Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du sud 2012

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Exercice 1.  QCM
  1. Quelle est l’expression d�velopp�e de (3x+5)2 ?
9x2 +25 +30x. R�ponse
2. Quelle est l’expression factoris�e de 16x2 −49 ?
(4x)2-72 = (4x-7)(4x+7).
3. Quelle est la valeur exacte de racine carr�e (48) / 2 ?
48 = 16 x3 = 24 x 3.
Racine carr�e (48) / 2 = racine carr�e (24) x racine carr�e (3) / 2 = 2 x racine carr�e (3).
4. La fonction f(x)=5−4x est affine.
5. L’�criture scientifique de 65 100 000 est :
6,51 x 10 000 000 = 6,51 107.
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Exercice 2.
Pour gagner le gros lot dans une f�te foraine, il faut d’abord tirer une boule rouge dans une urne, puis obtenir un multiple de trois en tournant une roue.
1. L’urne contient 6 boules vertes, 5 boules blanches et des boules rouges.
Le responsable annonce � 50% de chances de tirer une boule rouge �.
Combien y a-t-il de boules rouges dans l’urne ?
On note a le nombre de boules rouges.
probabilit� de tirer une boule rouge 0,5 = a / (6+5+a).
a = 0,5(11+a) = 5,5 +0,5a ; 0,5 a = 5,5 ; a = 5,5 / 0,5 ; a = 11.
2. On fait maintenant tourner la roue s�par�e en 8 secteurs num�rot�s de 1 � 8.
Quelle est la probabilit� d’obtenir un multiple de 3 ?
cas favorables : 3 et 6 , probabilit� de tirer un multiple de 3 : 2 / 8 = 1 / 4 = 0,25.
3. Pierre d�cide de participer au jeu.
Quelle est la probabilit� qu’il gagne le gros lot ?.
0,5 x0,25 = 0,125. ( 1 chance sur 8 ).

 Exercice 3.
1. Les nombres 555 et 240 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
Non, ils poss�dent 1, 5, 3, 15 comme diviseurs communs.
2. �crire la fraction 240 /555 sous la forme la plus simple possible. Expliquer la d�marche.
Recherche du PGCD ( 240 ; 555 ) � l'aide de l'algorithme d'Euclide :
555 = 2 x240 +75 ; 240 = 3 *75 +15 ; 75 = 5 x15.
240 = 15 x16 ; 555 =15 x 37. 240 / 555 = 16 / 37.





Exercice 4.
Pierre vient d’acheter un terrain dont on peut assimiler la forme � la figure ci-dessous

Il souhaite mettre du gazon sur tout le terrain. Pour cela il veut acheter un produit
qui se pr�sente en sac de 15 kg o� il est �crit � 1 kg pour 35 m2 �.
1. Combien de sacs de gazon devrat- il acheter ?
Aire du rectangle : 20 x40 = 800 m2 ; aire du triangle : 40 x30 / 2 = 600 m2.
Aire totale : 800 +600 = 1400 m2.
Nombre de sacs : 1400 / 35 = 40.
2. De plus, il voudrait grillager le contour de son terrain. Il dispose de 150 m de grillage, est-ce suffisant ? Justifier.
BC2 = CD2 + BD2 =302 +402 = 900 +1600 = 2500 ; BC = 50 m.
20 +40 +20 +30 +50 = 160 m.
Il ne poss�de pas suffisamment de grillage.
Exercice 5.
Deux bateaux sont au large d’une �le et souhaitent la rejoindre pour y passer la nuit. On peut sch�matiser leurs positions A et B comme indiqu�es ci-dessous. Ils constatent qu’ils sont s�par�s de 800 m, et chacun voit l’�le sous un angle diff�rent. D�terminer, au m pr�s, la distance qui s�pare
chaque bateau de l’�le.

l'angle � mesure 180 -55-35 = 90�.
sin 35 = AI / AB = AI / 800 ; AI = 800 x sin 35 ~ 459 m.
sin 55 = BI / AB = BI / 800 ; BI = 800 x sin 55 ~ 655 m.


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On consid�re la figure ci-contre o� les droites (EF) et (MN) sont parall�les, les droites (EN) et (FM) sont s�cantes en P.
D�terminer la longueur MN.

Exercice 6. Lancer du poids.
Cette discipline sportive consiste � lancer un poids r�glementaire, � partir d’un cercle, le plus loin possible.
I- Le cercle de lancer.
Pour effectuer son lancer, l’athl�te doit prendre son �lan dans un cercle de diam�tre 2,14 m.
1. Calculer l’aire du disque d�limit� par le cercle de lancer.
pr2 = 3,14 x1,072 ~3,6 m2.
Pour �tre valable, le jet doit tomber � l’int�rieur des deux lignes inscrites sur le sol et formant un secteur d’un angle de 40 �.
2. Repr�senter le cercle et la zone de lancer � l’�chelle 1 / 50.
2,14 m correspond � 214 / 50 ~4,3 cm.


Le poids est une boule m�tallique.
Pour �tre utilis� en comp�tition, il doit v�rifier les conditions suivantes :
Poids Homme Femme
Homme : diam�tre de 110 mm � 130 mm  ; masse de 7,26 � 7,285 kg.
Femme : diam�tre de 95 mm � 110 mm ; masse de 4 kg � 4,025 kg
Un poids de diam�tre 12 cm est compos� d’un m�tal ayant une masse volumique de 8 g/cm3.
Ce poids v�rifie-t-il les conditions n�cessaires pour �tre utilis� en comp�tition ?
Volume : V = 4 / 3 p r3 = 4 /3 x3,14 x63=904,78 cm3.
Masse : 904,78 x 8 ~7238 g = 7,238 kg.
Non , la masse n'est pas comprise entre 7,26 et 7,285 kg.



Trajectoires
Pour une m�me impulsion, la longueur du jet du poids varie en fonction de l’angle de lancer.
Les trois courbes  repr�sentent la hauteur (en m) en fonction de la distance horizontale (en m) parcourue par le poids.
Les courbes (C1), (C2) et (C3) correspondent � des angles de lancer respectifs de 60 �, 40 � et 10 �.

En utilisant ces courbes r�pondre aux questions suivantes :
1. � quelle hauteur le poids est-il l�ch� ? 2 m.
2. Pour quel angle de lancer, la longueur du jet est-elle la plus grande ? Quelle est alors la distance obtenue pour ce lancer ?
40� , 19 m.
3. Pour quel angle de lancer, le poids monte-t-il le plus haut ? Quelle est alors la hauteur maximum atteinte par le poids ?
60�, 8,5 m.

Performances.
Voici les valeurs (en m) des lancers r�alis�s par les 11 finalistes qualifi�s aux J. O. de 2008 :
20,06 ; 20,53 ; 21,09 ; 19,67 ; 20,98 ; 20,42 ; 21,51; 21,04 ; 20,41 ; 20,63 ; 21,05.
1. Les m�dailles d’or, d’argent et de bronze ont �t� obtenues respectivement par la Pologne, les �tats-Unis et la Bi�lorussie.
Donner les longueurs de lancer de leurs athl�tes.
21,51 m ; 21,09 m ; 21,05 m.
2. Calculer la longueur de lancer moyenne de cette finale.
(20,06 +20,53 +21,09 +19,67 +20,98 +20,42 +21,51 +21,04 +20,41 +20,63 +21,05) / 11 =20,67 m.
3. L’ukrainien Yurly Bilonoh a r�ussi le lancer m�dian de cette finale. Quelle a �t� la longueur de son lancer ?
Ordonner les valeurs : 19,67 ; 20,06 ; 20,41 ; 20,42 ; 20,53 ; 20,63 ; 20,98 ; 21,04 ; 21,05 ; 21,09 ; 21,51.
4. Calculer le pourcentage des lanceurs qui ont franchi les 21 m.
 4 /11 x100 ~36,4 %.


  

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