Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du Nord 2012

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Exercice 1. 
Quatre affirmations sont donn�es ci-dessous.
Affirmation 1 : 1 /8 est un nombre d�cimal. Vrai ( 1/8 =0,125)
Affirmation 2 : 72 a exactement cinq diviseurs. Faux.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 9 ; 8 ; 12 ; 24 ;  36 ; 72.
Affirmation 3 : Si n est un entier, (n −1)(n +1)+1 est toujours �gal au carr� d’un entier. Vrai.
(n −1)(n +1)+1 =n2-1 +1 = n2.
Affirmation 4 : Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. Faux.
9 et 27 sont impairs ; ils admettent 9 comme diviseur commun. 9 et 27 ne sont pas premiers entre eux.
Pour chacune, indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant la r�ponse.
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Exercice 2.
Deux classes du coll�ge ont r�pondu � la question suivante :
� Combien de livres avez-vous emprunt�s durant les 12 derniers mois ? �
Les deux classes ont communiqu� les r�ponses de deux fa�ons diff�rentes :
Classe n� 1 : 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7
Classe n� 2 : Effectif total : 25
Moyenne : 4 ; �tendue : 8 ; M�diane : 5.
1. Comparer les nombres moyens de livres emprunt�s dans chaque classe.
Classe n�1 : moyenne = (1 +2  x 4 +3 x8 + 5 x 6 + 3 x7) / 21 =4.
Les moyennes sont identiques.
2. Un � grand lecteur � est un �l�ve qui a emprunt� 5 livres ou plus. Quelle classe a le plus de � grands lecteurs � ?
Classe n�1 : 8 grands lecteurs. La m�diane est �gale  � 3
Classe n� 2 : la m�diane est �gale � 5 ; 25 / 2 = 12,5 , 12 �l�ves sont grands lecteurs.
3. Dans quelle classe se trouve l’�l�ve ayant emprunt� le plus de livres ?
Classe n�1 : �tendue 7-1 = 6.
Classe n�2 : l'�tendue est �gale � 8 ; dans cette classe un �l�ve a emprunt� au moins 8 livres.




Exercice 3.
L�a observe � midi, au microscope, une cellule de bambou.
Au bout d’une heure, la cellule s’est divis�e en deux. On a alors deux cellules.
Au bout de deux heures, ces deux cellules se sont divis�es en deux.
L�a note toutes les heures les r�sultats de son observation.
� quelle heure notera-t-elle, pour la premi�re fois, plus de 200 cellules ?
Temps (heure )
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
Nombre de cellules
 2
 4 = 22
 8 = 23.
 16 = 24.
 25 =32
 26 =64 27 =128 28 =256


Exercice 4.
On a mod�lis� g�om�triquement un tabouret pliant par les segments [CB] et [AD] pour l’armature m�tallique et le segment [CD] pour l’assise en toile.
On a CG = DG = 30 cm, AG = BG = 45 cm et AB = 51 cm.
Pour des raisons de confort, l’assise [CD] est parall�le au sol repr�sent� par la droite (AB).
D�terminer la longueur CD de l’assise.


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Exercice 5.
On consid�re un sablier compos� de deux c�nes identiques de m�me sommet C et dont le rayon de la base est AK = 1,5 cm. Pour le prot�ger, il est enferm� dans un cylindre de hauteur 6 cm et de m�me base que les deux c�nes.
1. On note V le volume du cylindre et V1 le volume du sablier. Tous les volumes seront exprim�s en cm3.

a. Montrer que la valeur exacte du volume V du cylindre est 13,5 p.
V = pr2 h = p x1,52 x 6 = 13,5 p cm3.
b. Montrer que la valeur exacte de V1 est 4,5 p.
Volume des deux c�nes : V1 = 2 /3 x ( pr2 h / 2) =2 / 3 ( p x1,52 x 3 )=2 xp x1,52 =4,5 p cm3.
c. Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sablier occupe-t-il ?
(On donnera le r�sultat sous la forme d’une fraction irr�ductible).
4,5 / 13,5 = 1 / 3.
2. On amis 12 cm3 de sable dans le sablier.
Sachant que le sable va s’�couler d’un c�ne � l’autre avec un d�bit de 240 cm3 /h, quel temps sera mesur� par ce sablier ?
12 / 240 = 0,05 heure ou 0,05 x60 = 3 minutes.

Exercice 6.
Construire un carr� dont l’aire est �gale � la somme des aires des deux carr�s repr�sent�s ci-dessous.

Construire un triangle rectangle dont les c�t�s de l'angle droit mesurent 2 et 4 cm.
Construire un carr� dont l'un des c�t�s est l'hypoth�nuse de ce triangle.


Exercice 7.
Dans un coll�ge de Caen (Normandie) est organis� un �change avec le Mexique pour les �l�ves de 3e qui �tudient l’espagnol en seconde langue.
Partie 1 - L’inscription des �l�ves
Le tableau ci-dessous permet de d�terminer la r�partition de la seconde langue �tudi�e par les 320 �l�ves de 4e et de 3e de ce coll�ge.
Secone langue �tudi�e
 4e
 3e
 Total




Espagnol
 84
 162-84 =78
 320 -112 -46 =162
Allemand
 22
 24
 22+24=46
Italien
 62
 50
 50+62 = 112
Total

320

1. Combien d’�l�ves peuvent �tre concern�s par cet �change ? 78.
2. 24 �l�ves vont participer � ce voyage. Est-il vrai que cela repr�sente plus de 12% des �l�ves de 3e ?
12 *162 / 100 = 19,44 ( 19 �l�ves). 24 / 162 x100 = 14,8 %.
24 �l�ves repr�sentent 14,8 % des �l�ves de 3e.

Partie II - Le financement
Afin de financer cet �change, deux actions sont mises en oeuvre : un repas mexicain et une tombola.
1. Le repas mexicain, o� chaque participant paye 15 €.
Au menu, on trouve un plat typique du Mexique, le Chili con carne.
Recette pour 4 personnes
50 g de beurre 500 g de boeuf hach�
2 gros oignons 65 g de concentr� de tomate
2 gousses d’ail
30 cl de bouillon de boeuf 400 g de haricots rouges
50 personnes participent � ce repas.
a. Donner la quantit� de boeuf hach�, de haricots rouges, d’oignons et de concentr� de tomate n�cessaire.
500 x50 / 4 = 6 250 g = 6,25 kg de boeuf.
400 x50 / 4 = 5000 g = 5 kg de haricots.
2 x50 / 4 = 25 oignons.
65 x50 / 4 = 812,5 g de concentr� de tomate.
b. Les d�penses pour ce repas sont de 261 €, quel est le b�n�fice ?
50 x15 -261 =489 €.
2. La tombola, o� 720 tickets sont vendus au prix de 2 €.
Les lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accept� de sponsoriser le projet.
Il y a trois lots � gagner : un lecteur DVD portable, une machine � pain et une mini-cha�ne Hifi.
Un �l�ve ach�te 1 ticket.
a. Quelle probabilit� a-t-il de gagner l’un des lots ?
3 cas favorables sur 720 possibles ; la probabilit� de gagner est 3 / 720 = 1 / 240~0,0042.
b. Quelle probabilit� a-t-il de gagner la mini-cha�ne Hifi ?
 1 / 720.
3. Montrer que la somme r�cup�r�e par les deux actions est de 1 929 €.
720 x 2 + 489 = 1929 €.

Partie II - Le voyage
Le voyage se d�compose en deux parties : le trajet Caen-Paris (256 km) se fait en bus puis le trajet Paris-Mexico (9 079 km) en avion.
1. Le prix d’un billet d’avion aller-retour co�te 770,30 € par personne.
L’argent r�colt� par le repas mexicain et la tombola permet de r�duire �quitablement ce prix pour les 24 �l�ves participants.
Quelle est la participation demand�e par �l�ve pour les billets d’avion ? (arrondir � l’unit�).
1929 / 24 = 80,375 €.
770,30 -80,375 = 689,925 ~690 €.
2. Le d�collage se fait � 13 h 30. Cependant, les �l�ves et les accompagnateurs doivent �tre imp�rativement � l’a�roport de Paris-Roissy � 11 h 30.
On estime la vitesse moyenne du bus � 80 km/h. Jusqu’� quelle heure peut-il partir de Caen ?
Dur�e du voyage en bus : 256 / 80 = 3,2 heures ou 3 h 12 min.
11 h30. -3 h 12 = 8 h 18 min.
3. L’avion arrive � Mexico � 17 h 24 heure locale. Il faut compter 7 heures de d�calage avec la France.
a. Quelle est la dur�e du trajet ?
 7 h + 17 h24 - 13 h30 = 7 h + 3 h 54 min = 10 h 54 min.
b. Quelle est la vitesse moyenne de l’avion? (arrondir � l’unit�)
54 / 60 = 0,9 h ; dur�e du voyage : 10,9 h ; vitesse moyenne : 9079 / 10,9 ~833 km /h.


  

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