A aspect statique :

On d�sire d�terminer la constante de raideur k d'un ressort (R) � spires non jointives. Accroch� verticalement � une potence le ressort poss�de une longueur l₀=6,3 cm. On suspend � l'extr�mit� libre un petit solide de masse m=50 g, le ressort mesure alors l₁=9,8 cm.

1. Repr�senter les forces appliqu�es sur le solide.
2. D�terminer la valeur de k, un raisonnement construit est attendu.

B aspect dynamique :

On r�alise maintenant un oscillateur dynamique constitu� :

- D'un solide (S) de centre d'inertie G et de masse m inconnue pouvant glisser sur un axe horizontal.

- Du ressort (R) de constante de raideur k et de masse n�gligeable par rapport � m.

 

Lorsque le solide (S) est � l'�quilibre, le point G se situe en G₀, � la verticale du point O, choisi comme origine. On �carte le solide de sa position initiale puis on le l�che. Un oscilloscope � m�moire permet d'enregistrer les variations de l'abscisses x du point G en fonction du temps. A une date quelconque on d�clenche l'enregistrement. On obtient la figure ci-dessous. Les frottements sont n�gligeables sur la dur�e de l'�tude.

1. Etablir l'�quation diff�rentielle v�rifi�e par x(t). On pourra utiliser l'�criture simplifi�e x'=dx/dt et x'' = d�x/dt�.
2. La solution de cette �quation est de la forme x(t) = X_m cos(w₀t+j).
   - Etablir l'expression de la pulsation propre w₀ en fonction de m et k.
   - En d�duire l'expression de la p�riode propre T₀ ; graphiquement trouver la valeur de T₀.
   - En d�duire la valeur de la masse m du solide S.
3. D�terminer graphiquement la valeur de la phase � l'origine j.
4. D�terminer l'expression litt�rale de la vitesse v(t). En d�duire la valeur de la vitesse V₀ � t=0.

C aspect �nerg�tique :

1. Quelle caract�ristique pr�sente l'�volution de l'�nergie potentielle de pesanteur E_pp du syst�me { solide ressort} ? Justifier. Dans la suite on convient quelle est nulle gr�ce � un niveau de r�f�rence correctement choisi.
2. Etablir l'expression en fonction du temps de l'�nergie potentielle �lastique E_pk du ressort et de l'�nergie cin�tique E_c du solide.
3. D�montrer que l'�nergie m�canique du syst�me {solide ressort} est constante. Calculer sa valeur.

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corrig�

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k(l₁-l₀)= mg soit k = mg / (l₁-l₀) = 0,05*9,8/((9,8-6,3) 10^-2) = 14 N/m.

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soit x" + k/m x = 0 on pose w₀�= k/m.

d'apr�s le graphe T₀ = 1,5 s. T₀ = 2p/w₀ soit w₀ = 2p/ T₀ = 6,28 / 1,5 = 4,187 rad/s

m= k/w�₀ = 14/4,187�= 0,8 kg.

� t=0, x(0) = -5 cm ; l'amplitude vaut X_m=10 cm

x0) = -5 = 10 cos( 4,187 *0 + j)

cos j = -5/10 = -0,5 soit j = 2,094 rad ou j = -2,094 rad.

vitesse : d�riv�e de x(t) par rapport au temps : v(t) = -X_m w₀ sin(w₀t+ j)

la vitesse correspond au coefficient directeur de la tangente � la courbe x(t) � la date consid�r�e :

or � t=0 la vitesse V₀ est n�gative.

V₀= -0,1 *4,187 sin j = -0,4187 sinj d'o� le choix de j = 2,094 rad.

V₀= - 0,4187*0,866 = -0,363 m/s.

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le solide (S) se d�place sur un plan horizontal : l'�nergie potentielle de pesanteur est donc constante.

On choisit ce plan comme origine de l'�nergie potentielle de pesanteur : alors E_pp=0.

�nergie cin�tique de (S) : E_c= �mv� = � X�_m m w�₀ sin�(w₀t+ j) = �X�_m k� sin�(w₀t+ j)

�nergie potentielle �lastique : E_pk= �kx�= �kX�_m cos�(w₀t+j)

�nergie m�canique : E_M= E_pk+ E_c= �kX�_m ( sin�(w₀t+ j)+cos�(w₀t+j))= �kX�_m

E_M= 0,5*14*0,1�= 0,07 J.

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Une plan�te P de masse M_P de notre syst�me solaire poss�de un satellite naturel S de masse m_S dont le mouvement dans un rep�re " plan�tocentrique " peut �tre consid�r� comme circulaire et uniforme. Rayon r = 1,2 millions de km ;

p�riode T= 16 jours.

1. Par comparaison avec un rep�re g�ocentrique, d�finir ce qu'est un rep�re plan�tocentrique.
2. On peut d�montrer la relation T�/r³=4p�/(GM_P), quel nom porte cette relation ?
3. Par un calcul adapt� trouver le nom de la plan�te.

Donn�es : G= 6,67 10^-11 S.I ; M_terre= 6 10²⁴ kg

plan�te	mercure	v�nus	terre	mars	jupiter	saturne	uranus	neptune
MP/Mterre	0,06	0,82	1	0,11	318	94	15	17

On dispose d'un laser H�lium-N�on de longueur d'onde l= 632,8 nm, d'un �cran et de fentes de diff�rentes �paisseurs. On envoie le faisceau de lumi�re sur l'�cran. On intercale ensuite, sur le trajet du rayon, une fente verticale de largeur a situ�e � la distance D de l'�cran. On observe sur l'�cran une tache centrale lumineuse de largeur L nettement sup�rieure � a, ainsi qu'une s�rie de taches plus petites de part et d'autre de la tache centrale.

1. R�aliser un sch�ma l�gend� du montage exp�rimental et notamment, veiller � bien repr�senter l'orientation de la fente et celle de la distribution des t�ches observ�es sur l'�cran.
2. Comment se nomme le ph�nom�ne observ� ? Quelle propri�t� de la lumi�re affecte-t-il ?
3. Quelle est la condition sur la largeur a pour pouvoir observer ce ph�nom�ne ?
4. L'angle sous lequel est vue la moiti� de la tache centrale depuis le centre de la fente diffractante est donn� par la relation q =l/a. En utilisant l'approximation des petits angles q (rad) voisin tan q , �tablir que la largeur de la tache centrale est donn�e par la relation L=2lD/a
5. On r�alise deux mesures dont les r�sultats sont regroup�s dans le tableau suivant :

   	mesure n�1	mesure n�2
   largeur de la fente (mm)	a1=0,04	a2=0,1
   largeur de la tache centrale (cm)	L1=5	L2=2

   Montrer que ces r�sultats sont en accord avec la relation L=2lD/a. En d�duire la valeur de 2lD.
6. On garde la m�me distance D et on remplace la fente par un cheveu de diam�tre F fix� verticalement sur un support. On observe alors sur un �cran une figure semblable dont on mesure la largeur de la tache centrale L=2,5 cm. D�terminer le diam�tre F du cheveu.

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corrig�

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le ph�nom�ne de diffraction prouve que la lumi�re est une onde ( �lectromagn�tique)

la largueur a de la fente doit �tre de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde l.

L₁a₁ = 5 10^-2 * 4 10^-5 = 2 10^-6 m�.

L₂a₂ = 2 10^-2 * 10^-4 = 2 10^-6 m�.

L₁a₁ = L₂a₂ : la relation pr�c�dente est donc v�rifi�e.

diam�tre F du cheveu : F *2,5 10^-2 = 2 10^-6 soit F = 2 10^-6 / 2,5 10^-2 = 8 10^-5 m = 80 mm.

On souhaite d�terminer la concentration c₀ d'une solution S₀ d'acide nitrique (H₃O⁺ + NO₃^-)

1. On dilue 10 fois cette solution ( soit C₁ la concentration de la solution fille not�e S₁). Expliquer comment proc�der pour obtenir 100 mL de solution fille, pr�ciser la verrerie utilis�e.
2. On dose la solution S₁ par une solution d'hydroxyde de sodium S de concentration C= 0,1 mol/L. On mesure la conductance G pour diff�rents volumes V de solution S vers�e. On trace la courbe G=f(V).

   - Faire le sch�ma l�gend� du dosage.
   - Ecrire l'�quation de la r�action mise en jeu lors du dosage.
   - Justifier l'allure de la courbe. Il est pr�ciser que la conductivit� molaire ionique l _H3O+ et l _HO- >> l _Na+.
   - R�aliser une construction permettant de d�terminer le volume � l'�quivalence puis d�terminer la concentration de la solution S₀.
   - Pourquoi est-il n�cessaire de diluer la solution initiale S₀ ?

esp�ce	densit�	solubilit� dans l'eau	solubilit� dans l'�ther
benzoate de m�thyle		tr�s faible	tr�s grande
alcool		tr�s grande	faible
acide carboxylique		tr�s faible	tr�s grande
ion carboxylate		tr�s grande	tr�s faible
ether	0,74	tr�s faible
eau	1		tr�s faible
autres ions		tr�s grande	tr�s faible

pK_a ( acide carboxylique / ion carboxylate) = 4,2.

A - la mol�cule de benzoate de m�thyle C₆H₅-COO CH₃.

1. Ecrire en utilisant les formules semi-d�velopp�es l'�quation de la r�action associ�e � la formation de l'ester.
2. Pr�ciser les noms de l'acide et de l'alcool utilis�s.

B - synth�se du benzoate de m�thyle : mode op�ratoire.

Dans un ballon surmont� d'un r�frig�rant on introduit un exc�s d'alcool, de l'acide carboxylique ainsi que de l'acide sulfurique. On chauffe le ballon du dispositif pendant un certain temps.

1. Quel nom donne-t-on � ce montage ? Faut-il boucher le tube T ( le r�frig�rant droit)? Justifier.
2. Donner les caract�ristiques de la r�action.
3. Pourquoi chauffe-t-on ? Pourquoi utilise-t-on l'acide sulfurique ?

C- extraction du benzoate de m �thyle.

1. On arr�te la manipulation quand la composition du m�lange r�actionnel n'�volue plus. Que contient le m�lange r�actionnel ?
2. Pour extraire le benzoate de m�thyle du m�lange r�actionnel on utilise le protocole suivant : ajout d' �ther puis prudemment un exc�s d'une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium. Apr�s agitation on observe alors deux phases.
   - Donner la nature de chaque phase. Avec quel dispositif peut-on les isoler ?
   - Ecrire l'�quation de la r�action acido-basique se produisant lors de l'addition de la solution d'hydroxyde de sodium.
   - Quel est l'int�r�t de l'ajout de la solution aqueuse d'hydroxyde de sodium.
   - Ce protocole permet-il d'extraire le benzoate de m�thyle ? Justifier.
3. Lorsqu'on ajoute la solution aqueuse basique, il peut se produire une r�action parasite. Donner son nom. Ecrire l'�quation de la r�action. Peut-on attendre par exemple une nuit avant de r�aliser l'extraction ?

D- Etude de l'�quilibre chimique

Dans le m�lange r�actionnel il a �t� introduit 1 mol d'acide carboxylique et 1,44 mol d'alcool. Quand le m�lange r�actionnel n'�volue plus, gr�ce � une extraction m�ticuleuse on r�cup�re ( sans perte de produit chimique) 108,8 g de benzoate de m�thyle.

1. Calculer l'avancement final, dresser un tableau d'avancement.
2. Calculer la valeur K de la constante de cet �quilibre.
3. Sachant que cet �quilibre d'est�rification admet pour valeur de la constante d'�quilibre K₁=4 avec un alcool primaire et K₂ = 2,25 avec un alcool secondaire, proposer une explication � cette valeur K atypique.