Math�matiques,
Brevet des coll�ges Asie 2012
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d’int�r�ts.
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Exercice 1.
Le
tableau ci-dessous a �t� construit en comptant les fr�quences des 26
lettres de l’alphabet dans un texte fran�ais de 100 000 lettres compos�
de textes de Gustave Flaubert, de Jules Verne et de trois articles de
l’Encyclopedia Universalis.
Lettre
|
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
J
|
K
|
L
|
M
|
Fr�quence
(%)
|
8,4
|
1,06
|
3,03
|
4,18
|
17,26
|
1,12
|
1,27
|
0,92
|
7,35
|
0,31
|
0,05
|
6,01
|
2,96
|
Lettre
|
N
|
O
|
P
|
Q
|
R
|
S
|
T
|
U
|
V
|
W
|
X
|
Y
|
Z
|
Fr�quence
(%)
|
7,13
|
5,26
|
3,01
|
0,99
|
6,55
|
8.08
|
7,07
|
5,74
|
1,32
|
0,04
|
0,47
|
0,30
|
0,12
|
1. Quelles sont
les cinq lettres les plus fr�quentes ? E,
A, S, I, N.
2. Repr�senter
graphiquement la r�partition des voyelles et des consonnes.
Nombre de voyelles : 1000 (8,4 +17,26 +7,35 +5,26 +5,74+0,30) =44310 (
44,3 %)
nombre de consonnes 100 000 -44310 = 55690 ( 55,7 %).
3. Si toutes les
lettres avaient la m�me fr�quence d’apparition, quelle serait cette
fr�quence ?
1 / 26 = 0,0385 ou 3,85 %.
Exercice 2.
Dans un jeu de soci�t�, les jetons sont des supports de format carr�,
de m�mes couleurs,
sur lesquels une lettre de l’alphabet est inscrite. Le revers n’est pas
identifiable.
Il y a 100 jetons. Le tableau ci-dessous donne le nombre de jetons du
jeu pour chacune des voyelles
Lettres
du jeu
|
A
|
E
|
I
|
O
|
U
|
Y
|
Effectif
|
9
|
15
|
8
|
6
|
6
|
1
|
On choisit au hasard une
lettre de ce jeu.
1. Quelle est la
probabilit� d’obtenir la lettre I ?
8 cas favorables sur 100 possibles ; 8 / 100 = 0,08.
2. Quelle est la
probabilit� d’obtenir une voyelle ?
Le jeu compte 45 voyelles sur 100 jetons : 0,45.
3. Quelle est la
probabilit� d’obtenir une consonne ?
1-0,45 = 0,55.
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Exercice 3.
On consid�re la fonction f d�finie par : f (x) = −5x
+1
1. Calculer
l’image de −3 par f .
f(-3) = -5 x(-3) +1 = 15+1 = 16.
2. Calculer
l’ant�c�dent de 4 par f .
4 = -5x+1 ; 5x = 1-4 = -3 ; x = -3/5 = -0,6.
Exercice 4. QCM.
1. Racine carr�e
(50) = racine carr�e ( 2 x25) =racine carr�e (2 x52) =
5 x racine carr�e (2). R�ponse A.
2. Quel que soit x,
on a : (2x-1)2 = 4x2 -4x+1. R�ponse C.
3. Le PGCD de 91 et
119 est :
Algorithme d'Euclide : 119 = 91 +28 ; 91 = 28 x 3 +7 ; 28 = 7 x4.
Le PGCD de 119 et 91 est 7. R�ponse B.
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Exercice 5.
La
terrasse est repr�sent�e par le segment [DN] elle est horizontale et
mesure 4 m�tres de longueur. Elle est construite au-dessus d’un terrain
en pente qui est repr�sent� par le segment [DP] de longueur 4,20 m.
Pour cela, il a fallu construire un mur vertical repr�sent� par le
segment [NP].
1. Quelle est la
hauteur du mur ? Justifier. Donner l’arrondi au cm pr�s.
NP2 = DP2-DN2 = 4,22 -42
= 1,64 ; NP = 1,28 m.
2. Calculer
l’angle� � compris entre la terrasse et le terrain en pente. (Donner
l’arrondi au degr� pr�s)
cos � = DN / DP = 4 / 4,2 ~0,952 ; � = 17,75 ~18�.
Exercice 6.
Soit ADU un triangle repr�sent� ci-dessous, F un point de [AD], C un
point de [AU]. L’unit� de longueur est le centim�tre.
On donne AF = 3 ; FD = 1,5 ; AC = 2 ; AU = 3
Sur la figure, les dimensions ne sont pas respect�es.
1. D�montrer que
les droites (FC) et (DU) sont parall�les.
2. calculer l'aire
du triangle ADU.
Pour passer du triangle AFC au triangle ADU, le coefficient
multiplicateur est 1,5.
Donc UH = CK x1,5 = 1,6 x1,5 = 2,4 cm.
Aire du triangle ADU : HU x AD / 2 = 2,4 x4,5 / 2 = 5,4 cm2.
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Exercice 7.
Le
parc vous accueille dans une entr�e-billetterie : c’est un pav� droit �
base carr�e surmont� d’une coupole semi-sph�rique, repr�sent�
ci-dessous.
Partie 1 - Ouvert
depuis quelques ann�es, ab�m� par les intemp�ries, ce b�timent doit
�tre repeint.
Toutes les surfaces ext�rieures sont repeintes, c’est-�-dire :
• les 4 faces lat�rales du pav� droit ;
• la partie plane du toit (parties gris�es sur la figure) ;
• la coupole semi-sph�rique.
1. Sachant que les
ouvertures (portes et fen�tres, non repr�sent�es sur la figure)
occupent une surface de 18 m2,montrer que l’aire totale des
surfaces � peindre est d’environ 168 m2.
Surface lat�rale du pav� droit : 4 x7 x3,5 = 98 m2.
Aire hachur�e :: 7 x7 - 3,14 x3,52 = 10,52 m2.
Aire de la demi-sph�re : 2 x3,14 x3,52 = 76,97 m2.
Aire des surfaces � repeindre : 98 + 10,52 +76,97 -18 = 167,48 ~168 m2.
2. Compl�ter la
facture � l’aide des informations fournies ci-dessous :
• Un pot de 10 L de peinture permet de couvrir une surface de 40 m2
;
• Le co�t d’un pot de 10 L de peinture est de 400 €;
• Un ouvrier peint une surface de 42 m2 � l’heure.
Quantit�
|
D�signation
|
Prix
unitaire ( €)
|
Prix
total (€)
|
5
|
pots
d'antirouille
|
500,00
|
5
x500 = 2500
|
168
/ 40 = 4,2 ( 5 )
|
pots
de peintue
|
400,00
|
5
x400 = 2000
|
2
couches de peinture ( antirouille + peinture )
2 (168 / 42) = 8
|
heures
main d'oeuvre
|
35,00
|
8
x35 =280
|
Total
HT
|
4780
|
TVA
19,6 %
|
4780
x0,196 =936,88
|
Total
TTC
|
4780+936,88
= 5716,88
|
Partie II -�
l’entr�e du parc d’ani-math-ion figurent les informations suivantes :
Entr�e adulte : 12 € Ouvert de 9 h � 18 h
Entr�e enfant : 7 € Derni�res entr�es � 17 h
Forfait famille (sur pr�sentation du livret de famille) : 35 € Ferm� le
lundi.
1. Le forfait
famille
a. Est-il
int�ressant pour un couple et leur enfant de 8 ans de prendre le
forfait famille ?
Sans forfait : 12 x2 +7 =31 €.
Avec le forfait : 35 €. Il ne faut pas prendre ce forfait.
b. � partir de quel
nombre d’enfants, un couple a-t-il int�r�t � choisir le forfait famille
?
On note a le nombre d'enfants. 2 x12 + 7 a >35 ; 7a >35,24 ; 7a
>11 ; a > 11/7 ; a > 2.
2.
Au cours d’une journ�e, 89 forfaits famille ont �t� vendus pour 510
personnes.
a. D�terminer la
recette correspondante.
89 x35 = 3115 €.
b. Quel est le prix
moyen par personne ?
3115 / 510 = 6,11 €.
3. Au cours de
cette m�me journ�e, 380 personnes n’ont pas utilis� le forfait famille
pour une recette correspondante de 3 660 €. D�terminer le nombre
d’entr�es adultes et le nombre d’entr�es enfants vendues lors de cette
journ�e.
On note a le nombre d'enfants ; nombre d'adultes : 380-a ;
(380-a) x12 + 7 a = 3660 ; 4560 -12a + 7a =3660 ;
4560 -3660 = 5a ; 900 = 5 a ; a = 900 / 5 = 180 enfants et 200 adultes.
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