Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole 2012

Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole 2012

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Exercice 1.
1. 1. Alice participe � un jeu t�l�vis�. Elle a devant elle trois portes ferm�es. Derri�re l’une des portes, il y a une voiture ; derri�re les autres, il n’y a rien. Alice doit choisir l’une de ces portes. Si elle choisit la porte derri�re laquelle il y a la voiture, elle gagne cette voiture.
Alice choisit au hasard une porte. Quelle est la probabilit� qu’elle gagne la voiture ?
1 cas favorable sur 3 possibles. la probabilit� de gagner est 1 / 3 ~0,33.
2. S’il y a quatre portes au lieu de trois et toujours une seule voiture � gagner, comment �volue la probabilit� qu’a Alice de gagner la voiture ?
1 cas favorable sur 4 possibles. la probabilit� de gagner est 1 / 4 ~0,25 ; la probabilit� diminue.

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Exercice 2.
1. Quelle est l’�criture d�cimale du nombre A ?

2. Antoine utilise sa calculatrice pour calculer le nombre A, r�sultat affich� est 1.
Antoine pense que ce r�sultat n’est pas exact. A-t-il raison ?
Ce r�sultat est exact, la calculatrice a arrondi.

Exercice 3.
Lors d’un marathon, un coureur utilise sa montre-chronom�tre. Apr�s un kilom�tre de course, elle lui indique qu’il court depuis quatre minutes et trente secondes. La longueur officielle d’un marathon est de 42,195 km. Si le coureur garde cette allure tout au long de sa course, mettra-t-il moins de 3 h 30 pour effectuer le marathon ?
1 km est parcouru en 4 x60 +30 = 270 s.
Pour parcourir 42,195 km, il mettra : 270 x 42,195 ~11392 s.
11392/ 3600 = 3,164 h ou 3 h et 0,164 x60 ~10 min.
Il terminera sa course en moins de 3 h 30 min en gardant cette allure.

Exercice 4.
On cherche � r�soudre l’�quation (4x −3)² −9 = 0.
1. Le nombre 3 / 4 est-il solution de cette �quation? et le nombre 0 ?
4 x3 / 4 -3 = 3-3 = 0 ; (4x −3)² −9 =-9, diff�rent de z�ro.
4 /3 n'est pas solution de cette �quation.
4 x0 / 4 -3 =-3 ; (-3)² = 9 ; (4x −3)² −9 = 9-9=0
0 est solution de cette �quation.
2. Prouver que, pour tout nombre x, (4x −3)² −9 = 4x(4x −6).
Diff�rence de deux carr�s : (4x −3)² −3² =(4c-3+3)(4x-3-3)=4x(4x-6)
3. D�terminer les solutions de l’�quation (4x −3)² −9 = 0.
4x = 0 soit x = 0 ; 4x-6=0 ; 4x = 6 ; x = 6 / 4 = 1,5.

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Exercice 5.
Le dessin ci-dessous repr�sente une figure compos�e d’un carr� ABCD et d’un rectangle DEFG.
E est un point du segment [AD]. C est un point du segment [DG].
Dans cette figure la longueur AB peut varier mais on a toujours : AE = 15 cm et CG = 25 cm.

1. Dans cette question on suppose que : AB = 40 cm.
40 x 40 = 1600 cm².
a. Calculer l’aire du carr� ABCD.
b. Calculer l’aire du rectangle DEFG.
ED = 40 -15 = 25 cm ; DG = 40 +25 = 65 cm ; aire du rectangle : 25 x 65 = 1625 cm².
2. Peut-on trouver la longueur AB de sorte que l’aire du carr� ABCD soit �gale � l’aire du rectangle DEFG?
Si oui, calculer AB. Si non, expliquer pourquoi.
Aire du carr� de c�t� a : a².
Aire du rectangle : (a-15) (a+25) = a² +25a-15a-15 x25 = a² +10a-375.
Si les aires sont �gales : a² = a² +10a-375.
10a = 375 ; a = 37,5 cm.

Exercice 6.
On consid�re un c�ne de r�volution de hauteur 5 cm et dont la base a pour rayon 2 cm. Le point A est le sommet du c�ne et O le centre de sa base. B est le milieu de [AO].
1. Calculer le volume du c�ne en cm³. On arrondira � l’unit�.
V = 1 /3 pr² h = 3,14 / 3 x2² x 5 =20,94 ~21 cm3.
2. On effectue la section du c�ne par le plan parall�le � la base qui passe par B. On obtient ainsi un petit c�ne. Est-il vrai que le volume
du petit c�ne obtenu est �gal � la moiti� du volume du c�ne initial ?
Faux, rayon et hauteur sont divis�s par 2 ; le volume du petit c�ne est �gal au 8^� du volume du grand c�ne.

Exercice 7.
Des �l�ves participent � une course � pied. Avant l’�preuve, un plan leur a �t� remis.
Il est repr�sent� par la figure ci-dessous.
On convient que : • Les droites (AE) et (BD) se coupent en C.
• Les droites (AB) et (DE) sont parall�les.
• ABC est un triangle rectangle en A.

Calculer la longueur r�elle du parcours ABCDE.
BC² = AB² +AC² = 300² +400² = 2500 ; BC = 500 m. CD = 2,5 x500 = 1250 m.
On passe des dimensions du triangle ANC � celles du triangle CDE en les multipliant par 2,5 : DE = 300 x2,5 = 750 m.
300 + 500 +1250 +750 = 2800 m.

Probl�me. Partie 1.
� partir du 2 Janvier 2012, une compagnie a�rienne teste un nouveau vol entre Nantes et Toulouse.
Ce vol s’effectue chaque jour � bord d’un avion qui peut transporter au maximum 190 passagers.
1. L’avion d�colle chaque matin � 9 h 35 de Nantes et atterrit � 10 h 30 � Toulouse.
Calculer la dur�e du vol.
10 h30 -9 h35 = 55 minutes.
2. Le tableau suivant donne le nombre de passagers qui ont emprunt� ce vol pendant la premi�re semaine de mise en service. L’information concernant
le mercredi a �t� perdue.

Jour
lundi
mardi
mercredi
jeudi
vendredi
samedi
dimanche
Total

Nombre de passagers
152
143

164
189
157
163
1113

a. Combien de passagers ont emprunt� ce vol mercredi ?
1113 -152-143-164-189-157-163=145.
b. En moyenne, combien y avait-il de passagers par jour dans l’avion cette semaine l� ?
1113 / 7 = 159.
3. � partir dumois de f�vrier, on d�cide d’�tudier la fr�quentation de ce vol pendant douze semaines. La compagnie utilise une feuille de calcul indiquant le nombre de passagers par jour.

=MOYENNE(J12:J13)

A
B
C
D
E
F
G
H
I
J

1

lundi
mardi
mercredi
jeudi
vendredi
samedi
dimanche
Total
Moyenne

2
semaine1
157
145
142
159
190
156
161
1110
159

3
semaine2
147
158
156
141
141
152
155
1050
150

4
semaine3
153
148
162
149
160
146
163
1081
154

5
semaine4
168
156
162
157
166
158
161
1128
161

6
semaine5
163
169
170
162
167
169
162
1162
166

7
semaine 6
156
167
171
173
165
165
162
1159
166

8
semaine 7
173
172
168
173
161
162
167
1176
168

9
semaine8
168
166
170
173
168
176
165
1186
169

10
semaine 9
176
175
175
171
172
178
173
1220
174

11
semaine 10
185
176
172
180
185
171
171
1240
177

12
semaine 11
178
181
183
172
178
172
173
1237
177

Moyenne sur trois mois
166

a. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule 12 pour obtenir le nombre total de passagers au cours de la semaine 1 ?
=SOMME(B2:H2)
b. Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule J2 pour obtenir le nombre moyen de passagers par jours au cours de la semaine 1 ?
=MOYENNE(B2:H2)
4. Le nombre moyen de passagers par jour au cours de ces douze semaines est �gal � 166. La compagnie s’�tait fix� comme objectif d’avoir un nombre
moyen de passagers sup�rieur aux 80% de la capacit� maximale de l’avion. L’objectif est-il atteint ?
190 x0,80 = 152, valeur inf�rieure � 166. L'objectif est atteint.
Partie 2.
Quand l’avion n’est plus tr�s loin de l’a�roport de Toulouse, le radar de la tour de contr�le �met un signal bref en direction de l’avion. Le signal atteint l’avion et revient
au radar 0,000 3 seconde apr�s son �mission.

1. Sachant que le signal est �mis � la vitesse de 300 000 kilom�tres par seconde, v�rifier qu’� cet instant, l’avion se trouve � 45 kilom�tres du radar de la tour de contr�le.
aller + retour = 2AR = 300 000 x0,000 3 = 90 ; AR = 90 / 2 = 45 km.
2. La direction radar-avion fait un angle de 5�avec l’horizontale. Calculer alors l’altitude de l’avion � cet instant. On arrondira � la centaine de m�tres pr�s.
On n�gligera la hauteur de la tour de contr�le.
sin 5 = AI / AR ; AI = AR sin 5 = 45 x sin 5 =3,992 ~3,9 km.
Partie 3.
En phase d’atterrissage, � partir du moment o� les roues touchent le sol, l’avion utilise ses freins jusqu’� l’arr�t complet. Le graphique ci-dessous repr�sente la distance
parcourue par l’avion sur la piste (en m�tres) en fonction du temps (en secondes) � partir du moment o� les roues touchent le sol. En utilisant ce graphique, r�pondre aux questions suivantes :

1. Quelle distance l’avion aura-t-il parcourue 10 s apr�s avoir touch� le sol ? 450 m.
2. Expliquer pourquoi au bout de 22 s et au bout de 26 s la distance parcourue depuis le d�but de l’atterrissage est la m�me.
Le graphique est une droite horizontale : l'avion est � l'arr�t.
3. � partir du moment o� les roues touchent le sol, combien de temps met l’avion pour s’arr�ter ? 20 s.

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