Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole 09 / 2012

Math�matiques, Brevet des coll�ges M�tropole 09 / 2012

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Exercice 1.
1. 2.
3. Le PGCD de 52 et 39 est 13. Vrai.
52 = 13 x4.
4. Pour b = 0,5, 4b² +1 = 2. Vrai.
4 x0,5² +1 = 4 x0,25 +1 = 2.
5. Pour toute valeur de b, 4b² +1 = 2. Faux.
Pour b = 0, 4b² +1 =1.

.
.

Exercice 2.
Un cybercaf� est ouvert depuis une semaine. Dans ce cybercaf�, on peut choisir entre deux moteurs de recherche : Youpi et Hourra. Le tableau ci-dessous donne les moteurs de recherche utilis�s par les 992 premiers utilisateurs lors de la semaine d’ouverture.
Moteur Youpi : 789 utilisateurs ; Moteur Hourra : 203 utilisateurs.
La probabilit� pour qu’un utilisateur pris au hasard dans ce cybercaf� choisisse le moteur Youpi est-elle proche de 0,4 ; de 0,6 ou de 0,8 ?
789 / 992 =0,795, proche de 0,8.

Exercice 3.
La copie d’�cran ci-dessous montre le travail qu’a effectu� Camille � l’aide d’un tableur � propos des fonctions g et h d�finies par :
g (x)= 5x² +x −7 et h(x) = 2x −7.
Elle a recopi� vers la droite les formules qu’elle avait saisies dans les cellules B2 et B3.

B2
=5*B1*B1+B1-7

A
B
C
D
E
F

1
x
-2
-1
0
1
2

2
g(x) =5x²+x-7
11
-3
-7
-1
15

3
h(x)=2x-7
-11
-9
-7
-5
-3

1. Donner un nombre qui a pour image −1 par la fonction g .
-1 = 2x-7 ; -1 +7 = 2x ; 6 = 2x ; x = 6 / 2 ; x =3.
2. �crire les calculs montrant que : g (−2) = 11.
3. Quelle formule Camille a-t-elle saisie dans la cellule B3 ?
=2*B1-7
4. a. D�duire du tableau une solution de l’�quation 5x² +x −7 = 2x −7.
x=0.
b. Cette �quation a-t-elle une autre solution que celle trouv�e gr�ce au tableur ?
5x² +x -2x= 7 −7=0
x(5x-1)=0 ; x = 0 et 5x-1 = 0 soit x = 1 / 5.

Exercice 4.
Dans la figure ci-contre, qui n’est pas � l’�chelle, on sait que :
(BC) // (DE)
B, A et E sont align�s
C, A et D sont align�s.
D�montrer que la longueur du segment [BC] est 4,9 cm.

.
.

Exercice 5.
JGIH est un parall�logramme,

Calculer lamesure de l’angle �.
Dans le triangle IJG : � +110 +30 = 180 ; � = 40�.

Exercice 6.
On veut r�aliser un tipi qui aura la forme d’une pyramide ayant
pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hauteur [SH]
Le tipi aura les dimensions suivantes :
AD = 1,60 m, CD = 1,20 m et SH = 2,40 m.

1. Calculer le volume V de cette pyramide, en m³.
On rappelle que V = 1 / 3 xB �h o� h d�signe la hauteur et B l’aire de la base.
V = 1 / 3 xAD xCD xSH = 1 / 3 x1,6 x1,2 x2,4 = 1,536 m³.
2. Calculer la longueur BD.
BD² = AB²+AD² = 1,2²+1,6² = 4 ; BD = 2 m.
3. L’armature du tipi, constitu�e du cadre rectangulaire ABCD et des quatre ar�tes lat�rales issues de S, est faite de baguettes de bambou.
Dans cette question on n’attend pas de d�monstration r�dig�e.Citer une propri�t� et pr�senter clairement un calcul suffit.
a. Montrer que : SD = 2,60 m.
Triangle rectangle SHD : SD² = SH²+HD² = 2,4²+1² = 6,76 ; SD = 2,6 m.
b. On ajoute � l’armature une baguette [EF] comme indiqu� sur le dessin de sorte que (EF) // (AD) et SF = 1,95 m. Calculer EF.
AD / EF = SD / SF = 2,6 / 1,95 = 4 / 3 ~1,33 ;
EF = 3 AD / 4 = 3 x1,6 / 4 = 1,2 m.
4. On a trouv� dans un magasin des tiges de bambou de 3 m. Une tige peut �tre coup�e pour obtenir deux baguettes mais une baguette ne peut �tre fabriqu�e par collage de deux morceaux de bambou.
Combien faut-il acheter de tiges de bambou, au minimum, pour r�aliser les neuf baguettes de l’armature du tipi ?
Pour la base, 2 tiges de banbou coup�es suffisent. ( AB +AD < 3 m).
4 tiges de banbou pour les 4 ar�tes.
Une tige de banbou coup�e pour EF.
Total : 7 tiges.

Exercice 7.
R�mi s’est inscrit � son premier triathlon � distance olympique �.
Il devra effectuer : 1,5 km de natation, puis 40 km de cyclisme, puis 10 km de course � pied.
Il a re�u les informations suivantes. Les deux sch�mas ne sont pas � l’�chelle.

Natation : Partir du point D, rejoindre la bou�e A � 250 m du d�part, la contourner � 90� sur la gauche, aller jusqu’� la bou�e B, la contourner encore �
gauche et rejoindre le point de d�part D qui est � 650 m de la bou�e B.
Cyclisme : D�part au point P au pied du col, mont�e r�guli�re de 20 km jusqu’au sommet S du col avec un d�nivel� de 800 m, puis descente par
la m�me route et retour au point P.
Course � pied : 5 km � parcourir deux fois.
Pr�paration du triathlon.
1. Partie natation
R�mi pr�voit de parcourir 1 km toutes les 20 minutes. Expliquer pourquoi, s’il nage r�guli�rement, il devrait mettre 28 minutes pour la partie natation.
Distance : 500 +250 +650 = 1400 m = 1,4 km.
Dur�e : 1,4 x 20 = 28 minutes.
2. Partie cyclisme
a. V�rifier par un calcul que la valeur arrondie au m�tre pr�s de PH est 19 984 m�tres.
PH²=PS²-SH² = 20²-0,8² = 400-0,64=399,36 ; PH = 19,984 km.
b. R�mi sait qu’avec une telle pente il peut pr�voir 1 h 30 min pour cette partie du triathlon.
Calculer la pente moyenne du col que doit escalader R�mi.
Pente = SH / PH = 0,8 / 19,984 ~0,04 ( 4 %).
3. Partie course � pied
Pour la derni�re partie de son triathlon, R�mi pr�voit de mettre 20 minutes pour chacun des deux tours du circuit de 5 km.
D�terminer en km/h sa vitesse moyenne pour la course � pied s’il respecte ses pr�visions.
10 km parcourus en 40 minutes soit 2 / 3 heure.
Vitesse = distance / dur�e = 10 / (2 /3) = 10 x3 / 2 = 15 km /h.
4. Totalit� du triathlon
Remplir le tableau r�capitulatif :

Epreuves
Natation
Cyclisme
Course � pied
Total

temps pr�vus
28 min
1 h 30 min
40 min
2 h 38 min.

Apr�s le triathlon
Pendant la course, R�mi portait � la cheville une puce �lectronique qui a enregistr� ses diff�rents temps de passage.
Le soir m�me il a re�u par internet ses r�sultats. Ceux-ci sont pr�sent�s sous la forme d’un graphique o� figurent trois points R₁ (fin de la natation),
R₂ (fin du cyclisme) et R₃ (fin du triathlon) qui d�composent son parcours en trois parties.
1. Marquer sur le graphique les trois points correspondant � ce qu’il avait pr�vu de r�aliser.

2. Dans cette question aucune justification n’est attendue.
a. R�mi a-t-il respect� ses pr�visions au niveau du temps total ? Non.
b. Sur quelle(s) partie(s) du parcours a-t-il fait mieux que pr�vu ?
Sur aucune parties du parcours.
3. Au cours du deuxi�me tour � pied R�mi a failli abandonner et il a fini son triathlon tr�s affaibli, d�shydrat� par la chaleur. Alors qu’il pesait 75 kg avant la course il ne pesait plus que 71 kg � l’arriv�e. R�mi �tait-il proche du malaise � la fin de son triathlon ?
Perte de poids en pourcentage : (75-71 / 75 x100 ~ 5,3 %, valeur sup�rieure � 4 %, risque de malaise.

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