Math�matiques, Brevet des coll�ges Am�rique du Nord 2013

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Exercice 1. 
1. L’arbre ci-dessous est un arbre de probabilit�. La probabilit� manquante est :

2. Dans une salle, il y a des tables � 3 pieds et � 4 pieds. L�a compte avec les yeux band�s 169 pieds. Son fr�re lui indique qu’il y a 34 tables � 4 pieds. Sans enlever son bandeau, elle parvient � donner le nombre de tables � 3 pieds qui est de :.
On note y le nombre de tables � 3 pieds.
34 x4 +3y=169 ; 3y =33 ; y =11.
3. 90% du volume d’un iceberg est situ� sous la surface de l’eau.
La hauteur totale d’un iceberg dont la partie visible est 35 m est d’environ :
35 m correspond au dixi�me de la hauteur totale ; Htotale = 35 x10 =350 m.
4.
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Exercice 2.
Arthur vide sa tirelire et constate qu’il poss�de 21 billets.
Il a des billets de 5 € et des billets de 10 € pour une somme totale de 125 €.
Combien de billets de chaque sorte poss�de-t-il ?
On note x le nombre de billets de 5 € ; 21-x repr�sente le nombre de billets de 10 €.
5 x + (21-x)10 =125 ;
5x+210-10x =125 ;
5x = 85 ; x = 17.
17 billets de 5 € et 4 billets de 10 €.




Exercice 3.
Caroline souhaite s’�quiper pour faire du roller.
Elle a le choix entre une paire de rollers gris � 87 € et une paire de rollers noirs � 99 €.
Elle doit aussi acheter un casque et h�site entre trois mod�les qui co�tent respectivement 45 €, 22 € et 29 €.
1. Si elle choisit son �quipement (un casque et une paire de rollers) au hasard, quelle est la probabilit� pour que l’ensemble lui co�te moins de 130 € ?
Nombre de cas possibles : 6.
Nombre de cas favorables : rollers gris 87 € et casque � 22 € ou 29 € ; rollers noir et casque � 22 € ou 29 € ;
Probabilit� de d�penser moins de 130 € : 4 / 6 = 2 / 3 ~0,67.
2. Elle s’aper�oit qu’en achetant la paire de rollers noirs et le casque � 45 €, elle b�n�ficie d’une r�duction de 20% sur l’ensemble.
a. Calculer le prix en euros et centimes de cet ensemble apr�s r�duction.
(99 + 45) x0,80 = 115,2 €
b. Cela modifie-t-il la probabilit� obtenue � la question 1 ? Justifier la r�ponse.
Oui, car il y a un cas favorable suppl�mentaire et la probabilit� devient 5 / 6 ~0,83
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Exercice 4.
Flavien veut r�partir la totalit� de 760 drag�es au chocolat et 1 045 drag�es aux amandes dans des sachets dans des sachets ayant la m�me r�partition de drag�es au chocolat et aux amandes.
1. Peut-il faire 76 sachets ? Justifier la r�ponse.
Non, car 76 est un diviseur de 760 mais pas un divisuer de 1045.
2. a. Quel nombre maximal de sachets peut-il r�aliser ?
1045=5 x11 x19 ; 760 = 23 x5x19 ; le PGCD de 760 et 1045 est �gal � 5 x19 =95.
b. Combien de drag�es de chaque sorte y aura-t-il dans chaque sachet ?
760 / 95=8 drag�es au chocolat et 1045 / 95 =11 drag�es aux amandes.


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Exercice 5.
Tom doit calculer 3,52.
� Pas la peine de prendre la calculatrice �, lui dit Julie, tu n’as qu’� effectuer le produit de 3 par 4 et rajouter 0,25.
1. Effectuer le calcul propos� par Julie et v�rifier que le r�sultat obtenu est bien le carr� de 3,5.
3 x4 +0,25 = 12,25 ; 3,52 = 12,25.
2. Proposer une fa�on simple de calculer 7,52 et donner le r�sultat.
(8-0,5)(7+0,5) = 8x7 -0,25+8 x0,5-7 x0,5 =8 x7 +0,25 = 56+0,25 =56,25.
3. Julie propose la conjecture suivante : (n +0,5)2= n(n +1)+0,25
n est un nombre entier positif.
Prouver que la conjecture de Julie est vraie (quel que soit le nombre n).
(n +0,5)2= n2 +n+0,25 =n (n+1) +0,25.
La conjecture est vraie.

Exercice 6.
 On dispose d’un carr� de m�tal de 40 cm de c�t�. Pour fabriquer une bo�te parall�l�pip�dique, on enl�ve � chaque coin un carr� de c�t� x et on rel�ve les bords par pliage.

1. Quelles sont les valeurs possibles de x ?
On enl�ve 2x � 40 cm. x doit �tre compris entre 0 et 20 cm. [0 ; 20 cm ].
2. On donne x = 5 cm. Calculez le volume de la bo�te.
aire du carr� de base x hauteur = 30 x 30 x5 =4,5 103 cm3.
3. Le graphique suivant donne le volume de la bo�te en fonction de la longueur x..

On r�pondra aux questions � l’aide du graphique.
a. Pour quelle valeur de x, le volume de la bo�te est-il maximum ? 6,5 cm
b. On souhaite que le volume de la bo�te soit 2 000 cm3. Quelles sont les valeurs possibles de x ?
1,5 cm et 14 cm.


Exercice 7.
Le Pentagone est un b�timent h�bergeant le minist�re de la d�fense des Etats-Unis. Il a la forme d’un pentagone r�gulier inscrit dans un cercle de rayon OA= 238 m.
Il est repr�sent� par le sch�ma suivant :.

1. Calculer la mesure de l’angle �AOB.
360 / 5=72�.
2. La hauteur issue de O dans le triangle AOB coupe le c�t� [AB] au point M.
a. Justifier que (OM) est aussi la bissectrice de �AOB et la m�diatrice de [AB].
Le triangle AOB est isoc�le en O ( OA = OB = rayon du cercle de centre O).
La hauteur issue du sommet d'un triangle isoc�le est �galement m�diatrice de la base AB et bissectrice de l'angle AOB.
b. Prouver que [AM] mesure environ 140 m.
c. En d�duire une valeur approch�e du p�rim�tre du Pentagone
140 x10 =1400 m.

Exercice 8.
Les longueurs sont donn�es en centim�tres. ABCD est un trap�ze.

1. a. Donner une m�thode permettant de calculer l’aire du trap�ze ABCD.
b. Calculer l’aire de ABCD.
aire du rectangle CDMP - aire du triangle rec tangleAMD-aire du triangle rectangle isoc�le BCP.
B x h -AM x h / 2 -BP x h / 2.
 [B-0,5 (AM +BP) ] h =  [ 7-0,5(1+3) ] x3 = 15 cm2.
2. L’aire d’un trap�ze A est donn�e par l’une des formules suivantes. Retrouver la formule juste en expliquant votre choix.
B-0,5 (AM +BP) = 0,5 [2B- (AM +BP] = 0,5 [B +B-AM-BP] = 0,5 [B +b] ;
 Aire = 0,5 [B +b] h.
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