Math�matiques,
Brevet des coll�ges Centres �trangers 2012
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Exercice 1.
1. Calculer :
2. Au go�ter, Lise mange 1 / 4 du paquet de g�teaux qu’elle vient d’ouvrir.
De
retour du coll�ge, sa soeur Agathe mange les 2 / 3 des g�teaux restants
dans le paquet entam� par Lise. IL reste alors 5 g�teaux.
Quel �tait le nombre initial de g�teaux dans le paquet ?
On note a le nombre de gateau.
Lise en mange : a / 4 = 0,25 a ; il en reste 0,75 a.
Agathe mange : 0,75 a x 2 /3 = 0,5 a ; il en reste 0,25 a = 5 soit a = 20.
Exercice 2.
Une usine doit fabriquer des bo�tes cylindriques de contenance 250 cm3 de hauteur h et de rayon x.
1. On suppose que x = 3 cm.
a.Montrer que h ≈ 8,8 cm.
volume d’un cylindre : px2 h ; 3,14 x32 xh = 250 ; h = 250 /(3,14 x9) = 8,84 cm.
b. La surface lat�rale du cylindre est une plaque rectangulaire de largeur 8,8 cm et de longueur L..
Calculer une valeur approch�e de L au mm pr�s.
L = 2 px = 2 x3,14 x3 = 18,849 ~18,8 cm.
2. On a repr�sent� ci-dessous la hauteur de la bo�te en fonction du rayon.
a. La fonction repr�sent�e est-elle une fonction affine ? Justifier.
Non, le graphe n'est pas une droite.
b. Par lecture graphique, indiquer :
• quel est approximativement le rayon correspondant � une hauteur de 2 cm. 6,3 cm.
• quelle est approximativement la hauteur correspondant � un rayon de 4 cm. 5 cm.
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Exercice 3.
On consid�re les programmes de calcul suivants :
Programme A
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 1
• Calculer le carr� de la somme obtenue
• Soustraire au r�sultat le carr� du nombre de d�part.
Programme B
• Choisir un nombre
• Ajoute 1 au double de ce nombre
1. On choisit 5 comme nombre de d�part. Quel r�sultat obtient-on avec chacun des deux programmes ?
A : 5 +1 = 6 ; 62 = 36 ; 36-52 = 36-25 = 11.
B : 5 x2 +1 = 11.
2. D�montrer que quel que soit le nombre choisi, les r�sultats obtenus avec les deux programmes sont toujours �gaux.
A : (n+1)2 -n2 = (n+1+n)(n+1-n) =2n+1.
B : 2n+1.
Exercice 4. QCM.
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Exercice 5.
Lors de sa sortie au Mont Saint Michel, un �l�ve ach�te un souvenir dans une boutique.
Cet objet est assimil� � un solide compos� d’une calotte sph�rique de rayon 4,5 cm pos�e sur un cylindre de hauteur 3,8 cm.
Voici ci-dessous une repr�sentation en perspective de cet objet :
O est le centre de la calotte sph�rique et O1 est le centre d’une des bases du cylindre.
A est un point de la section du cylindre avec la sph�re de centre O et O1A = 3,6 cm.
1. a. Montrer que la distance OO1 = 2,7 cm.
OO12 = OA2-AO12 = 4,52 -3,62 = 7,29 ; OO1 = 2,7 cm.
b. Quelle est la hauteur totale de l’objet ?
3,8 +2,7 +4,5 = 11 cm.
2. a. La maquette
du Mont Saint Michel qui est � l’int�rieur de la calotte sph�rique est
assimil�e � un c�ne de hauteur 4,7 cm dont la base a pour rayon 3,6
cm.Montrer qu’une valeur approch�e du volume de cette maquette est 64 cm3.
Volume d’un c�ne : 1/3 � aire de base � hauteur.
1 / 3 x3,14 x3,62 x4,7 =63,7 ~64 cm3.
Exercice 6.
Dans le cadre d’un projet p�dagogique, des professeurs pr�parent une sortie au Mont SaintMichel avec les 48 �l�ves de 3e.
Deux activit�s sont au programme :
• la visite duMont et de son abbaye ;
• la travers�e � pied de la baie duMont Saint Michel.
Partie 1 : Financement de la sortie
Le co�t total de cette sortie (bus, h�bergement et nourriture, activit�s, ... ) s’�l�ve � 120 € par �l�ve.
1. Le FSE (foyer socio-�ducatif ) du coll�ge propose de prendre en charge 15% du co�t total de cette sortie.
Quelle est la somme prise en charge par le FSE ?
120 x48 x0,15 = 864 €.
2. Pour r�duire encore le co�t, les professeurs d�cident d’organiser une tombola.
Chaque �l�ve dispose d’une carte contenant 20 cases qu’il doit vendre � 2 € la case.
En d�cembre, les professeurs font le point avec les 48 �l�ves sur le nombre de cases vendues par chacun d’entre eux.
Voici les r�sultats obtenus :
Nombre de cases vendues
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10
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12
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14
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15
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16
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18
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20
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Nombre d'�l�ves
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5
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12
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9
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7
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5
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6
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4
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a. Quel est le nombre total de cases d�j� vendues en d�cembre ?
10 x5 +12 x12 +14 x9 +15 x7 +16 x5 +18 x6 +20 x4 =50 +144 +126 +105 +80 +108 +80 =693.
b. Quelle somme d’argent cela repr�sente-t-il ?
693 x2 = 1386 €.
c. Quel est le pourcentage d’�l�ves ayant vendu 15 cases ou moins ? (arrondir � l’unit�).
(5 +12 +9 +7) / 48 = 0,6875 ( ~69 %)
d. Quel est le nombre moyen de cases vendues par �l�ve ? (arrondir � l’unit�).
693 / 48 = 14,4 ~ 14.
3. Les 92 lots � gagner sont les suivants :
• un v�lo ; • un lecteur DVD; • 20 DVD; • 20 cl�s USB de 4 GO; • 50 sachets de chocolats.
Ces lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accept� de sponsoriser le projet.
Le triage au sort a lieu aumois de mars. Les 960 cases ont toutes �t� vendues. Une personne a achet� une case.
a. Quelle est la probabilit� que cette personne gagne un lot ? (arrondir au centi�me)
92 / 960 = 0,0958 ~0,096.
b. Quelle est la probabilit� que cette personne gagne une cl� USB? (arrondir au centi�me).
20 / 960 = 0,0208 ~0,021.
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Exercice 7.
Avant la sortie, les professeurs de math�matiques donnent ces deux exercices � leurs �l�ves.
1. Alexandre
souhaite savoir � quelle distance il se trouve du Mont � l’aide d’un
th�odolite (appareil servant � mesurer des angles). Il sait que le
sommet S du Mont est � 170 m d’altitude. Son oeil (O sur le dessin)
�tant situ� � 1,60 m du sol, il obtient la mesure suivante :� SOH= 25
�. (Le dessin n’est pas r�alis� � l’�chelle).
1. � quelle distance LK du Mont se trouve-t-il ? (Donner une valeur approch�e au m�tre).
2. Sachant que le
Mont est inscrit dans un rectangle de 225 m sur 285 m , on peut dire
que la superficie de la partie �merg�e du Mont se situe :
• entre 10 000 m2 et 40 000 m2,
• entre 40 000 m2 et 80 000 m2,
• entre 80 000 m2 et 150 000m2,
• entre 150 000 m2 et 200 000 m2.
Quelle est la bonne r�ponse ? Justifier.
225 x285 =64 125 m2. Entre 40 000 m2 et 80 000 m2.
Le Mont Saint Michel est entour� par la mer qui est soumise au ph�nom�ne des mar�es.
La travers�e de la baie ne peut se faire qu’� mar�e basse.
a. Quel jour la mar�e est-elle basse � 11 h 14 min ? Jeudi 3.
b. Le samedi 5, quelle est la dur�e �coul�e entre les deux � pleines mers � ?
19 h13 - 6 h 58 = 12 h 15 min.
2. Les professeurs
souhaitent faire la travers�e un mardi apr�s midi. Avant de fixer une
date, ils regardent le calendrier des mar�es.
Quel mardi doivent-ils choisir ? Justifier. Mardi 8.
La basse mer a lieu � 15 h 09.
3. Le trajet pr�vu est long de 13 km et devra se faire en 2 h 30 min. Quelle sera la vitesse moyenne du groupe en km/h.
13 / 2,5 = 5,2 km / h.
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