Aurélie avril 2001


devoirs en terminale S

Jupiter, les Grecs, les Troyens sujet complémentaire

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satellites

base de Frenet

On a observé dans l'orbite de Jupiter deux amas de petites planètes, surnommées les Grecs et les Troyens..

Soit un système isolé de 2 corps ponctuels identiques, de masse M en interaction gravitationnelle. Ces deux corps ayant initialement ( dans un référentiel lié à O) les vecteurs vitesses représentés sur la figure. On constate que leur mouvement ultérieur sont circulaires uniformes, à la vitesse angulaire W0.

 

  1. Montrer que la vitesse angulaire est W0=(GM / (4R3) ½.
  2. On considère maintenant un troisième corps de masse m << M formant avec les deux autres un triangle équilatéral.

    Faire le bilan des forces agissant sur le corps C dans le référentiel galiléen lié à O. Montrer que ce corps peut être animé d'un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire W0. Le triangle ABC ne se déforme pas au cours de la rotation de ces corps. Trouver sur la figure précédente un autre point pouvant jouir des mêmes propriétés. Pourquoi faut-il supposé m<<M.

  3. Les deux corps placés en A et B ont des masses différentes vérifiant M1>>m et M2>>m. On admet que les résultats concernant le triangle équilatéral restent valables. La masse de Jupiter M1 est le millième de la masse du soleil M2. La distance Jupiter Soleil est pratiquement constante (mouvement circulaire uniforme).
    En tenant compte uniquement des effets de gravitation de ces deux astres sur les astéroïdes, représenter sur une figure les deux amas, Jupiter et le Soleil, et la trajectoire de ces corps dans le référentiel lié au centre d'inertie de l'ensemble.

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corrigé


 

les corps A et B exercent entre eux des forces de gravitation, attractives, proportionnelles aux masses et inversement proportionnelles au carré de la distance ( d=2R) qui les sépare.

O est le centre d'inertie des corps A et B de masse égale à M. Le référentiel d'étude est lié à O.

Ecrire la deuxième loi de Newton suivant l'axe n de la base de Frenet

l'accélération normale est égale à la vitesse au carrée divisé par le rayon du cercle.

Or vitesse linéaire et vitesse angulaire sont liées par la relation v=W0 R.

d'où W0=(GM / (4R3) ½.


le corps C de masse m <<M ne modifie pas la position du centre d'inertie O des corps A et B.

Le référentiel d'étude est lié à O.

Faire la somme vectorielle des forces F1 et F2, force de gravitation de même norme

norme de F1 = GMm / (2R)²

La force F est dirigée vers le centre du cercle O: en conséquence l'accélération tangentielle est nulle et le mouvement du corps C est circulaire et uniforme.

l'accélération normale est 2GM cos 30 / (2R)² = v² / (2R cos30) = W² 2R cos 30.

d'où W²= GM / (4R3)= W²0.

Le point cherché possédant les propriétés de C est le symétrique de C par rapport à O.


La masse du soleil étant 1000 fois plus grande que celle de Jupiter, le centre d'inertie du système Soleil Jupiter est pratiquement confondu avec le soleil. Le soleil est donc le référentiel.

 




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