Aurélie 05/09/06

 

Résolution des équations différentielles en physique chimie

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 Equation différentielle linéaire du second ordre : ax" + b x' + c x = f(t).

a, b, c sont des constantes ; x", x' respectivement dérivées seconde et première de la fonction x(t) par rapport au temps.


étape 1 : diviser tous les termes par a, afin que le coefficient de la dérivée seconde soit égal à 1.

ax" + b x' + c x = f(t) peut s'écrire : x" + 2l x' + w0² x = f(t). (1)

La solution générale de l'équation différentielle (1) est la somme de la solution générale de l'équation différentielle sans second membre x" + 2l x' + w0² x =0 et d'une solution particulière de (1).


étape 2 : recherche de la solution particulière


solution particulière xpart
f(t) =A est une fonction constante
annuler x" et x' d'où xpart = Aw0².
f(t) fonction sinusoïdale de pulsation wexit. ( dans le cas d'oscillations forcées)
xpart (t) = A cos (wexit t + B)
f(t) est une fonction exponentielle
xpart (t) : exponentielle du même type que f(t)



étape 3 : recherche de la solution générale de l'équation sans second membre x" + 2l x' + w0² x =0


type de solution
x" + w0² x =0 ( oscillateur harmonique)
x(t) = A cos (w0t+B) , A et B sont des constantes
x" - w0² x =0
x(t) = A exp(w0t) + b exp(- w0t)
x" + 2l x' + w0² x =0
Les solutions de cette équation différentielle dépendent du signe du discriminant de l'équation caractéristique associée : r²+2l r +w²0=0

D = 4(l²-w²0)

D <0 frottement faible, régime pseudo-périodique

en posant w = (w²0-l²)½ ; x(t) = exp(-lt) (A cos (wt+j)

D =0, régime critique : x(t) = exp(- w0t) ( At + B)

D >0 ou l²>w²0, régime apériodique

en posant d=(l²-w²0)½ ; x(t) = exp(-lt)[A exp(dt) + b exp(- dt) ]


étape 4 : recherche des deux constantes d'intégration

utiliser les deux conditions initiales ( à t=0) en utilisant la solution générale de l'équation différentielle. 



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