Math�matiques, Brevet des coll�ges Pondich�ry 2012

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Exercice 1. 
Un ouvrier dispose de plaques de m�tal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur.
Il a re�u la consigne suivante :
�D�coupe dans ces plaques des carr�s tous identiques, dont les longueurs des c�t�s sont un nombre entier de cm, et de fa�on � ne pas avoir de perte. �
1. Peut-il choisir de d�couper des plaques de 10 cm de c�t� ? Justifier votre r�ponse.
Non, car 88 n'est pas un multiple de 10.
 2. Peut-il choisir de d�couper des plaques de 11 cm de c�t� ? Justifier votre r�ponse.
Oui, car 11 est un diviseur � la fois de 110 et de 88.
 3. On lui impose d�sormais de d�couper des carr�s les plus grands possibles.
a. Quelle sera la longueur du c�t� d’un carr� ?
Algorithme d'Euclide :110 =88 +22 ; 88 =4 x22.
Le PGCD de 110 et 88 est �gal � 22.
Les plus grands carr�s ont un c�t� de 22 cm.
 b. Combien y aura-t-il de carr�s par plaques ?
88 /22 =4 ; 110 / 22 =5 ; il y a 4 x5 = 20 carr�s par plaques.
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Exercice 2.
La note de restaurant suivante est partiellement effac�e.
Retrouvez les �l�ments manquants ; en pr�sentant les calculs effectu�s
RESTAURANT � la Gavotte �
4 menus � 16,50 € l’unit� . . . . . .
1 bouteille d’eau min�rale . . . . . .
3 caf�s � 1,20 € l’unit� . . . . . .
Sous total . . . . . .
Service 5,5 % du sous total 4,18 €
Total .....
Le sous-total est �gal � : 4,18 / 5,5 x100=76 €.
Total : 4,18 +76 = 80,18 €.
Caf� : 3 x1,20 = 3,60 €.
Menus : 4 x16,50 = 66 €.
Eau min�rale : 76-66-3,60 =6,4 €.
...




Exercice 3.
Dans un pot au couvercle rouge on a mis 6 bonbons � la fraise et 10 bonbons � la menthe.
Dans un pot au couvercle bleu on a mis 8 bonbons � la fraise et 14 bonbons � la menthe.
Les bonbons sont envelopp�s de telle fa�on qu’on ne peut pas les diff�rencier.
Antoine pr�f�re les bonbons � la fraise.
Dans quel pot a-t-il le plus de chance de choisir un bonbon � la fraise ?
Justifier votre r�ponse..
Couvercle rouge : 6 cas favorables sur 16 cas possibles ; probabilit� de tirer un bonbon � la fraise : 6 / 16 = 3 /8 =0,375.
Couvercle bleu : 8 cas favorables sur 22 cas possibles ; probabilit� de tirer un bonbon � la fraise :
8 / 22 = 4 /11 =0,364.
Le pot au couvercle rouge donne le plus de chance de tirer un bonbon � la fraise.
Exercice 4.
Un jeune berger se trouve au bord d’un puits de forme cylindrique dont le diam�tre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord inf�rieur du puits et le fond du puits pour en estimer la profondeur.
Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.
1. En s’aidant du  sch�ma ci-dessous (il n’est pas � l’�chelle), donner les longueurs CB, FG, RB en m�tres
Cb = 0,20 m ; FG = 0,75 +0,20 = 0,95 m ; RB = 0,80 m.
2. Calculer la profondeur BG du puits.

3. Le berger s’aper�oit que la hauteur d’eau dans le puits est 2,60 m.
Le jeune berger a besoin de 1m3 d’eau pour abreuver tous ses moutons.
En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?
Volume d'eau : p r2 h = 3,14 x0,3752 x2,6 ~1,15 m3.
Il trouve suffisamment d'eau.


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Exercice 5.
Voici la figure � main lev�e d’un quadrilat�re.:
1. Reproduire en vraie grandeur ce quadrilat�re.
 
2. Pourquoi peut-on affirmer que OELM est un losange ?
Les 4 c�t�s du quadrilat�re sont �gaux.
3. Marie soutient que OELM est un carr�, mais Charlotte est s�re que ce n’est pas vrai.
Qui a raison? Pourquoi ?
MB2 = 5,62 = 31,36.
ML2 +BL2 = 42+42 = 32, diff�rent de MB2.
Le triangle BML n'est pas rectangle en L ; le quadrilat�re n'est pas un carr�.

Exercice 6.
R�my dispose de 96 m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle forme donner � son enclos pour que celui-ci ait la plus grande surface possible.
Partie 1.
Sa premi�re id�e est de r�aliser un rectangle avec les 96 mde grillage.
Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que :
- la longueur est le double de la largeur.
- son p�rim�tre est 96 m.
Calculer l’aire de ce rectangle de 96 m de p�rim�tre.
On note x la longueur ; la largeur vaut 0,5 x ; le p�rim�tre s'acrit : 2(x+0,5x) = 3x = 96 ; x = 32 ;
Aire du rectangle = longueur x largeur = 32 x16 = 512 m2.
Partie 2.
Sa deuxi�me id�e est de r�aliser un carr�. Calculer l’aire d’un carr� de 96 m de p�rim�tre.
C�t� du carr� : 96 / 4 = 24 m ; aire du carr� : 24 x24 = 576 m2.


Partie 3.
Sa troisi�me id�e est de r�aliser un hexagone r�gulier.
Le sch�ma � main lev�e ci-contre repr�sente un hexagone r�gulier ABCDEF de 96 m de p�rim�tre. Il est inscrit dans un cercle de centre 0 et de rayon 16 m. Le segment [OH] est une
hauteur du triangle �quilat�ral OBA.

1. Calculer la longueur OH, exprim�e en m. En donner l’arrondi au centim�tre pr�s.
OA = OB : le triangle AOB est isoc�le en O. L'angle AOB mesure 360 / 6 = 60�. Le triangle OAB est �quilat�ral.
La hauteur OH est �galement m�diatrice du c�t� AB.
cos 30 = OH / OB ; OH = OB cos 30 = 16 cos 30 = 16 x0,866 ~13,86 m.
2. Utiliser ce r�sultat pour calculer l’aire du triangle OBA, exprim�e en m2 et arrondi au 1/10.
OH x AB / 2 = 13,86 x16 / 2 = 110,85 ~110,9 m2.
3. En d�duire l’arrondi � l’unit� de l’aire d’un hexagone r�gulier de 96 m de p�rim�tre.
6 x110,85 = 665,1 m2.

Sa quatri�me id�e est de r�aliser un octogone r�gulier de 96 m de p�rim�tre.
La figure suivante repr�sente le plan r�alis� par R�my.
Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteur du triangle isoc�le IMN.
1. V�rifier que MN = 12 m dans la r�alit�.
96 / 8 = 12 m.
2. En prenant pour �chelle 1 cm pour 3 m, repr�senter le triangle IMN, puis le point K. Laisser apparents tous les traits de construction.
3. Mesurer sur votre plan la longueur IK. Combien de m�tres cela repr�sente-t-il dans la r�alit� ?
4,8 x 300 ~ 14,5 m.

4. En d�duire l’aire du triangle MIN, puis, � partir de cette valeur, calculer l’aire d’un octogone r�gulier de 96 m de p�rim�tre.
Aire du triangle IMN : MN x IK / 2 = 12 x 14,5 / 2 =86,9 m2.
Aire de l'octogone r�gulier : 8 x 86,9 ~ 595,3 m2.

Les recherches ont permis � R�my de remarquer que l’aire d’un polygone r�gulier de 96 m de p�rim�tre semble augmenter quand on augmente le nombre de ses c�t�s. Il
imagine qu’un enclos circulaire aurait peut-�tre une surface encore plus grande.
1. Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de p�rim�tre 96 m ?
2 p r = 96 ; r = 96 /(2p) ~ 15,3 m.
2. En d�duire l’aire d’un disque ayant pour p�rim�tre 96 m.
pr2 = 3,14 x15,32 ~733 m2.


  

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