Math�matiques, Brevet des coll�ges Centres �trangers 2013

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Exercice 1.  QCM.
1. Les solutions de l’�quation (x + 7)(2x − 7) = 0 sont  :
-7 et 3,5 vrai ; 7 et -3,5 ; -7 et 5.
x+7 = 0 soit x = -7 ; et 2x-7=0 soit x = 3,5.
2. La (ou les) solution (s) de l’in�quation −2(x +7) <= −16 est (sont) :
 tous les nombres inf�rieurs ou �gaux � 1 ;  tous les nombres sup�rieurs ou �gaux � 1 vrai ; 1.
2(x +7) >= 16 ; x+7 >= 8 ; x >= 1.
3. La forme d�velopp�e de (7x −5)2 est.:
49x2-25 ; 49x2-70x+25 vrai ; 49x2-70x-25.
4. La forme factoris�e de 9−64x2 est :
55x2 ; (3-8x)2 ; (3-8x)(3+8x) vrai.
5. Le liquide rempli-il la moiti� du verre ?

Volume du grand c�ne : 1 /3 *3,14 x(d / 2)2 x h ~ 0,26 d2h cm3.
Volume du petit c�ne : 1 /3 *3,14 x(d / 4)2 x h =  0,065 d2h cm3.
Volume du liquide : 0,065 d2h cm3, moins de la moiti� du verre.
6. La section KMEA du cube ABCDEFGH par un plan parall�le � une de ses ar�tes est .
un parall�logramme non rectangle ; un carr� ; un rectangle. Vrai.
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Exercice 2.
On consid�re l’exp�rience al�atoire suivante : on tire au hasard une carte dans un jeu bien m�lang� de 32 cartes (il y a 4 � familles � coeur, tr�fle, carreau et pique et on a 8 coeurs, 8 tr�fles, 8 carreaux et 8 piques).
On rel�ve pour la carte tir�e la � famille � (tr�fle, carreau, coeur ou pique) puis on remet la carte dans le jeu et on m�lange.
On note A l’�v�nement : � la carte tir�e est un tr�fle �.
1. Quelle est la probabilit� de l’�v�nement A ?
8 cas favorables sur 32 cas possibles soit 8 / 32 = 1,4 = 0,25.
2. On r�p�te 24 fois l’exp�rience al�atoire ci-dessus. La repr�sentation graphique ci-dessous donne la r�partition des couleurs obtenues lors des vingt-quatre premiers tirages :

Calculer la fr�quence d’une carte de la � famille � coeur et d’une carte de la � famille � tr�fle.
Famille coeur : 6 /24 = 0,25 ; famille tr�fle 8 / 24 = 1 /3.
3. On reproduit la m�me exp�rience qu’� la question 2. Arthur mise sur une carte de la � famille � coeur et Julie mise sur d’une carte de la � famille � tr�fle. Est-ce que l’un d’entre deux a plus de chance que l’autre de gagner ?
Non, la probabilit� de tirer un coeur est �gale � celle de tirer un tr�fle.
...




Exercice 3.
On consid�re un triangle ABC isoc�le en A tel que l’angle BAC mesure 50� et AB est �gal �
5 cm. On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle,
not� (C), en un autre point M.

1. Quelle est la mesure de l’angle BAM ? Aucune justification n’est demand�e.
AM est � la fois m�diane, m�diatrice de BC et bissectrice de l'angleBAC : 50 /2 =25�.
2. Quelle est la nature du triangle BAM ? Justifier.
Le triangle BAM inscrit dans un demi cercle de diam�tre AM est rectangle en M.
3. Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixi�me de centim�tre pr�s.
Dans le triangle BAM, cos 25 = AB / AM ; AM = AB / cos 25 = 5 /cos 25 = 5,5 cm.
4. La droite (BO) coupe le cercle (C) en un autre point K. Quelle est la mesure de l’angle BKC?
Justifier.
Les angles inscrits BKC et BAC interceptent le m�me arc de cercle BC.Ces angles ont la m�me mesure, 50�.
Exercice 4.
Le nombre d’abonn�s � une revue d�pend du prix de la revue.
Pour un prix x compris entre 0 et 20 €, le nombre d’abonn�s est donn� par la fonction A telle que : A(x) = −50x +1250.
La recette, c’est-�-dire le montant per�u par l’�diteur de cette revue, est donn�e par la fonction R telle que : R(x) = −50x2 +1250x.

1. Le nombre d’abonn�s est-il proportionnel au prix de la revue ? Justifier.
Non, le graphe de la fonction A(x)  n'est pas une droite passant par l'origine.
2. V�rifier, par le calcul, que A(10) = 750 et interpr�ter concr�tement ce r�sultat.
A(10) = -50 x10 +1250 = 750.
750 abonn�s payent la revue 10 €.
3. La fonction R est-elle affine ? Justifier.
Non, le graphe de la fonction R(x)  n'est pas une droite.
4. D�terminer graphiquement pour quel prix la recette de l’�diteur est maximale.12,5 €
5. D�terminer graphiquement les ant�c�dents de 6 800 par R. 8 et 17.
6. Lorsque la revue co�te 5 euros, d�terminer le nombre d’abonn�s et la recette.
A(5) = -50 x5 +1250 = 1000 abonn�s.
R(5) = -50 x52 +1250 x5 = 5000 €.










Exercice 5. On consid�re la s�rie statistique donnant le SMIC
Ann�e
 2001
 2002
 2003
 2004
 2005
 2006
 2007
 2008
 2009
 2010
 2011
SMIC
 6,67
 6,83
 7,19
 7,61
 8,03
 8,27
 8,44
 8,63
 8,82
 9,00
 9,40
SMIC : salaire minimum interprofessionnel de croissance horaire brut en euros de 2001 � 2011 (source : INSEE)
1. Quelle est l’�tendue de cette s�rie ? Interpr�ter ce r�sultat.
Plus grande valeur - plus petite valeur = 9,40 -6,67 = 2,73.
2. Quelle est la m�diane ?
11 valeurs rang�es par ordre croissant, la m�diane est la 6� soit 8,27.
3. Paul remarque qu’entre 2001 et 2002, l’augmentation du SMIC horaire brut est de 16 centimes alors qu’entre 2007 et
2008, elle est de 19 centimes. Il affirme que � le pourcentage d’augmentation entre 2007 et 2008 est sup�rieur � celui pratiqu� entre 2001 et 2002 �. A-t-il raison ?
 Pourcentage d'augmentation entre 2001 et 2002 :  (6,83-6,67) / 6,67 x100 ~2,4 %.
Pourcentage d'augmentation entre 2007 et 2008 :  (8,63-8,44) / 8,44 x100 ~2,25 %.  Il a tord.

Exercice 6.
BCDE est un carr� de 6 cm de c�t�. Les points A, B et C sont align�s et AB = 3 cm.
F est un point du segment [CD]. La droite (AF) coupe le segment [BE] en M.
D�terminer la longueur CF par calcul ou par construction pour que les longueurs BM et FD soient �gales.


Exercice 7.
On peut lire au sujet d’un m�dicament :
� Chez les enfants (12 mois � 17 ans), la posologie doit �tre �tablie en fonction de la surface corporelle du patient [voir formule deMosteller]. �
� Une dose de charge unique de 70 mg par m�tre carr� (sans d�passer 70 mg par jour) devra �tre administr�e �
Pour calculer la surface corporelle en m2 on utilise la formule suivante :
Formule de Mosteller : Surface corporelle en m2 =racine carr�e [taille (en cm)�masse (en kg) / 3600 ]
On consid�re les informations ci-dessous :
Patient
 Age
 Taille (m)
 Masse (kg)
 Dose adminitr�e (mg)
Lou
 5 ans
 1,05
 17,5
 50
Jo�
 15 ans
 1,50
 50
 100
1. La posologie a-t-elle �t� respect�e pour Jo� ? Justifier la r�ponse.
Non, la dose ne doit pas d�passer 70 mg / jour.
2. V�rifier que la surface corporelle de Lou est environ de 0,71 m2.
Racine carr�e [105�17,5 / 3600 ] ~0,71 m2.
3. La posologie a-t-elle �t� respect�e pour Lou ? Justifier la r�ponse
70 mg par m2 soit 70 x0,71 ~49,7 mg. La posologie est respect�e, l'�cart relatif (50-19,7) / 49,7 x100 =0,6 % est tr�s faible. .


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