooter des mers - moteur électrique - tremplin

théorème de Thevenin concours 2004 - plan incliné concours 2004

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Une fusée a une masse de 2800 tonnes. Pour la faire décoller, on fait fonctionner les 5 moteurs du premier étage, chacun d'eux créant sur la fusée une force verticale, orientée vers le haut et de valeur f = 7,0 106 N.

  1. Calculer la valeur de l'accélération de la fusée au décollage en supposant que sa masse reste constante.
  2. Calculer la distance parcourue par la fusée au bout de 10 s et la vitesse atteinte au bout de 1 km de parcours.
    Intensité de la pesanteur : g = 9,8 N.Kg -1

 


corrigé
masse : 2.8 106 kg soit un poids de : masse *9,8 = 2,744 107 N

La somme vectorielle des forces est dirigée vers le haut ( sinon on décolle pas) :

poussée de moteurs - poids = 5*7 10 6-2,744 10 7 = 7,56 106 N

2ème loi de Newton : somme vectorielle des forces = masse fois accélération :

accélération = 7,56 106 / 2.8 106 = 2,7 m/s².


mouvement uniformément accéléré avec vitesse initiale nulle

distance = ½at² = 0,5*2,7*100 = 135 m.

vitesse au carré = 2 accélération *distance parcourue en mètre

v²= 2*2,7*1000 = 5400 prendre la racine carrée : 73,5 m/s.


Une meule entraînée par un moteur électrique tourne à la vitesse de 900 tours par minute. On coupe l'alimentation du moteur. La meule met 3 min pour s'immobiliser. Calculer :

  1. Le nombre de tours qu'elle a fait avant de s'arrèter depuis l'instant où l'on coupe le courant.
  2. L'accélération angulaire supposée constante.

corrigé
vitesse angulaire
w (rad/s)

900 / 60 = 15 tours par seconde ; w =15*2*3,14 = 94,2 rad/s.

accélération angulaire a= ( w finale - w début ) / Dt=( 0-94,2)/ 180= -0,523 rad/s².

l'angle décrit par la meule en 180 s est : a= ½ a t²+wt

a= 0,5*(-0,523)*180² + 94,2*180 = 8478 radians

8478 / 6,28 = 1350 tours.

autre méthode : w2 = 2|a| a soit a=94,22/(2*0,523)= 8478 radians


Une bobine assimilable à un solénoïde théorique, a une longueur l = 50 cm et comporte 200 spires régulièrement réparties.

Calculer la valeur du champ magnétique à l'intérieur de ce solénoïde lorsque l'intensité qui le traverse vaut I = 0,2 A
On donne la valeur de la constante universelle de perméabilité du vide : m0 = 4p10 -7 SI


corrigé
nombre de spires par mètre n=200/0,5 = 400

champ m0 nI = 4*3,14 10-7 *400*0,2 = 10-4 tesla.




Dans un tube de télévision un faisceau d'électron pénètre en O avec une vitesse v0 horizontale dans une région où règne un champ magnétique uniforme B, horizontale, perpendiculaire à la vitesse. Le champ s'exerce entre les plans P1 et P2 ; il est nul à l'extérieur de ces plans. A l'intérieur de ces plans la trajectoire de l'électron est circulaire. Les électrons sont recueillis sur un écran.

  1. Préciser en justifiant les caractéristiques de la trajectoire de l'électron entre O et l'écran.
  2. En supposant d négligeable devant D et devant le rayon du cercle décrit par l'électron dans la première partie de la trajectoire, calculer les coordonnées du point d'impact I du faisceau sur l'écran.
    e= 1,6 10-19 C ; m= 9,1 10-31 kg ; B=3,2 10-4 T; v0=2,1 107 m/s ; D=30 cm et d= 2 cm.

corrigé
Le poids est négligeable devant la force magnétique.

Entre P1 et P2 l'électron est soumis à la force magnétique F

La force F est perpendiculaire au plan défini par v0 et le champ magnétique B, donc dans le plan de la figure.

La force F ne travaille pas, étant perpendiculaire à la vitesse et en conséquence ne modifie pas l'énergie cinétique de l'électron. La norme de la vitesse est constante : seule la direction de la vitesse change.

le mouvement est donc uniforme entre P1 et P2 , circulaire de rayon r= mv0/(eB)

r= 9,1 10-31*2,1 107 / ( 1,6 10-19 * 3,2 10-4) = 0,373 m.

Au dela de P2, l'électron n'est soumis à aucune force et d'après le principe d'inertie, son mouvement est rectiligne uniforme suivant la tangente à l'arc de cercle en B.

tan a = HI / CH voisin de HI/ D

de plus si a est petit ( la figure n'est pas à l'échelle) : tan a voisin de a radian.

par suite : a voisin de HI/ D soit HI proche de a D

Or l'arc de cercle OB est égal à ra

si a est faible on peut dire que la mesure de l'arc OB est proche de d: d'où d proche de ra

HI voisin de : Dd/r = 0,3*0,02/0,373 = 0,016 m = 16 mm.

le mouvement s'effectue dans le plan de la figure, la déviation suivant l'axe des x est donc nulle.


Un scooter des mers file à une vitesse v de valeur constante 35 kmh-1 sur une trajectoire rectiligne. Il passe devant une vedette de surveillance qui démarre à l'instant où le scooter passe devant elle. La vedette suit la même trajectoire, son mouvement est rectiligne uniformément accéléré d'accélération a de valeur 0,9 m.s-2.

  1. Combien de temps faudra-t-il à la vedette pour rattraper le scooter ? Quelle est alors la distance parcourue par la vedette ?
  2. Quelle est en km.h-1 la vitesse atteinte par la vedette au moment où elle rattrape le scooter ?
  3. La réglementation locale impose pour les scooters une vitesse maximale de 5 noeuds. Le scooter est-il en infraction ?

corrigé
exprimer la vitesse en m/s :35 /3,6 = 9,72 m/s

distance parcourue par le scooter ( mvt rectiligne uniforme) : d1 =9,72 * temps(s)

distance parsourue par la vedette (mvt uniformément accéléré sans vitesse initiale) :d2 = 0,5 * 0,9 * temps ² =0,45 temps²

au moment de la rencontre d1 = d2 soit 0,45 t² = 9,72 t d'où t = 9,72/0,45 = 21,6 s.

d1 = 9,72*21,6 = 210 m.

vitesse vedette : v = 0,9 * temps = 0,9*21,6 = 19,44 m/s.

19,44*3,6 = 70 km/h.

1 noeud voisin 1,83 km/h

5 noeuds voisins 1,83*5 = 9,16 km/h donc infraction du scooter.



Un générateur de f.é.m. E = 220 Volts, de faible résistance interne, alimente un moteur par l'intermédiaire d'un rhéostat de résistance maximale R = 21,5 ohms. Un ampèremètre très peu résistant est inséré dans le circuit.

  1. Le moteur est bloqué et le rhéostat réglé à sa résistance maximale. L'intensité dans le moteur vaut alors I = 10 Ampères. Débloqué, le moteur se met à tourner de plus en plus vite et la résistance du rhéostat est réduite progressivement à 0. Quand le moteur tourne à raison de 1500 tours par minute, l' intensité vaut encore I =10 Ampères.
    a) Déterminer la résistance interne r du moteur et sa f.c.é.m. E' quand le régime de rotation est atteint.
    b) Expliquez le rôle du rhéostat utilisé.
  2. Le rotor du moteur comporte n = 548 brins constituant 274 spires enroulées sur un cylindre de longueur l = 0,10 mètre et de rayon R = 0,05 mètre. Le champ magnétique radial entre les pièces polaires a pour valeur B = 0,5 Telsa. Calculer, lorsque l'intensité qui passe dans les cadres vaut I = 10 Ampères, la force de Laplace appliquée à chacun des fils.

corrigé
moteur bloqué : donc pas d'énergie mécanique, toute l'énergie électrique reçue est transformée en chaleur

E= (R +r) I d'où la résistance interne du moteur : r=E/I-R= 220/10-21,5 = 0,5 ohm.

le moteur tourne : E=E'+r I d'où E'= 220-0,5*10 = 215 volts.

le rhéostat limite l'intensité quand le moteur est bloqué sinon celui-ci va griller.

force de Laplace sur un brin : F= intensité * champ * longueur du brin ( le cadre et le champ restant perpendiculaire)

F= 10*0,5*0,1 = 0,5 N par brin.



On néglige les frottements et la résistance de l'air.

Un mobile de masse m, assimilé à un point, est lancé sur un tremplin de longueur OA=L=1 m, faisant un angle a=30° avec l'horizontale. g = 10 m/s². La vitesse initiale v0 vaut 18 km/h.

  1. Quelle est la valeur de la vitesse d'arrivée en I sur le plan horizontal ?
  2. Quelle est la hauteur atteinte au point culminant S de sa trajectoire ?

corrigé
appliquer le théorème de l'énergie cinétique entre le point O et le point I.

pas de frottement, l'action du plan est perpendiculaire au plan et donc ne travaille pas.

l'altitude de départ est identique à l'altitude d'arrivée, donc le poids ne travaille pas.

en conséquence l'énergie cinétique du solide ne varie pas et la vitesse d'arrivée en I est identique à v0.


altitude maximale notée H :

à cette altitude, la composante verticale de la vitesse est nulle ; mais la composante horizontale de la vitesse n'est pas nulle.

vitesse en A : appliquer le théorème de l'énergie cinétique entre O et A

seul le poids travaille lors de la montée du tremplin : Wpoids = -mgLsina.

½mvA²- ½mv0²= -mgLsina.

vA²= v0²-2gLsina avec v0 = 18/3,6 = 5 m/s.

vA²=25-2*10*sin 30 = 15 soit vA= 3,87 m/s.

lors de la chute libre au delà de A la composante horizontale de la vitesse vaut vA cos30 = 3,87 *0,866 = 3,35 m/s.

vitesse horizontale au passage à l'altitude maxi de valeur v = 3,35 m/s.

Ecrire que l'énergie mécanique reste constante entre le point O et l'altitude maxi:

en O, énergie cinétique : ½mv0² ( O : origine de l'énergie potentielle de pesanteur)

altitude maxi : ½mv²+mgH

½mv0² = ½mv²+mgH

v0² =v²+2gH soit H= (v0² -v²) / (2g) = (25-11,22) / 20 =0,69 m.



Soit le circuit ci-dessous : R1= 1 kW ; R2= 2 kW ; R3= 3 kW ; R4= 4 kW ; R5= 5 kW ; E=24 V

  1. Déterminer les éléments du générateur de Thévenin équivalent au montage vu des bornes B et C.
    - En déduire la valeur et le sens du courant circulant dans la résistance R5.
  2. Etablir la relation entre R1, R2, R3 et R4 pour qu'il ne passe aucun courant dans R5.

corrigé
déterminer la résistance équivalente de Thévenin noté Rth.

R1 et R3 sont en dérivation entre les points B et A (ou D); elles ont équivalentes à R13 = R1 R3 /(R1+R3).

R2 et R4 sont en dérivation entre les points B et A (ou D); elles ont équivalentes à R24 = R2 R4 /(R2+R4).

R13 et R24 sont en série entre les points b et C : Rth = R1 R3 /(R1+R3)+ R2 R4 /(R2+R4).


fem du générateur de Thévenin notée Eth. 

uBA+uAC=uBC=Eth ; -R1I1 + R2I2=Eth ;(1)

uAC+uCD=uAD=E ;(R2 + R4)I2=E ; I2 =E/(R2+ R4) repport dans (1)

uAB+uBD=uAD=E ;(R1 + R3)I1=E ; I1 =E/(R1+ R3) repport dans (1)

E[-R1/(R1+ R3) + R2/(R2+ R4)]=Eth ;

Eth = E [(R2 R3-R1 R4) / ((R1+ R3) (R2+ R4))]

intensité dans la branche BC, dans R5 : I = Eth /(Rth+R5)

I a le sens de B vers C si R3R2 >R1 R4

I est nul si R3R2 -R1 R4 =0

R3R2 =R1 R4 .



Un solide repose sur un plan incliné d'un angle a par rapport à l'horizontale.

  1. Les frottements étant nuls, il est maintenu par un ressort de raideur k. Etudier cet équilibre et en déduire l'expression de l'allongement du ressort noté x en fonction des différents paramètres, masse M, k, a et l'accélération de la pesanteur g.
  2. On suppose maintenant l'existence de frottements. Le ressort étant supprimé, étudier le nouvel équilibre et en déduire la valeur minimale du coeficient de frottement f qui assure l'immobilité du solide sur le plan.

M=1 kg ; a =30° ; g=9,81 m/s² ; k=2000 N/m.


corrigé

T= Mg sin a

la tension et l'allongement du ressort sont proportionnels T=kx

kx=Mg sin a ; x= Mg sin a /k

x =1*9,81 *sin 30 / 2000 =2,45 10-3 m = 2,45 mm.

f = Mg sin a = 1*9,8*sin 30 = 4,9 N.



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