Aurélie dec 04

Pendule dans un champ de pesanteur fictif

oscillateur harmonique ; cellule photoélectrique ; bobine.

d'après concours technicien météo 96.

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Une sphère conductrice S assimilable à un point matériel de masse m= 2 g et portant une charge q= 2 10-7 C, est suspendue en un point fixe O fixe par l'intermédiaire d'un fil isolant inextensible, de masse négligeable et de longueur L= 10 cm. Le pendule ainsi constitué est placé entre deux armatures métalliques A et B, planes et horizontales, de grandes dimensions, distantes entre elles de d= 20 cm. Le point de suspension O est situé à une distance a= 5 cm au dessus de l'armature supérieure A. On applique entre les armatures une différence de potentiel UAB= 2000 V, créant alors entre A et B un champ électrique uniforme E. g= 10 m/s².

  1. Faire le bilan des forces s'exerçant sur la sphère S.
  2. Après avoir rappelé la période d'un pendule simple dans les cas des petites oscillations, on admettra que la période du pendule constitué a une expression semblable dans laquelle il suffit d'ajouter au champ de pesanteur terrestre un champ de pesanteur fictif crée par le champ électrique.
    - Déterminer l'expression de ce champ de pesanteur fictif en fonction de q, E et m.
    - En déduire la période du pendule décrit.
  3. Le pendule est écarté de sa position d'équilibre d'un angle de 90° et abandonné sans vitesse initiale. Déterminer la vitesse de la sphère et la tension du fil au passage à la verticale.
  4. Le fil casse au passage à la verticale. Déterminer l'équation et la nature de la trajectoire de S après la rupture du fil, dans un repère dont l'origine est la position d'équilibre du pendule.
  5. Quelle est la durée du mouvement, jusquau moment où S touche l'armature.

corrigé
La sphère est soumise à son poids, à la tension du fil et à une force électrique.Le champ électrique E pointe vers le plus petit potentiel ; la charge q étant positive, force et champ électrique sont colinéaires et de même sens.

champ de pesanteur fictif : g1 = g + qE/m

avec g=10 m/s² ; q= 2 10-7 C ; m = 2 10-3 kg ; E= UAB/d = 2000 / 0,2 = 104 V m-1.

g1 = 10 + 2 10-7 *104 /2 10-3 = 11 m/s².

période de ce pendule simple : T= 2p (L/g1)½ = 6,28 *(0,1/11)½ = 0,6 s.


Au départ l'énergie du pendule est sous forme potentielle ( l'origine de l'énergie potentielle est prise en S, position d'équilibre) et vaut E initiale = mg1L

Au passage à la position d'équilibre l'énergie est sous forme cinétique : Efin = ½mv²

Cette énergie se conserve : mg1L =½mv² ; v² = 2g1L = 2*11*0,1 = 2,2 ; v= 1,48 m/s.

Ecrire la seconde loi de Newton suivant l'axe n de la base de Frenet ; l'accélération est centripète aN= v²/L

T- mg - qE = maN= mv²/L

T= mg + qE + mv²/L= mg1+mv²/L = m(g1+v²/L)=m(g1+2g1)=3mg1= 6 10-3*11= 6,6 10-2 N.


trajectoire : arc de parabole ; y=½g1x²/v0²

la sphère touche l'armature B à la date t1 :t1²= 2y/g1= 0,1/11 =9,1 10-3 ; t1 = 9,5 10-2 s.





Oscillateur mécanique
  1. Un mobile de masse m= 0,65 kg se déplaçant sur un banc à coussin d'air horizontal, est maintenu entre deux ressorts identiques, tendus entre deux points S et S'. Chaque ressort de masse négligeable, a pour coefficient de raideur k= 13 N/m et pour longueur à vide l0=15 cm. Quand le mobile est à l'équilibre, chaque ressort a une longueur égale à l=18 cm. Déterminer les forces exercées par les ressorts sur le mobile à l'équilibre.
  2. On écarte le centre d'inertie G de ce mobile de sa position d'équilibre O en l'amenant en un point B d'abscisse OB=2 cm puis on l'abandonne sans vitesse initiale. La position de G à une date t est repérée par son abscisse x. Montrer que l'ensemble constitue un oscillateur harmonique dont on déterminera la période propre T0.
    - En prenant comme origine des dates l'instant où le mobile est abandonné sans vitesse initiale, déterminer la loi horaire du mouvement de G.
    - Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec du mobile en translation à une date t.
    - A quelles dates cette énergie cinétique est-elle maximale ? Quelles sont alors les abscisses correspondantes de G ?
    - A quelles dates l'énergie cinétique est-elle égale à la moitié de sa valeur maximale ? Quelles sont les abscisses correspondantes de G ?

corrigé

valeur de chaque tension T=T'=k(l-l0)= 13*(18-15)=13*0,03 =0,39 N.

Le poids et l'action de la table se neutralisent. Ecrire la seconde loi de Newton sur l'axe O i :

T'-T= mx" avec T'= k(l-x) et T= k(l+x)

k(l-x) - k(l+x)= mx" ; -2kx = mx" ; mx"+2kx=0 ; x" + 2k/m x = 0 ; on pose w²= 2k/m ;

on retrouve l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de période T0= 2p( m/ (2k)½.

T0= 6,28 ( 0,65 / 26)½ =0,993 s.

loi horaire du type : x(t) = xmax cos( w t+j) avec xmax = 0,02 m et w = (2k/m )½ = 6,32 rad/s.

à t = 0 x(0) = 0,02 ; 0,02 = 0,02 cos j ; 1 = cos j soit j=0

x(t) = 0,02 cos( 6,32 t)


énergie cinétique Ec = ½mv²

avec v = dx/dt = x' = 0,02*6,32(-1)sin(6,32t) = - 0,126 sin(6,32t)

Ec = 0,5 * 0,65 (- 0,126 sin(6,32t)² = 5,2 10-3 sin²(6,32 t).

l'énergie cinétique est maximale lorsque le mobile passe par la position d'équilibre ( l'énergie potentielle élastique est nulle)

Ec max entraîne sin (6,32 t)=1 soit 6,32 t =p/2 = 1,57 ( p)

t 1= 0,248 s = 0,25 T0; t n = 0,248 + np/6,32 avec n=1 , 2 , 3 ...


l'énergie cinétique est égale à la moitié de sa valeur maximale aux dates suivantes :

sin²(6,32 t) = 0,5 ; sin(6,32 t) = 0,707

6,32 t = 0,25 p + 2np et 6,32 t = p -0,25 p + 2np = 0,75 p + 2np

t = 0,124 +0,994 n = T0/8 + n T0 et t =0,372 +0,994 n = 3T0/8 + n T0 ;

abscisses correspondantes : x1 = 0,02 cos(6,32*0,124) = 0,014 m

x1 = 0,02 cos(6,32*0,372) = -0,014 m ;



cellule photoélectrique

Une cellule photoélectrique constituée d'une surface métallique recouverte de césium est éclairée par un faisceau lumineux de longueur d'onde l=450nm. Un générateur permet de faire circuler les électrons émis par le métal et un microampéremètre mesure l'intensité du courant. Le travail d'extraction du césium est 1,88 eV.

  1. Calculer la longueur d'onde seuil l 0.
  2. Calculer la vitesse avec laquelle l'électron est extrait de la cathode.
  3. La puissance lumineuse qui arrive sur le métal est P= 10-3 W. L'ampéremètre mesure dans ces conditions une intensité i= 5 10-6 A. Calculer le nombre d'électrons arrachés par seconde.
    - Calculer le nombre de photons reçus par le métal par seconde.
    - En déduire le rendement quantique
    h de la cellule.
  4. On augmente la puissance lumineuse reçue par le métal sans changer la fréquence. Montrer sur un diagramme i=f(u) comment varie l'intensité quand P=10-3 W ; P= 2 10-3 W.
  5. La puissance lumineuse reçue par le métal étant constante, on fait varier la fréquence de la radiation reçue par le métal. Comment varie l'intensité du courant si la radiation a la longueur d'onde l <l0 ;
    si la radiation a une longueur d'onde
    l '<l<l0.

h= 6,62 10-34 J s ; c= 3 108 m/s ; e= 1,6 10-19 J ; masse de l'électron m= 9,1 10-31 kg.


corrigé
travail d'extraction du césium: 1,88 eV = 1,88*1,6 10-19 = 3 10-19 J

énergie du photon : E= hc/l0 =3 10-19 d'où l0 =hc/3 10-19=6,62 10-34*3 108/3 10-19= 6,62 10-7 m = 662 nm.

vitesse avec laquelle l'électron est extrait de la cathode :

énergie du photon incident : hc/l =6,62 10-34*3 108/ 450 10-9 =4,41 10-19 J

cette énergie sert à extraire un électron ; l'excédent est emporté par l'électron sous forme d'énergie cinétique :

Ec=½mv² = 4,41 10-19 -3 10-19 =1,41 10-19 J

v²= 2*1,41 10-19 / 9,1 10-31 = 9,7 1011 ; v= 9,85 105 m/s.


nombre d'électrons arrachés par seconde : i / e = 5 10-6 / 1,6 10-19 = 3,12 1013.

photons reçus par le métal par seconde : P l /(hc) = 10-3 * 450 10-9 /(6,62 10-34*3 108)= 2,27 1015.

rendement quantique : nombre électrons émis / nombre photons reçus = 3,12 1013 /2,27 1015 = 1,15 10-2 = 1,15 %.


On augmente la puissance lumineuse reçue par le métal sans changer la fréquence

Si U augmente le nombre des électrons émis et qui atteignent le fil (qui circulent dans le circuit électrique) s'accroît.

Si U est supérieure à une certaine valeur, tous les électrons émis par la plaque atteignent le fil. Il en résulte dans le circuit une intensité de saturation Isat où n est le nombre d'électrons émis pendant l’intervalle de temps D t et e = 1,6 10-19C, la charge élémentaire.

si U < -U0, aucun électron n'atteint le fil.

Plus la puissance lumineuse P reçue par la plaque est importante, plus l'intensité du courant de saturation Isat est grande. P n'a pas d'influence sur le potentiel d'arrêt U0.


La puissance lumineuse reçue par le métal étant constante, on fait varier la fréquence de la radiation reçue par le métal.

Si la radiation a la longueur d'onde l <l0 , alors l'énergie des photons est suffisante pour extraire des électrons du métal .

La puissance lumineuse reçue dépend du nombre N de photons frappant la plaque pendant l'intervalle de temps D t. Pour une lumière monochromatique de fréquence n. P= Nhn/D t = Nhc/(lD t)

P étant constante si l diminue alors N diminue et en conséquence le nombre d'électrons qui atteignent l'anode est plus faible ( i va diminuer pour une tension U fixée)


circuit RL

On réalise le circuit suivant :

Le générateur délivre un courant alternatif de fréquence f= 50 Hz. La tension efficace aux bornes du générateur est Ueff= 20 V. R= 20 W. Les voltmètres V1 et V2 indiquent respectivement U1= 11,5 V et U2 = 11,2 V.

  1. Déterminer la valeur de l'intensité efficace du courant.
  2. Calculer l'impédance de la bobine.
  3. Réaliser la construction de Fresnel.
  4. Calculer la valeur de la résistance r de la bobine et son inductance.
  5. Calculer le déphasage entre la tension aux bornes du circuit et l'intensité qui traverse le circuit.
  6. Calculer la puissance moyenne dissipée par le circuit.

corrigé
U1 eff = R Ieff soit Ieff =U1 eff / R = 11,5 / 20 =0,575 A.

impédance Z de la bobine :U2 eff =Z Ieff soit Z=U2 eff / Ieff = 11,2 / 0,575 = 19,5 W.

Z²= r²+(Lw)²) avec w = 2pf= 314 rad/s.

19,5 ² = r² + 9,86 104

calcul de j : Ueff / Ieff =20 / 0,575 =34,8 W.

Z² = 34,8² + R² - 2*34,8*R cos j ; cos j =(34,8² + R² -Z²) /(2*34,8*R) =0,884 soit j = 27,8°.

de plus cos j = (R+r)/ 34,8 d'où R+r = 34,8 cos j =34,8*0,884 = 30,8 W soit r = 10,8 W.

sin j = Lw/34,8 soit Lw= 34,8 sin 27,8 = 16,2 ; L= 16,2 / w = 16,2 / 314 = 5,1 10-2 H.

La puissance est dissipée par les résistances: P= (R+r)I²eff = (20+10,8)*0,575²= 10,18 W.





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