Aurélie sept 2001

devoirs en terminale S

feu d'artifice bac Amérique du nord 06 / 01

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Pour un feu d'artifice deux fusées doivent être tirées simultanément à partir de deux points O et P situés au sol et séparés par une distance d=45 m. Ces fusées vont exploser à la date t=5s après leur lancement, l'une au dessus de l'autre et mélanger ainsi leur couleurs. La fusée B est tirée du point P avec une vitesse VB verticale. LafuséeA est tirée du point O avec une vitesse VA inclinée d'un angle a par rapport à l'horizontale. Les vecteurs vitesses précédents sont dans le même plan vertical.

L'instant du lancement est choisi comme origine des temps. On négligera les frottements de l'air ainsi que la rotation des fusées sur elles mêmes. On suppose qu'il n'y a pas de vent. On prendra VA = VB = 55 m/s.

  1. Montrer que le vecteur accélération est le même pour les deux fusées. Donner les caractéristiques de ce vecteur ainsi que ces coordonnées dans le repère (O i j ).
  2. En déduire la nature du mouvement de chaque fusée.
  3. Donner dans ce repère les coordonnées des vecteurs positions et des vecteurs vitesses à la date t=0.
    - Donner sans calcul, la nature de la trajectoire de chaque fusée.
  4. Etablir les expressions des coordonnées x et y en fonction du temps de chaque fusée après leur lancement
    - Déterminer l'angle a pour qu'à t=5 s l'explosion de la fusée A se produise à la verticale du point P.
    - Montrer sans calcul numérique que la fusée B explose au dessus de la fusée A.
  5. Les barrières de sécurité pour les spectateurs sont installées à la distance de 110 m des points de lancement O et P. Déterminer par la méthode de votre choix si les spectateurs sont en sécurité lors de la retombée de chacune des fusées en cas de non explosion en alitude.

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corrigé

accélération :

Les deux fusées sont soumises uniquement à leur poids, verticale vers le bas.

La seconde loi de newton s'écrit :

le mouvment des fusées est uniformément varié.


positions et vitesses initiales :

La fusée A est à l'origine du repère et la fusée B se trouve à l'abscisse xB=d=45; son ordonnée yB est nulle.

La fusée B a une trajectoire rectiligne verticale ( vecteur accélération et vecteur vitesse initiale colinéaires)

La fusée A a une trajectoire parabolique


équations horaires :

le vecteur vitesse est une primitive du vecteur accélération

le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse :


explosion des fusées :

les deux fusées se trouvent à l'abscisse xA= xB = 45 m et t=5s.

45 = 55 cos a *5

cos a = 0,163 et a = 80,6 °.

à t=5 s , yB-yA = V t - V t sina = V t(1-sina)

cette différence est positive : donc la fusée B explose 3,7 m au dessus de la fusée A


Les spectateurs sont en sécurité si l'abscisse du point d'impact de la fusée A ( non explosée) est inférieure à 45+110 =155 m

Quant à la fusée B, lancée verticalement, elle retombe en P en cas de non explosion.

trajectoire de la fusée A: on élimine le temps

t = xA / (V cos a) puis repport dans yA:

application numérique :

yA = -0,061 xA² +6 xA.

calcul de yA lorsque xA=155 m

yA = -535

cette valeur étant inférieure à zéro, les spectateurs sont en sécurité.

ou bien calculer l'abscisse de l'impact :

0 = -0,061 xA² + 6xA

xA = 98,4 m

valeur inférieure à 155 m 



à suivre ...

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