Aurélie 10/04/06

D'après bac S Inde 2006

analogies électromécaniques.

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 analogies électromécaniques (5 pts)

On considère les deux oscillateurs idéaux suivants (voir figures A et B ci-dessus) : un circuit électrique comprenant :

- une bobine d'inductance L et de résistance négligeable ; un condensateur de capacité C et d'armatures A et B; un interrupteur.

Les conventions d'orientation sont telles que l'intensité du courant est i = dq/dt , q(t) étant la charge instantanée du condensateur, c'est-à-dire celle de l'armature A.

Les conditions initiales du fonctionnement sont les suivantes: à t négatif ou nul, l'interrupteur est ouvert et le condensateur porte la charge q(0) = Q0 à t = 0, on ferme l'interrupteur. On donne L= 0,10 H ; C = 10,0 µF et Q0= 10-4 C.

·un système {solide - ressort} horizontal comprenant :

- un solide (S), de masse m et de centre d'inertie G, glissant sans frottement dans la direction de l'axe O horizontal et d'origine O (voir Figure B) : si (S) est au repos, G est en O ; à un instant quelconque, G est repéré par son abscisse x

- un ressort à spires non jointives de raideur k, de masse négligeable, dont l'une des extrémités est attachée à (S) et l'autre fixée rigidement à un support.

Les conditions initiales choisies sont les suivantes: à l'instant t = 0, la position du centre d'inertie du solide vaut X0 et sa vitesse vx est nulle.

On donne le rapport m/k=1,0.10-2 S.I. et X0 = + 4,0 cm.

I- Oscillateur mécanique

On admet que l'équation différentielle vérifiée par x(t) est md²x/dt² +kx=0 où d²x/dt² désigne la dérivée seconde par rapport au temps de la fonction x(t).

  1. Faire le bilan des forces agissant sur (S). Les représenter sur un schéma.
  2. Retrouver l'équation différentielle du mouvement en précisant la loi physique utilisée.
  3. Quelles que soient les valeurs de A et j, vérifier que x = A.cos(2p t/T+j) est solution de l'équation différentielle précédente si T a une valeur fonction de k et m dont on donnera l'expression. Quelle est l'unité du rapport m/k ? Comment appelle-t-on T ? Quelle est sa valeur numérique ?
  4. En prenant en compte les conditions initiales du début de l'énoncé, montrer que A = X0 et j = 0.

II- Oscillateur électrique

On admet que l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t) est : Ld²q/dt² +q/C=0

On utilise de façon systématique la comparaison entre les deux équations différentielles.

  1. Quelle est la grandeur mécanique correspondant à l'intensité instantanée du courant i(t) ? Quelles sont les grandeurs électriques correspondant respectivement à la raideur du ressort et à la masse du solide (S) ?
  2. En utilisant les similitudes entre les équations différentielles et les conditions initiales, montrer que la charge instantanée du condensateur est q(t) = Q0.cos(2p t/T ). Donner l'expression de T' en fonction des caractéristiques des composants du circuit. Calculer numériquement T'.
  3. Représenter sur deux schémas différents les fonctions x(t) et q(t). Le dessin fait pour t variant de 0 à 2T (ou 2T') peut être approximatif mais on aura soin de bien préciser les points importants: situation à l'origine des temps, extréma, passage par la valeur nulle.
  4. Les oscillateurs réels ne sont pas idéaux. Pourquoi ? Quels sont les phénomènes physiques responsables ?

 




corrigé


(S) est soumise à son poids, vertical, vers le bas, valeur mg, à l'action du support, opposée au poids et à la tension du ressort, horizontale, valeur T=kx

équation différentielle du mouvement : écrire la seconde loi de Newton sur un axe horizontale orienté vers la droite

-kx = md²x/dt² ou d²x/dt² + k/m x=0

Je vérifie que x = A.cos(2p t/T+j) est solution de l'équation différentielle : dériver x par rapport au temps :

x' = -A2p /Tsin (2p t/T+j) ; x" = -A(2p /T)2 cos (2p t/T+j) = - (2p/T)2 x

repport dans l'équation différentielle : - (2p /T)2 x + k/m x=0 doit être vérifiée quelque soit le temps d'où (2p/T)2= k/m

soit T² = (2p)2 m/k ou T= 2p(m/k)½.

unité du rapport m/k : 2p est sans dimension et T , période exprimée en seconde donc m/k s'exprime en s2.

valeur numérique : T= 6,28 ( 10-2)½= 0,63 s.

En prenant en compte les conditions initiales du début de l'énoncé : x(0) = X0 .

A cos(j) = X0 positif conduit à : A= X0 et j = 0.

ou encore sachant que la vitesse initiale est nulle : x'= -A2p /Tsin (2p t/T+j) ; x'(0)= -A2p /Tsin (j) = 0 avec A différent de zéro

sin (j) =0 donne j =0 ou j =p ; cette dernière valeur ne peut pas être retenue car A est positif.


mécanique
électrique
md²x/dt² +kx=0
Ld²q/dt² +q/C=0
x
q
X0
Q0
m
L
k
1/C
grandeur mécanique correspondant à l'intensité instantanée du courant i(t) : i(t) = dq/dt et v(t) = dx/dt

l'intensité correspond à la vitesse.

En utilisant les similitudes entre les équations différentielles et les conditions initiales x(0) = X0 et q(0)= Q0 :

v(t) = x'(t) = -A2p /Tsin (2p t/T) et i(t) = dq/dt conduisent à dq/dt = -A2p /Tsin (2p t/T)

par intégration la charge instantanée du condensateur vaut : q(t) = Acos (2p t/T) avec A= charge initiale = Q0

expression de T' en fonction des caractéristiques des composants du circuit : T' = 2p(LC)½.

valeur numérique : T' = 6,28 (0,1 10-5)½=6,3 10-3 s.

les fonctions x(t) et q(t):

Les oscillateurs réels ne sont pas idéaux : pertes d'énergie ( sous forme de chaleur ) respectivement lors des frottements mécaniques, lors du passage du courant dans les conducteurs électriques (effets joule).







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