Etude d'une �olienne : l'h�lice concours physique Capes 2009. En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicit�s adapt�es � vos centres d’int�r�ts.

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Fonctionnement de l'h�lice : On fait les hypoth�ses suivantes : - On effectue l'�tude dans un r�f�rentiel R li� au sol et suppos� galil�en - l'air est consid�r� comme un fluide parfait, homog�ne et incompressible de masse volumique � - on suppose le mouvement de l'air stationnaire et � sym�trie de r�volution autour de l'axe de rotation de l'h�lice - la pression � grande distance de l'h�lice est uniforme et �gale � la pression atmosph�rique not�e p0. - la pression garde la m�me valeur sur une section droite du tube de courant du champ des vitesses - les sections SA et SB du tube de courant sont �gales � S et on note la pression pA sur SA et pB sur SB - On n�glige les effets de la pesanteur - l'�coulement �tant turbulent au niveau de l'h�lice, on admet pour simplifier que la vitesse v de l'air est la m�me en z = -e, en z=0 et en z = +e. Ecrire la conservation du d�bit massique DM � travers diverses sections droites du tube de courant et en d�duire deux relations entre S1, S2, S,v , v1 et v2. On note DV(m3 s-1) le d�bit volumique : DM = � DV ; or le d�bit volumique est homog�ne � une section (m2) fois une vitesse (m s-1), d'o� : DM = � DV = � S v. La conservation du d�bit massique conduit � : � S v =� S1 v1= � S2 v2 soit : S v= S1 v1= � S2 v2. En utilisant le th�or�me de Bernoulli entre les section S1 et SA d'une part et entre les sections SB et S2 d'autre part, d�duire l'expression de la pression pA en fonction de p0, �, v1 et v, puis celle de pB en fonction de p0, �, v2 et v. Expression du th�or�me de Bernoulli en r�gime stationnaire : p + ��v2 + �gh = Cste. Les effets de la pesanteur �tant n�glig�s, le terme �gh est nul, d'o� : p +��v2=Cste. Entre les sections S1 et SA : p0+��v12 = pA +��v2 ; pA = p0+��(v12 -v2 ). Entre les sections S2 et SB : p0+��v22 = pB +��v2 ; pB = p0+��(v22 -v2 ). Les vecteurs sont �crits en gras et en bleu. En effectuant un bilan de quantit� de mouvement pour le fluide compris entre les sections SA et SB, �tablir que la force F exerc�e par l'air sur l'h�lice s'�crit : F = ��S( v12 - v22 )ez o� ez est le vecteur unitaire de l'axe z. Commenter. Le cylindre en pointill� brun constitue un syst�me ouvert ; le cylindre central blanc est un syst�me ferm�. Le mouvement de l'air �tant stationnaire : P syst�me ouvert (t+dt) -P syst�me ouvert (t) = 0. P syst�me ferm� (t+dt) -P syst�me ferm� (t) = dP sortant-dPentrant. dP sortant= dMsortantvB = � S vB vB ; dP entrant = dMentrantvA = � S vA vA. Th�or�me de la r�sultante dynamique appliqu� au syst�me ferm� : SFext�rieures = Mdv/dt = d P syst�me ferm� /dt = � S[vB vB -vA vA] = � S[v v -v v] =0. Bilan des forces ext�rieures : ( les forces de pesanteurs sont n�glig�es) - Forces pressantes sur les sections droites du cylindre : pASAez - pBSBez= pASez - pBSez=( pA - pB)Sez la r�sultante de ces m�mes forces sur la paroi lat�rale est nulle. - Force exerc�e par l'�olienne sur l'air -F. Par suite :( pA - pB)Sez- F = � S[vB vB -vA vA] =0. Or pA = p0+��(v12 -v2 ) et pB = p0+��(v22 -v2 ) ; pA - pB = ��(v12 -v22 ) F =��(v12 -v22 )Sez. Cette force est proportionnelle � la diff�rence des carr�s des vitesses amont et aval du vent : l'�olienne doit �tre capable de prendre le maximum de l'�nergie cin�tique du vent. A l'aide d'un bilan pour le fluide compris entre les sections S1 et S2, �tablir une autre relation entre F, DM, v1, v2 et ez. M�me m�thode appliqu�e au tube de courant ferm� s'appuyant sur les sections S1 et S2. La pression p0 est la m�me sur le tube de courant : la r�sultante des forces de pression est nulle. d'o� � [S2v2 v2 -S1v1 v1] = -F ; or DM = � DV = � S v = �S2v2 =�S1v1. F = � DV (v1-v2) = � DV (v1- v2) ez. En d�duire que la vitesse v de l'air au niveau de l'�olienne s'�crit : v = �(v1+v2) D'une part : F =��(v12 -v22 )Sez. ; d'autre part : F = � DV (v1- v2) ez. d'o� : �(v1+v2)S = DV = S v ; v = �(v1+v2) Evaluer la puissance P re�ue par l'h�lice en fonction de �, S, v1 et x= v2 / v1. Le fluide est parfait : il n'y a pas de puissance m�canique perdue. Puissance recue par l'h�lice de la part du fluide : F. v =� DV (v1- v2) v ez.ez = � DV (v1- v2) v =� � DV (v1- v2)(v1+v2) P = � � DV v21 (1-x)(1+x) = � � S1 v31 (1-x)(1+x) or S v = S1 v1 ; S1 = S v /v1 =�S(1+x) ; par suite : P =0,25 � S v31 (1-x)(1+x)2. Loi de Betz : la vitesse de l'air apr�s l'�olienne ne pouvant pas s'annuler, il existe une puissance maximale Pmax que l'on peut extraire de la circulation de l'air. Pour quelle valeur de x la puissance est-elle maximale ? Donner la valeur de Pmax. D�river P par rapport � x puis chercher la valeur de x qui annule cette d�riv�e : 0 = 0,25 � S v31 [ -(1+x)2+2(1+x)(1-x)] ; -(1+x)+2(1-x) =0 ; x = 1/3 ; Pmax =0,25 � S v31 [2/3*16/9] =8/27� S v31. Tracer l'allure des courbes vitesse v(z) et pression p(z) sur le m�me graphique. Commenter. pA = p0+��(v12 -v2 ) ; p +��v2=Cste On observe deux effets antagonistes : Le fluide se d�place du fait de la diff�rence de pression pA - pB = ��(v12 -v22 ) ; plus la vitesse v2 est faible, plus la diff�rence de pression pA - pB est grande. Or v = �(v1+v2) : si la vitesse v2 diminue alors la vitesse v est plus faible. Le rendement de l'�olienne est d�fini comme le rapport de la puissance P fournie par l'air � l'h�lice sur le d�bit d'�nergie cin�tique en amont de l'�olienne : rth = P/Ec. Calculer le d�bit d'�nergie cin�tique DEc � travers la section droite de surface S o� la vitesse est v1. En d�duire le rendement th�orique de l'�olienne en fonction de x. Energie cin�tique �l�mentaire dEc port�e par le volume �l�mentaire cylindrique de section S et de hauteur v1dt : masse correspondant au volume Sv1dt : �Sv1dt dEc = ��Sv1dt v21 = ��S v31 dt d'o� : DEc = dEc /dt = ��S v31. P =0,25 � S v31 (1-x)(1+x)2 ; rth�o =P / DEc =�(1-x)(1+x)2. A.N : �=1,3 kg m-3 ; v1 = 12 m s-1 ; S= 1,4 m2. Calculer Pmax et le rendement associ�. Pmax =8/27� S v31 = 8/27*1,3*1,4*123 =9,3 102 W. rendement : 0,5*2/3*(1+1/3)2 =16/27 = 0,59. A cause des turbulences au niveau des pale, le rendement est plus faible et la puissance peut s'�crire : Pr�elle =�Cp�Sv31 o� Cp est le coefficient de performance. Il d�pend de la f�om�trie, de l'inclinaison des pales et de la vitesse du vent. Montrer que Cp admet une valeur maximale � cause de la loi de Betz. Pth�orique =0,25 � S v31 (1-x)(1+x)2 ; Pr�elle =�Cp�Sv31 Or Pth�orique > Pr�elle d'o� �(1-x)(1+x)2 > Cp. et en rempla�ant x par 1/3 ( puissance maximale) : Cp <16/27. Calculer Cp pour une puissance r�elle de 400 W. Cp = 2Pr�elle /(�Sv31) =800 /(1,3*1,4*123) = 0,25.

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