G�othermie : diffusion de la chaleur ; pompe � chaleur ; calcul de la r�sistance thermique d'un mat�riau Concours Caplp externe 2008 En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.

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Diffusion de la chaleur. R�percussion en profondeur des variations de temp�rature annuelle au niveau du sol. On assimile l'�corce terrestre, localement, � un demi-plan positif infini situ� du cot� des x positifs. On consid�re le sol de masse volumique m constante, de chaleur massique c et de conductivit� thermique K. On appelle q(x,t) la r�partition de temp�rature en r�gime permanent en fonction de la profondeur et du temps. La loi r�gissant l'�quation de propagation de la chaleur est : Quel nom porte cette loi ? Loi de Fourier. On cherche une solution � cette �quation de la forme suivante : q(x, t) = q 0-q1 exp(-x/d) cos (wt-x/d) o� d est une constante positive r�elle. On pourra utiliser la notation complexe : q(x, t) = q 0-q1 exp[-x/d +j(wt-x/d)] avec j2=-1. Montrer que q(x, t) = Re(q(x, t)). exp(j(wt-x/d))= cos(wt-x/d) + j sin (wt-x/d) ; q(x, t) = q 0-q1 exp(-x/d ) [cos(wt-x/d) + j sin (wt-x/d)] Re(q(x, t)) = q 0-q1 exp(-x/d ) cos(wt-x/d). Montrer que :   En d�duire que q est solution de l'�quation de propagation (1) si et seulement si : d2=2K / (mcw). Repport dans (1) : mc(q-q0)jw -K(1+j)2/d2 (q-q0) =0 mcjwd2-K(1+j)2 =0 ; j mcwd2-K(1+2j+j2) =0 ; j(mcwd2-2K)=0 cette �galit� est v�rifi�e si : mcwd2=2K d2=2K / (mcw).   Epaisseur de peau. En proc�dant � une �tude dimensionnelle, montrer que d a la dimension d'une distance. En fait d est appel� �paisseur de peau. K ; : conductivit� thermique en W m-1 K-1 ou J s-1 m-1 K-1 m masse volumique en kg m-3 ; c : chaleur massique en J kg-1 K-1 ; w : pulsation en rad s-1. mcw en : J s-1 m-3 K-1 ; d2 en m2 ; d en m�tre. Calculer la p�riode T puis la pulsation w. T = 365 jours = 365*24*3600 s = 3,15 107 s ; w = 2p/T = 6,28 / 3,15 107 =2,0 10-7 rad/s. Calculer d. m = 3,00 103 kg m-3 ; c= 515 J kg-1K-1 ; K = 1,00 J m-1 s-1 K-1. d2=2K / (mcw) = 2 /(3,00 103*515*2,0 10-7) =6,50 ; d=6,5� = 2,55 m. Temp�rature minimale au 1er janvier : qm = -10 �C ; temp�rature maximale au 1er juillet : qM= 30 �C. Montrer que q0 = �(qm +qM) etq0 = �(qM -qm) puis calculer ces valeurs. Pour x=0 et t=0 ( 1er janvier) : q(0,0) = q0-q1 = qm (2). Pour x=0 et t=�T ( 1er juillet) : q(0,�T) = q0-q1cos p =q0+q1 = qM (3). (2)+ (3) donne : q0=�(qm+qM )=10�C ; (3)- (2) donne : q1=�(qM-qm )=20�C.   Pour quelle date, not�e t0, la temp�rature est-elle minimale � une profondeur de 2 m , Calculer cette valeur minimale. Rechercher la valeur du temps qui annule la d�riv�e de q(2,t) par rapport au temps : dq(2,t) /dt = -q1 exp(-2/2,55) (-w)sin(wt0-2/2,55) =0 ; sin(wt0-2/2,55) =0 wt0-2/2,55=0 ; t0=2/(2,55w) = 2/(2,55*2,0 10-7) =3,92 106 s = 45,4 jours ( 15 f�vrier ). Tracer la courbe q(x, t1) pour une date t1 correspondant au 1er mars. t1= 2 mois = T/6 ; wt1 = p /3 ; q(x,t1) = 10-20 exp(-x/2,55) cos(p /3- x/2,55). x(m) 0 0,5 1 1,5 2 3 4 5 8 10 12 15 q(x,t1) �C -0,1 -0,9 -0,76 0 1,2 3,9 6,7 8,3 10,4 10,4 10,2 10 Dans le cas d'un mat�riau homog�ne et isotrope, sans perte thermique � la surface du mat�riau, la quantit� de chaleur trnsmise par conduction thermique � travers une paroi d'�paisseur L pendant une dur�e Dt est : Q = l S Dq D t / L avec : l : coefficient de conduction thermique W m-1 K-1. S : section de la surface d'�change m2. Dq : variation de la temp�rature . Donner l'expression du flux thermique F en fonction de l ,S, Dq et L. F =Q /D t= l/ L S Dq Une autre expression du flux thermique est F = SDq / R, avec R la r�sistance thermique. Donner l'expression et l'unit� de la r�sistance thermique. R = L/ l : L en m�tre ; l en W m-1 K-1 ; R en W-1 m2 K. Calculer la r�sistance thermique d'un mur de b�ton arm� d'�paisseur 15 cm, de surface 17 m2, de temp�rature superficielle int�rieure 20�C et de temp�rature superficielle ext�rieure -4�C : Coefficient de conductivit� thermique du b�ton l = 1,75 W m-1 K-1. Rb�ton = 0,15 / 1,75 = 0,086 W-1 m2 K. Pour renforcer l'isolation thermique de ce mur, deux solutions sont envisag�es : Solution 1 : Ajouter une plaque de platre de 13 mm d'�paisseur et de conductivit� thermique 0,35 W m-1 K-1 accol�e � une plaque de polystyr�ne de 70 mm d'�paisseur et de conductivit� 0,037 W m-1 K-1.  Solution 2 : Ajouter une cloison de brique d'�paisseur 50 mm et de conductivit� 1,15 W m-1 K-1 s�par�e du mur par une couche d'air de 20 mm d'�paisseur et de conductivit� 0,023 W m-1 K-1. D�terminer la solution qui repr�sente la meilleure isolation. La r�sistance thermique d'une paroi est la somme des r�sistances thermiques des diff�rentes couches qui la constituent. Solution 1 : Rplatre = 0,013/0,35 = 0,037 W-1 m2 K ; Rpolystyr�ne = 0,070/0,037 = 1,89 W-1 m2 K. Rb�ton + Rplatre +Rpolystyr�ne = 2,0 W-1 m2 K. Solution 2 : Rbrique = 0,050/1,15 = 0,043 W-1 m2 K ; Rair = 0,020/0,023 = 0,87 W-1 m2 K. Rb�ton + Rbrique +Rair = 1,0 W-1 m2 K. La solution 1 correspondant � la meilleure r�sistance thermique est retenue. Pompe � chaleur : La pompe g�othermique est une machine thermodynamique constitu�e d'un circuit ferm� et �tanche dans lequel circule un fluide frigorig�ne qui subit un changement d'�tat. Le sch�ma de principe de la pompe � chaleur est le suivant : Evaporateur : au contact de la chaleur puis�e dans le sol, le fluide frigorig�ne liquide, se transforme en vapeur. Compresseur : cette vapeur est port�e � haute pression. Condenseur : le liquide frigorig�ne transmet sa chaleur au circuit de chauffage du logement. Le fluide frigorig�ne toujours comprim� devient liquide. D�tendeur : la pression du fluide frigorig�ne est r�duite. Il est pr�t � une nouvelle absorption de chaleur provenant du sous-sol. Comment s'effectue le transfert de chaleur entre deux corps ? Citer deux mode de propagation de la chaleur. Transfert par conduction, convexion et rayonnement. Indiquer deux effets possibles de la chaleur. El�vation de la temp�rature d'un corps sans changement d'�tat physique. Changement d'�tat physique d'un corps. Nommer le changement d'�tat subit par le fluide dans le condenseur. La vapeur se liqu�fie : liqu�faction. Identifier la source chaude et la source froide dans le fonctionnement de la pompe � chaleur. La source chaude re�oit de la chaleur : c'est le local � chauffer. La source froide c�de de la chaleur au fluide : c'est le sous sol. O� la pression est-elle la plus basse ? O� est-elle la plus �lev�e ? Pression �lev�e � la sortie du compresseur ; pression la plus faible � la sortie du d�tendeur.   La pompe � chaleur fonctionne donc entre 2 sources. Le fluide frigorig�ne utilis� dans le circuit ferm� sera assimil� � un gaz parfait de capacit� thermique molaire cp=29,1 J K-1 mol-1. g = 1,4. Le fluide d�crit le cycle thermique suivant : Dans le compresseur : compression adiabatique, la pression passe de p1=105 Pa � p2 = 2 105 Pa ; la temp�rature passe de T1 = 310 K � T2. Dans le condenseur : refroidissement isobare ; la temp�rature passe de T2 � T3 = 330 K. Dans le d�tendeur : d�tente adiabatique, la pression passe de p3= 2105 Pa � p4 =p1= 105 Pa ; la temp�rature passe de T3 � T4 = 271 K. Dans l'�vaporateur : �chauffement isobare jusqu'� la temp�rature passe de T1. Repr�senter l'allure du cycle dans le diagramme de Clapeyron ( p, V). Indiquer par des fl�ches le sens des transformations. D�finir une transformation adiabatique. Le syst�me n'�change pas de chaleur avec l'ext�rieur. On donne l'expression de la quantit� de chaleur dQ �chang�e avec l'ext�rieur par n moles de gaz parfait, au cours d'une transformation quasi-statique �l�mentaire quelconque : dQ = 1/(g-1) (g P dV + VdP). Retrouver l'expression de la loi de Laplace PVg=Cte dans le cadre d'une adiabatique r�versible. dQ =0 donc g P dV + VdP=0 ; g dV/V=-dP/P : g d ln V = -d ln P ; g ln V = -lnP + Cste g ln V +lnP + Cste ; ln Vg +lnP + Cste ; PVg = constante. Montrer que T2 = 378 K. PVg = constante ; Or V = nRT/P d'o� : P1-gTg = constante. P11-gT1g =P21-gT2g ; T2 = T1[P1/P2](1-g)/g ; T2 =310*0,5-0,286 = 378 K Calculer les quantit�s de chaleur �chang�es par une mole de fluide frigorig�ne au cours de chacune des 4 transformations. On note Qc la quantit� de chaleur �chang�e au contact de la source chaude et Qf la quantit� de chaleur �chang�e au contact de la source froide. Lors des transformations adiabatiques : Q12 = Q34=0. Lors des transformations isobares : Q = Cp(Tf-Ti) ; Q23 = Qc =Cp(T3-T2) =29,1(330-378) = -1397 J mol-1. Q41 = Qf =Cp(T1-T42) =29,1(310-271) = 1135 J mol-1. Quelle est la variation de l'�nergie interne du fluide qui d�crit un cycle ? DUcycle = 0 (m�me �tat initial et final) Enoncer le premier principe de la thermodynamique pour un cycle. DUcycle = W + Qf + Qc =0 En d�duire le travail W re�u par une mole de fluide au cours d'un cycle. W = - Qf - Qc =-1135 + 1397 = 262 J mol-1. L'efficacit� de la pompe � chaleur est le rapport de la quantit� de chaleur recherch�e par l'emploi de la pompe � chaleur au cours du cycle au travail re�u par le fluide au cours du m�me cycle. Dans le cas de la pompe � chaleur, quelle est la quantit� de chaleur recherch�e ? Chaleur c�d�e au local. Donner l'expression de l'efficacit� e et la calculer. e= -Qc/W = 1397/262 = 5,3. Proposer une signification de cette valeur. L'eficacit� n'est pas un rendement ; c'est la chaleur c�d�e au local � chauffer par rapport au travail investi.

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