Math�matiques, Brevet des coll�ges Polyn�sie 2012

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Exercice 1. 
1.  L’ inverse de 1 est : 1.
2.
3. Si x = −4 alors x+4+(x+4)(2x−5) est �gal � :
-4 +4 +(-4+4)(2*(-4)-5) = 0 +0 x(-13) = 0.
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Exercice 2.
L’entreprise � Punu Pua Toro � vend des bo�tes de corned-beef.
Ces derni�res sont de forme cylindrique de 12 cm de diam�tre et de 5 cm de hauteur.
Elles sont rang�es dans un carton de 84 cm de long, 60 cm de large et 5 cm de hauteur de fa�on � ce qu’elles se calent les unes contre les autres.
1. Combien de bo�tes peut-on ranger au maximum dans un carton ?
84 / 12 = 7 sur la longueur.
60 / 12 = 5  sur la largeur.
7 x5 = 35 par rang�e.
2. Calcule le PGCD de 84 et 60.
Algorithme d'Euclide : 84 = 60 +24 : 60 = 2 x24 +12 ; 24 = 2 x12.
Le PGCD de 84 et 60 est �gal � 12.
3. L’entreprise peut-elle ranger dans ce carton des bo�tes cylindriques de plus grand diam�tre de fa�on � ce qu’elles se calent les unes contre les autres ? Justifie ta r�ponse.
Non, le PGCD de 84 et 60 est �gal � 12.
Exercice 3.
L’h�tel � la ora na �accueille 125 touristes :
— 55 n�o-cal�doniens dont 12 parlent �galement anglais.
— 45 am�ricains parlant uniquement l’anglais.
— Le reste �tant des polyn�siens dont 8 parlent �galement anglais.
Les n�o-cal�doniens et les polyn�siens parlent tous le fran�ais.
1. Si je choisis un touriste pris au hasard dans l’h�tel, quelle est la probabilit� des �v�nements suivants :
a. �v�nement A : � Le touriste est un am�ricain �
45 cas favorables sur 125 possibles ; la probabilit� est  : 45 / 125 = 9 / 25 =0,36.
b. �v�nement B : � Le touriste est un polyn�sien ne parlant pas anglais �
125-55-45=25 polyn�siens.
17 cas favorables sur 25 cas possibles : la probabilit� est : 17 / 25 =0,68.
c. �v�nement C : � Le touriste parle anglais �
12 +45 +8 =65 touristes parlent anglais.
La probabilit� de parler anglais est : 65 / 125 = 13 /25 =0,52.
2. Si j’aborde un touriste dans cet h�tel, ai-je plus de chance de me faire comprendre en parlant en anglais ou en fran�ais ? Justifie ta r�ponse.
55 +25 = 80 touristes parlent le fran�ais.
La probabilit� de parler fran�ais est : 80 / 125 = 16 / 25 =0,64.
On a plus de chance de se faire comprendre en fran�ais.





Exercice 4.
Teva vient de construire lui-m�me sa pirogue.
1. Pour v�rifier que les deux bras du balancier sont parall�les entre eux, il place sur ceux-ci deux bois rectilignes sch�matis�s sur le dessin ci-dessus par les segments [OK] et [OL] avec I ∈ [OK] et J ∈ [OL].
La mesure des longueurs OI, OJ, OK et OL donne les r�sultats suivants :
OI = 1,5 m OJ = 1,65 m OK = 2m OL = 2,2 m.
Les deux bras sont-ils parall�les ? Justifie ta r�ponse.

2. Pour v�rifier que la pi�ce [AB] est perpendiculaire au balancier il mesure les longueurs AB, AC et CB et obtient : AB= 15 cm ; AC = 25 cm ; CB= 20 cm
Peut-il affirmer que la pi�ce [AB] est perpendiculaire au balancier ? Justifie ta r�ponse.
AC2 = 252 = 625.
AB2 +BC2 = 152 +202 = 225 +400 = 625.
AB2 +BC2 =AC2 ;
d'apr�s la r�ciproque du th�or�me de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.


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Exercice 5.
1. Trace le cercle C de centre O et de diam�tre [AB] tel que AB = 8 cm.
2. Place un point M appartenant � C tel que ƒBOM= 36 �.
3. Calcule la mesure de l’angle inscrit �MAB qui intercepte le petit arc de cercle MB.
La mesure de l'angle inscrit est �gale � la moiti� de la mesure de l'angle au centre interceptant le m�me arc ;
l'angle MAB mesure 18�.
4. � l’aide des donn�es de l’�nonc�, laquelle de ces propositions te permet de montrer que AMB est un triangle rectangle en M :
Proposition 1 :
Si dans le triangle AME on a AB2= AM2 + BM2 alors AME est un triangle rectangle en M.
Proposition 2 :
Si le triangle AMB est inscrit dans le cercle C dont l’un des diam�tres est [AB] alors AMB est un triangle rectangle en M. Vrai.
Proposition 3 : Si O est le milieu de [AB] alors AMB est un triangle rectangle d’hypoth�nuse [AB].
5. Calcule la longueur AM et arrondis le r�sultat au dixi�me.
cos 18 = AM / AB ; AM = AB cos 18 = 8 x0,951 ~7,6 cm.
6. Trace le sym�trique N deM par rapport � [AB].
7. Place les points R et S de fa�on � ce que NMRAS soit un pentagone r�gulier.
Le pentagone  �tant r�gulier, l'angle MON mesure 360 / 5 = 72�. Il suffit de reporter l'arc MN � partir du point M.


Exercice 6.
Taraina dirige une �cole de danse pour adolescents. Elle a relev� dans un tableau l’�ge de ses �l�ves ainsi que la fr�quence des �ges.
1. Compl�te sur cette feuille le tableau suivant :
Age des �l�ves
 12
 13
 14
 15
 16
 Total
Nombre d'�l�ves
 5
 2
 4
 5
 4
 20
Fr�quence en %
 5 / 20 = 0,25
25 %
 2 / 20 = 0,10
10 %
 20
 25
 20
 100

2. Compl�te le diagramme en barres des effectifs � l’aide du tableau pr�c�dent.

3. Quelle est dans cette �cole la fr�quence d’�l�ves ayant 14 ans ? 20 %.
4. Quel est le nombre d’�l�ves �g�s de 14 ans ou moins ? 5+2+4 = 11.
5. Taraina a calcul� que l’�ge moyen de ses �l�ves est l�g�rement sup�rieur � 14 ans, or pour inscrire son groupe au Heiva dans la cat�gorie � Adolescents �, l’�ge moyen du groupe doit �tre inf�rieur ou �gal � 14 ans. Pour r�gler ce probl�me, elle a la possibilit� d’accepter dans sa troupe de danse un nouvel �l�ve, soit de 13 ans, soit de 15 ans.
a. Lequel va-t-elle choisir ? Pourquoi ?
Avec un nouvel �l�ve de 13 ans, la moyenne vaut : (12 x 5 +13 x 3 +14 x4 +15 x5 +16 x4 ) / 21 = 14 ans.
Avec un nouvel �l�ve de 15 ans, la moyenne vaut : (12 x 5 +13 x 3 +14 x4 +15 x6 +16 x4 ) / 21 = 14,7 ans.
b. Montre que l’�ge moyen de sa nouvelle troupe est maintenant de 14 ans.


Exercice 7.
Taraina veut inscrire ses 21 �l�ves aux festivit�s du Heiva. Deux tarifs lui sont propos�s :
Tarif Individuel : 500 F par danseur inscrit.
Tarif Groupe : Paiement d’un forfait de 4 000 F pour le groupe puis 300 F par danseur inscrit.
1. Compl�te le tableau suivant :
Nombre d'inscrits
 0
 10
 25
Prix au tarif individuel ( en F)
 0
 5000
 25 x500 =12500
Prix au tarif groupe ( en F)
 0
 7000
 4000 +25 x300 = 11500
2. Soit x le nombre d’inscriptions.
Le prix I (x) � payer si l’on choisit le tarif individuel en fonction de x est I (x) = 500x.
Exprimer en fonction de x, le prix G(x) � payer si l’on choisit le tarif Groupe.
G(x) = 4000 + 300x.
3. Dans le rep�re ci-dessous construire la repr�sentation graphique des deux fonctions I(x)=500x et G(x)=300x +4000.

4. Graphiquement, quel est le tarif le plus avantageux pour l’inscription des 21 �l�ves ?
Laisser appara�tre les trac�s utiles sur le graphique.
Le tarif groupe est le plus avantageux.
5. Pour quel nombre d’inscriptions paye-t-on lem�me prix quel que soit le tarif choisi ? Justifie ta r�ponse par le calcul.
500 x = 4000 +300x ; 500 x -300x= 4000 ; 200x = 4000 ; x = 4000 / 200 ; x = 20.


  

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