Math�matiques, Brevet des coll�ges Asie 2013

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Exercice 1. 
Le d�bit d’une connexion internet varie en fonction de la distance du modem par rapport au central t�l�phonique le plus proche. On a repr�sent� ci-dessous la fonction qui, � la distance du modem au central t�l�phonique (en kilom�tres), associe son d�bit th�orique (en m�gabits par seconde).
 
1. Marie habite � 2,5 km d’un central t�l�phonique. Quel d�bit de connexion obtient-elle ?
10 Mbits /s
2. Paul obtient un d�bit de 20 Mbits/s. � quelle distance du central t�l�phonique habite-t-il ? 1,5 km.
3. Pour pouvoir recevoir la t�l�vision par internet, le d�bit doit �tre au moins de 15 Mbits/s.
� quelle distance maximum du central doit-on habiter pour pouvoir recevoir la t�l�vision par internet ? Moins de 2 km.
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Exercice 2.
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, pr�ciser si elle est vraie ou fausse et justifier la r�ponse.
1. Le PGCD de 18 et de 36 est 9. Faux.
36= 18 +18 ; 18 = 18+0. Le PGCD de 18 et 36 est �gal � 18.
2. Le double de 9 / 4 est �gal � 9 /2. Vrai.
9 / 4 x2 = (9 x2) / 4 = 9 / 2.
3. Le carr� de 3x racine carr�e (5) est �gal � 15. Faux.
32 x5 = 45.
4. Pour tous les nombres x, on a (2x +3)2= 9+2x(2x +3). Faux.
(2x +3)2=4x2+12x+9 =2x(2x +6) +9.




Exercice 3.
Le jeu de fl�chettes consiste � lancer 3 fl�chettes sur une cible. La position des fl�chettes sur la cible d�termine le nombre de points obtenus.
La cible est install�e de sorte que son centre se trouve � 1,73 m du sol. Les pieds du joueur ne doit pas s’approcher � moins de 2,37 m lorsqu’il lance les fl�chettes. Pour cela, un dispositif �lectronique est install� qui en mesurant l’angle calcule automatiquement la distance du joueur au mur. Il sonne si la distance n’est pas r�glementaire.
1. Un joueur s’appr�te � lancer une fl�chette. La droite passant par le centre de la cible et son pied fait un angle de 36,1� avec le sol. Le mur est perpendiculaire au sol.
Est-ce que la sonnerie va se d�clencher ? Justifier la r�ponse.
MP > 2,37 m, la sonnerie ne se d�clenche pas.
2. On a relev� dans le tableau ci-dessous les points obtenus par R�mi et Nadia lors de sept parties de fl�chettes. Le r�sultat de Nadia lors la partie 6 a �t� �gar�.
Partie
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 Moyenne
 M�diane
R�mi
 40
 35
 85
 67
 28
 74
 28
 51
 40
Nadia
 12
 62
 7
 100
 81
 65
 30
 51
 62
a. Calculer le nombre moyen de points obtenus par R�mi.
(40 + 35 +85 +67 +28 +74 +28 ) / 7 =51
b. Sachant que Nadia a obtenu en moyenne 51 points par partie, calculer le nombre de points qu’elle a obtenus � la 6e partie.
( 12 +62 +7 +100 +81 +30 +x) / 7 = 51 ;
292 +x =51 x7 = 357 ; x =357-292= 65.
c. D�terminer la m�diane de la s�rie de points obtenus par R�mi, puis par Nadia.
R�mi : 28 ; 28 ; 35 ; 40 ; 67 ; 74 ; 85.
Nadia : 7 ; 12 ; 30 ; 62 ; 65 ; 81 ; 100.

Exercice 4.
On consid�re le programme de calcul suivant :
• Choisir un nombre
• Ajouter 5
• Prendre le carr� de cette somme
1. Quel r�sultat obtient-on lorsqu’on choisit le nombre 3 ? le nombre −7 ?
(3+5)2=64 ; (-7+5)2=(-2)2 = 4.
2. a. Quel nombre peut-on choisir pour obtenir 25 ?
(x+5)2=25 ; x+5 = �5.
x =0 et x = -10.
b. Peut-on obtenir −25 ? Justifier la r�ponse.
Non, un carr� est positif ou nul.
3. On appelle f la fonction qui, au nombre choisi, associe le r�sultat du programme de calcul.
a. Parmi les fonctions suivantes, quelle est la fonction f ?
x2 ; faux ; x2+5 ; faux ;  (x+5)2, vrai ; 2(x+5), faux.
b. Est-il vrai que −2 est un ant�c�dent de 9 ? Vrai.
(x+5)2 = 9 ; x+5 = �3 ; x = -2 et x = -8.
4. a. R�soudre l’�quation (x +5)2= 25.
(x+5)2=25 ; x+5 = �5.
x =0 et x = -10


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Exercice 5.
1. Une ville de 50 000 habitants d�pense 10 euros par mois et par habitant pour faire traiter les poubelles m�nag�res.
Quel est le budget sur une ann�e de cette ville pour faire traiter les poubelles ? Justifier la r�ponse.
10 x12 x50000=6 000 000 €.
2. En 2009, la France comptait 65 millions d’habitants qui ont produit 30 millions de tonnes de d�chets.
Est-il vrai que cette ann�e l�, un habitant en France produisait un peu plus de 1 kg de d�chet par jour ? Justifier la r�ponse.
30 / 65=0,4615 tonne par habitant par an.
461,5 kg par habitant par an.
461,5 / 365=1,26 kg par habitant par jour. Affirmation vraie.
Exercice 6.
Voici un article trouv� sur internet.
D’apr�s l’Observatoire des Usages Internet de M�diam�trie, au dernier trimestre 2011, 28 millions d’internautes ont achet� en ligne. Au premier trimestre de 2012, on constate une augmentation de 11% du nombre d’achats en ligne.
1. En utilisant les donn�es de cet article, calculer le nombre de cyberacheteurs au premier trimestre 2012. Arrondir le r�sultat � 0,1 million pr�s.
28 x1,11 =31,08 ~31,1 millions.
2. Si la progression sur le deuxi�me trimestre 2012 est, elle aussi, de 11%, quelle serait la progression en pourcentage sur les deux trimestres ? Justifier la r�ponse.
28 x1,11 x1,11= 28 x1,2321 soit une progression d'environ +23,2 %.


Exercice 7.
Un moule � muffins est constitu� de 9 cavit�s. Toutes les cavit�s sont identiques. Chaque cavit� a la forme d’un tronc de c�ne (c�ne coup� par un plan parall�le � sa base).

1. Montrer que le volume d’une cavit� est d’environ 125 cm3.
Volume du grand c�ne : 1 /3 *3,14 x(7,5 / 2)2 x12 = 176,7 cm3.
Volume du petit c�ne : 1 /3 *3,14 x(5 / 2)2 x8 = 52,36 cm3.
Volume de la cavit� : 176,7 -52,36 =124,34 ~125 cm3.
2. L�a a pr�par� 1 litre de p�te. Elle veut remplir chaque cavit� du moule au 3 /4 de son volume.
A-t-elle suffisamment de p�te pour les 9 cavit�s du moule ? Justifier la r�ponse.
Volume de p�te par cavit� : 125 x3 /4=93,75 cm3.
Volume de p�te pour 9 cavit�s : 9 x93,72 = 843,75 cm3 = 0,843 L.
Elle a suffisamment de p�te.

Exercice 8.
La ville BONVIVRE poss�de une plaine de jeux bord�e d’une piste cyclable. La piste cyclable a la forme d’un rectangle ABCD dont on a � enlev� trois des coins �.
Le chemin de G � H est un arc de cercle ; les chemins de E � F et de I � J sont des segments.
Les droites (EF) et (AC) sont parall�les.
Quelle est la longueur de la piste cyclable ? Justifier la r�ponse.

AD2 = AC2 -AB2 =3122-2882= 14400 ; AD = 120 m.
AE = 288-48 =240 m.
BF = 120-52-48 =20 m.
EF2 = BE2 +BF2 =482+202= 2704 ; EF = 52 m.
Longueur de l'arc de cercle GH : 3,14 x48 /2~75,4 m.
HI = 288 -29 -48 = 211 m.
IJ2 = DI2 +DJ2 =292+722= 6025 ; IJ ~ 77,6 m.
Longueur de la piste : 240 +52 +52 +75,4 +211 +77,6 +48 = 756 m.
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